Giáo trình Sức bền vật liệu 2 - Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời

Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2

Chöông 12

UOÁN NGANG VAØ UOÁN DOÏC ÑOÀNG THÔØI

I. ÑAËC ÑIEÅM BAØI TOAÙN

Xeùt moät thanh chòu uoán bôûi taùc ñoäng ñoàng thôøi cuûa löïc ngang R vaø löïc neùn doïc P

nhö treân H.12.1. Neáu chuyeån vò laø ñaùng keå thì caàn phaûi xeùt caân baèng cuûa thanh treân

sô ñoà bieán daïng vaø moâmen noäi löïc seõ bao goàm aûnh höôûng cuûa löïc R vaø P:

M(z) = M_R+ M_P= M_R+ Py(z)

(12.1)

trong ñoù:M_R- moâmen uoán do rieâng taûi troïng ngang gaây ra

Py(z) - moâmen uoán do löïc doïc gaây ra.

R

P

z

y(z)

Hình 12.1 Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi

Baøi toaùn nhö vaäy ñöôïc goïi laø uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi.

Ñaëc ñieåm cuûa baøi toaùn:

- Moâmen M(z) phuï thuoäc vaøo ñoä voõng y(z)

- Moâmen M(z) phuï thuoäc phi tuyeán vaøo löïc P vì ñoä voõng y(z) cuõng phuï thuoäc

vaøo P. Vì vaäy, nguyeân lyù coäng taùc duïng khoâng aùp duïng ñöôïc cho loaïi baøi toaùn naøy.

L

 12

Ñieàu kieän ñeå tính uoán doïc:

h

L : chieàu daøi nhòp, h : chieàu cao tieát dieän.

L

4   12

Neáu :

tính uoán + keùo(neùn)

daàm trôû thaønh khoái

h

L

 4

Neáu :

h

II. PHÖÔNG PHAÙP GAÀN ÑUÙNG

Xeùt daàm ñôn giaûn chòu taûi troïng ñoái xöùng nhö H.12.2.

q

P

f₀

f

L

Ñöôøng ñaøn hoài ñoái xöùng

Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi

1

Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2

Sô ñoà (a) chæ chòu taûi troïng ngang, vôùi ñoä voõng giöõa nhòp f_o.

Sô ñoà (b) chòu ñoàng thôøi taûi troïng ngang vaø taûi troïng doïc, coù ñoä voõng giöõa nhòp f.

Giaû thieát ñöôøng ñaøn hoài coù daïng hình sine (gioáng daïng maát oån ñònh), ta coù

phöông trình ñöôøng ñaøn hoài trong hai tröôøng hôïp nhö sau:

 z

l

z

l

y_o f_osin

y  f sin

;

Daïng phöông trình naøy thoûa ñieàu kieän bieân ^y y^" ⁰taïi hai khôùp. Moâmen uoán

noäi löïc töông öùng nhö sau:

²

z

l

²

M_o  EIy_o^" EI

f_osin

f sin

 EI

y_o

l²

²

l²

z

l

²

l²

M   EIy^" EI

y

Theá caùc keát quaû naøy vaøo phöông trình (12.1) ta coù:

²

EI

y  EI

y_o Py

(12.5)

(12.6)

l²

y_o(z)

y(z) 

²EI

töø ñoù suy ra:

hay:

1 P /

l²

y_o(z)

y(z) 

P

1

P

th

²EI

P 

vôùi:

laø löïc tôùi haïn cuûa thanh khi maát oån ñònh trong maët phaúng uoán.

th

l²

ñaïo haøm hai veá cuûa (12.6) vaø nhaân vôùi –EI ta coù:

 EIy₀^"(z)

 EIy^"(z) 

P

1

P

th

M_o

M(z) 

hay:

(12.7)

P

1

P

th

Chuù yù: - Neáu taûi khoâng ñoái xöùng nhöng cuøng höôùng veà moät phía thì caùc coâng thöùc

treân keùm chính xaùc hôn nhöng vaãn duøng ñöôïc.

- Neáu thanh coù lieân keát hai ñaàu khaùc thì vaãn duøng ñöôïc caùc coâng thöùc (12.6),



(12.7) nhöng caàn xeùt tôùi heä soá lieân keát

trong coâng thöùc P_th:

²EI

P



th

(12.8)

(l)²

Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi

2

Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2

III.ÖÙNG SUAÁT VAØ KIEÅM TRA BEÀN

ÖÙng suaát lôùn nhaát ñöôïc tính theo coâng thöùc:

P

A

M

W

P

A

M_o

max 







(12.9)

P

W(1

)

P

th

Vì öùng suaát phuï thuoäc phi tuyeán vaøo taûi troïng neân kieåm tra beàn theo öùng suaát

cho pheùp khoâng ñaûm baûo an toaøn theo heä soá n döï kieán. Trong tröôøng hôïp naøy, ngöôøi

ta duøng ñieàu kieän an toaøn theo taûi troïng nhö sau:

nP

A

nM_o

nP



 _o

(12.10)

W(1

)

P

th

Thí duï :Tìm moâmen uoán vaø ñoä voõng lôùn nhaát cuûa daàm theùp chöõ IN^o36 chòu löïc

nhö sau:

q =2kN/m

x

S =120kN

A

B

L=4m

y

Giaûi.

