Giáo trình Thủy lực môi trường - Chương 4: Động lực học lưu chất

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

CHÖÔNG

V PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG LYÙ

TÖÔÛNG

CHUYEÅN ÑOÄNG (P.Tr EULER)

∂u_x

∂x

∂u_x

∂y

∂u_x

∂z

⎫

⎪

1 ∂p du_x∂u_x

⎧

⎪

F_x−

=

+ u_x

+ u_y

+ u_z

(1)

ρ ∂x

dt

∂t

G

1

du

⎪

du_y∂u_y

∂u_y

∂z

1 ∂p

ρ ∂y

F − grad(p) =

⇔ F −

=

+ u_x

+ u_y

+ u_z

(2)

⎨

⎬

⎪

y

ρ

dt

∂t

∂x

∂u_z

∂x

∂y

∂u_z

∂y

⎪

1 ∂p du_z∂u_z

∂u_z

∂z

∂u _y

F −

=

(3)

⎪

z

ρ ∂z

dt

∂t

⎪

⎭

⎩

∂u _z

∂x

¾Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler:

± u _y

vaø ± u _z

∂x

Sau khi saép xeáp, treân phöông x ta ñöôïc:

u²_y

2

∂u

u_z²

2

∂u

∂z

∂u_z

∂x

∂u_x

∂y

2

⎛

⎞

⎟

⎛

⎞

∂u_x

u_x

1 ∂p

ρ ∂x

∂

⎛

⎜

⎞

⎟

y

x

⎜

⎝

⎟

⎠

F_x−

=

+

⎞

+

+ u_z

−

− u

−

y

⎜

⎟

⎠

∂t ∂x 2

∂x

⎝

⎠

⎝

2

⎛

u

∂u_x

∂

⎜

⎟

+

+ u_zrot(u)_y− u_yrot(u)_z

⎜

⎟

⎠

∂t ∂x 2

⎝

Ta bieán ñoåi töông töï cho p.tr (2) vaø (3).

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 1

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Cuoái cuøng ta ñöôïc Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler:

2

G

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

1

∂u

∂t

u

G

F − gradp =

+ grad

+ rot(u) ∧ u

ρ

2

G

⎧

⎪

i

j

k

(rot(u) ∧ u)_x= u_zrot(u)_y− u_yrot(u)_z

G

rot(u) ∧ u = rot(u)_xrot(u)_yrot(u) ⇔ (rot(u) ∧ u) = u rot(u) − u rot(u)

⎨

z

y

x

z

x

G G

⎪

u_x

u_y

u_z

(rot(u) ∧ u)_z= u_yrot(u)_x− u_xrot(u)_y

⎩

II TÍCH PHAÂN P. TR. LAMB-GROMECO→ PHÖÔNG TRÌNH BERNOULLI

2

⎧

⎪

⎫

⎪

⎛

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

1 ∂p ∂u_x

∂ u

⎜

F −

=

+

+ u rot(u) − u rot(u) × dx

x

z

y

z

⎜

∂x 2

⎝

ρ ∂x

∂t

∂u_y

∂t

2

⎪

⎛

1 ∂p

ρ ∂y

∂ u

⎜

F −

=

+ u rot(u) − u rot(u) × dy +

⎨

⎪

⎬

y

x

z

x

⎜

∂y 2

⎝

⎪

2

⎛

⎞

1 ∂p ∂u_z∂ u

⎜

⎟

⎠

F −

=

+

+ u rot(u) − u rot(u) × dz

z

y

x

y

⎜

∂z 2

⎝

ρ ∂z

∂t

⎪

⎩

⎪

⎭

•Ñoái vôùi doøng oån ñònh, löu chaát naèm trong tröôøng troïng löïc, khoâng neùn ñöïôïc:

dx

dy

dz

p u²

⎛

⎞

⎜

⎟

− d gz + +

= rot(u)_xrot(u)_yrot(u)_z

⎜

ρ 2

⎝

⎠

u_x

u_y

u_z

Trong moät soá caùc tröôøng hôïp cuï theå sau, ta coù tích phaân phöông

trình treân vôùi veá phaûi = 0 ⇒P. tr. Bernoulli

p u²

gz + +

ρ 2

p u²

z + +

γ 2g

= C hay

= C

¾Löu chaát chuyeån ñoäng theá toaøn mieàn: rot(u)=0 :(C laø haèng soá cho toaøn mieàn)

¾Tích phaân doïc theo ñöôøng doøng (C laø haèng soá treân ñöôøng doøng)

¾Tích phaân doïc theo ñöôøng xoaùy (C laø haèng soá treân ñöôøng xoaùy).

¾Tích phaân doïc theo ñöôøng xoaén oác (C laø haèng soá treân ñöôøng xoaén oác)

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 2

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

•Trong tröôøng hôïp doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc, oån ñònh vôùi

rot(u)≠0, xeùt treân phöông phaùp tuyeán n vôùi ñöôøng doøng:

Neáu löïc khoái laø moät haøm coù theá, ta ñöa haøm theá π vaøo vôùi ñònh nghóa sau:

G

∂π

F_x= − ;F_y= − ;F_z= −

∂x ∂y

∂π

∂z

hay

F = −gradπ

Vieát laïi phöông trình vi phaân daïng Lamb-Gromeco:

2

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

G

1

∂u

∂t

u

− gradπ − gradp =

+ grad

+ rot(u) ∧ u

ρ

2

Treân phöông phaùp tuyeán n vôùi ñöôøng doøng (ngöôïc chieàu vôùi phöông baùn kính r):

2

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

∂

∂n

p

ρ

∂ u

⎜

⎜π + ⎟ = −

− 2ω. u.sin(ω, u)

∂

∂r

p

u ²

r

⎜

⎟

⎜

∂n 2

⎝

⎛

⎞

⎝

⎠

⎜

⎟

⇒

π +

=

ρ

∂r

∂n

u²u²

u²

r

u²

r

⎝

⎠

= −uω

− 2

=

− 2

= −

r

u ²

⎛

⎞

∂

∂r

p

Neáu löu chaát chòu taùc duïng cuûa löïc troïng tröôøng:

⎜

⎟

gz +

=

ρ

r

⎝

⎠

Nhaän xeùt:

p

γ

¾Theo phöông r (höôùng töø taâm quay ra): r caøng lôùn,

z +

caøng lôùn

aùp suaát phaân boá treân maët caét öôùt theo

quy luaät thuûy tónh (khi aáy caùc ñöôøng

doøng song song vaø thaúng, m/c öôùt laø maët

phaúng) - ñaây laø tröôøng hôïp chaát loûng

chuyeån ñoäng ñeàu hoaëc bieán ñoåi daàn

p

γ

z + = const

¾Khi r→∝;

•YÙ nghóa naêng löôïng cuûa phöông trình Bernoulli:

p

γ

: laø theá naêng cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát

(bao goàm vò naêng ñôn vò z vaø aùp naêng ñôn vò p/γ).

z +

2

u

: laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát.

2 g

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 3

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Bình luaän:

Doøng chaûy vôùi caùc ñöôøng doøng nhö hình veõ, ta coù:

p_A

p_D

A

B

a)

z_A+

z_C+

= z_D+

γ

p_C

p_D

C

D

b)

c)

γ

p_C

p_B

z_C+

z_A+

= z_B+

γ

p_A

p_B

d)

γ

Caâu naøo ñuùng?

III. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG THÖÏC CHUYEÅN

ÑOÄNG (P.Tr Navier-Stokes)

G

1

du

dt

F − grad(p) + ν∇²u + νgrad(div(u) =

ρ

3

Tích phaân phöông trình Navier-Stokes cho toaøn doøng chaûy, ta ñöôïc phöông trình

Bernoulli vieát cho toaøn doøng chaát loûng thöïc khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån

ñònh. Ñaây laø moät daïng cuûa phöông trình naêng löôïng, maø ta chöùng minh ñöôïc

baèng pp TTKS trong chöông ñoäng hoïc:

IV. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG

dQ dW ∂

1

p

ρ

1

p

ρ

−

=

(e_u+ u²+gz+ )ρdw+ (e_u+ u²+gz+ )ρu_ndA

_{dt dt ∂t}∫∫∫

∫∫

2

w

A

Ñaây chính laø phöông trình naêng löôïng cho doøng chaát loûng khoâng oån

ñònh coù khoái löôïng rieâng ρ thay ñoåi.

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 4

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

1.Ñoái vôùi doøng oån ñònh, khoâng coù söï trao ñoåi nhieät vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi:

dW

dt

1

p

ρ

−

= (e_u+ u²+ gz + )ρu_ndA

∫∫

chuù yù raèng:

2

A

Z = z+p/γ laø theá naêng ñôn vò

dW

dt

1

= − ( u²+ gZ)ρu_ndA

^⇒∫∫^{e ρu dA +}

∫∫

u

n

2

A

dW

dt

Nhaän xeùt thaáy:

chuyeån

laø phaàn bieán ñoåi naêng löôïng do

∫∫^{e ρu dA +}

u

n

A

ñoäng cuûa caùc phaàn töû beân trong khoái löu chaát gaây ra vaø do ma saùt cuûa khoái löu

chaát vôùi beân ngoaøi. Ñaïi löôïng naøy khoù xaùc ñònh ñöôïc baèng lyù thuyeát, thoâng

thöôøng, noù ñöôïc tính töø thöïc nghieäm, tuyø theo tröôøng hôïp cuï theå. Ta ñaët:

dW

dt

ñaây chính laø naêng löôïng bò maát ñi cuûa löu chaát qua

theå tích W trong moät ñôn vò thôøi gian.