Söû duïng baûng tra theùp ñònh hình, töông öùng vôùi soá hieäu IN^o36 vaø caùc kyù hieäu treân

hình treân, ta coù:

A = 61,9 cm²; I_x= 516 cm⁴; I_y= 13380 cm⁴; E = 2,1.10⁴kN/cm²

Trò soá lôùn nhaát cuûa moâmen uoán, ñoä voõng do taûi troïng ngang gaây ra taïi giöõa

ql²

8

2.4²

8

M_o



 4 kNm

nhòp:

5

ql⁴

5

2.10^2.400⁴

y_o

.



.

 0,615 cm

2,1.10⁴.516

384 EI_x

384

Trò soá löïc tôùi haïn:

²EI_x

².2,1.10⁴.516

P



 668 kN

th



l ²





1.400 ²



Ñoä voõng cuûa daàm, theo coâng thöùc gaàn ñuùng:

y_o

0,615

120

y 



 0,75cm

y_o

, taêng 22% so vôùi

S

1

P

668

th

Moâmen uoán lôùn nhaát, theo coâng thöùc gaàn ñuùng thöù nhaát:

M  M_o Sy  4  120.0,075  4,9 kNm

Moâmen uoán lôùn nhaát, theo coâng thöùc gaàn ñuùng thöù hai:

Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi

3

Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2

M_o

4

M 



 4,87 kNm

sai soá 0,5% so vôùi coâng thöùc gaàn ñuùng thöù nhaát.

S

120

1

P

668

th

Giaù trò moâmen trong tröôøng hôïp uoán ngang vaø doïc taêng 22,5% so vôùi moâmen

chæ do löïc ngang gaây ra, töùc laø thieân veà an toaøn hôn.

IV. COÄT CHÒU NEÙN LEÄCH TAÂM (Töï ñoïc theâm)

Xeùt coät maûnh chòu neùn leäch taâm bôûi löïc P nhö treân H.12.8.

z

l

y_o asin

(12.11)

Do taùc duïng cuûa löïc P, coät bò cong vaø coù phöông trình y(z).

Moâmen uoán taïi moät tieát dieän do löïc P gaây ra:

z

M  P{e  y(z)}  Pe  Py(z)

(12.23)

e

trong ñoù: e : laø ñoä leäch taâm ban ñaàu; y : laø ñoä voõng cuûa

P

truïc coät.

Phöông trình vi phaân ñöôøng ñaøn hoài nhö sau:

M

EI

y^''(z)  

(12.24)



l

P

EI

Theá (12.23) vaøo (12.24) vaø ñaët ^²



ta ñöôïc:

y(z)

y^" ²y   ²e

(12.25)

Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình naøy laø toång

cuûa nghieäm thuaàn nhaát vaø nghieäm rieâng:

y

P

e

y  Asinz  Bcosz  e

Hình 12.8 Coät coù ñoä cong ban ñaàu

(12.26)

trong ñoù: A vaø B - laø caùc haèng soá cuûa nghieäm thuaàn nhaát; e - laø nghieäm rieâng.

y(0)  0



B  e

Caùc ñieàu kieän bieân:

e(1  cosl)

sinl

l

2

y(l)  0



A 

 etan

Phöông trình ñöôøng ñaøn hoài trôû thaønh:

l

2

y  e(tan

sinz  cosz  1)

(12.27)

(12.28)

l

2

z 

Ñoä voõng lôùn nhaát taïi giöõa nhòp, töùc

laø:

1

  y_max e(

 1)

l

2

cos

Neáu e = 0 hoaëc P = 0 thì   0

.

Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi

4

Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2

Ñoà thò quan heä giöõa P -

vaät lieäu coøn ñaøn hoài, töùc laø



ñöôïc cho trong H.12.9. Ñoà thò naøy chæ coù yù nghóa khi



coøn nhoû vaø P < P_th.

P

e = 0

e = e₁

P_th

e = e₂

e

₂> e₁



Hình 12.9 Ñoà thò quan heä giöõa P -



Moâmen uoán lôùn nhaát taïi giöõa nhòp ñöôïc tính:

1

M_max P (e  y_max)  Pe

(12.29)

P l

cos

EI 2

Quan heä ^M_max- P cho bôûi H.12.10. Khi P nhoû thì ^M_max^{ Pe}, nhöng khi P lôùn thì

M_max

taêng raát nhanh.

Töø caùc ñoà thò naøy ta thaáy quan heä P -



vaø ^M_max- P phi tuyeán.

Trong thöïc teá, tính coät maûnh chòu neùn leäch taâm caàn thieát phaûi xeùt ñaëc ñieåm phi

M_max

Pe

P_th

Hình 12.10 Quan heä giöõa

P

M

_max- P

tuyeán naøy ñeå ñaûm baûo an toaøn.

ÖÙng suaát cöïc ñaïi trong thanh:









P

A

M_max

I

c

P

ec

r²

1



_max







1

(12.30)

A 

P l

cos









EI 2

vôùi: A - dieän tích tieát dieän thanh; r - baùn kính quaùn tính

c - khoaûng caùch töø truïc trung taâm ñeán meùp xa nhaát cuûa tieát dieän.

Vì öùng suaát phuï thuoäc phi tuyeán vaøo taûi troïng neân kieåm tra beàn theo öùng suaát

cho pheùp khoâng ñaûm baûo an toaøn theo heä soá n döï kieán. Trong tröôøng hôïp naøy,

ngöôøi ta duøng ñieàu kieän an toaøn theo taûi troïng nhö phöông trình (12.10).

Chöông 12: Uoán ngang vaø uoán doïc ñoàng thôøi

5