= ρgh_fQ

∫∫^{e u dA +}

u

n

A

h_flaø maát naêng trung bình cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát.

1

⇒ γQh_f= − ( u²+ gZ)ρu_ndA

∫∫

2

A

Neáu xeùt cho moät ñoaïn doøng chaûy vaøo maët caét 1-1 vaø ra taïi m/c 2-2 (ρ=const)

⎛

⎞

⎟

⎠

1

2

⎜

ρgh_fQ = −

_⎜∫∫^{( u + gZ)ρu dA − ( u + gZ)ρu dA}

∫∫

2n

1n

2

⎝^A²

A1

Ta tính rieâng caùc tích phaân:

•Neáu treân m/c öôùt A, aùp suaát

phaân boá theo quy luaät thuûy

p

ρ

∫∫^{(gZ)ρdQ = gZρQ = (gz + )ρQ}

tónh.

A

1

∫∫¹₂

u²ρu_ndA = ÑN_thaät> V²ρQ = ÑN_V

•Tích phaân thaønh phaàn

ñoäng naêng:.

2

A

1

∫∫¹₂

u²ρu_ndA = ÑN_thaät= αV²ρQ = αÑN_V

Ñöa vaøo heä soá hieäu chænh ñoäng naêng α:

2

A

vôùi α_taàng=2; α_roái=1,05 - 1,1

1

ρgh_fQ = ( α₁V ²+ gZ₁)ρQ − ( α₂V₂²+ gZ₂)ρQ

Nhö vaäy:

1

2

p₁α₁V₁

p₂α₂V₂

z₁+

+

= z₂+

+

+ h_f1−2

hay:

γ

2g

γ

2g

Ñaây chính laø ph.tr. naêng löôïng cho toaøn doøng chaûy oån ñònh chaát loûng thöïc khoâng

neùn ñöôïc naèm trong tröôøng troïng löïc töø m/c/1 tôùi m/c 2 (khoâng coù nhaäp hoaëc taùch

löu)

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 5

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Neáu doøng chaûy coù nhaäp hoaëc taùch löu (ρ=const)

1

( α V ²+ gZ )ρQ −

( α V ²+ gZ )ρQ = H

∑

i

j

f

2

ivaøo

jra

ΣH_flaø toång naêng löôïng doøng chaûy bò maát ñi khi chaûy töø caùc m/c vaøo ñeán caùc m/c ra

(trong 1 ñ.vò thôøi gian).

2. Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù söï trao ñoåi naêng löôïng vôùi beân ngoaøi (ñöôïc

bôm cung caáp naêng löôïng H_b; hay doøng chaûy cung caáp naêng löôïng Ht cho

turbine), thì ph. tr treân coù daïng toång quaùt hôn:

2

p₁α₁V₁²

p₂α₂V₂

H_B+ z₁+

+

= H_T+ z₂+

+

+ h_f1−2

γ

2g

γ

2g

H_blaø naêng löôïng do bôm cung caáp cho moät ñôn vò troïng löôïng doøng chaûy khi

doøng chaûy qua bôm - Ta goïi laø coät aùp bôm .

H_tlaø naêng löôïng maø moät ñôn vò troïng löôïng doøng chaûy cung caáp cho turbine khi

qua turbine.

A B

A’

V. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG

Ví duï 1: Ño löu toác ñieåm cuûa doøng khí baèng oáng Pito voøng

h

AÙp duïng ph.tr Bernoulli treân ñöôøng doøng töø A tôùi B

(boû qua maát naêng):

B’

p _A

γ _k

u _A²

2g

p _B

γ _k

u _B²

2g

z _A+

+

= z _B+

+

u_A²

p

p_A

⎛

⎞ ⎛

⎞

vôùi u_B=0, suy ra:

⎜

^B⎟ ⎜

⎟

= z_B+

− z_A+

⎜

⎟ ⎜

⎟

2g

γ_{k ⎠ ⎝}

γ_{k ⎠}

⎝

AÙp duïng phöông trình thuyû tónh laàn löôït cho caùc caëp ñieåm AA’ (trong moâi tröôøng

khí), A’B’ (trong moâi tröôøng loûng); BB’ (trong moâi tröôøng khí) ta coù:

⎫

⎪

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞ ⎛

⎞

p

γ_k

p_A

γ_k

p_B'−p_A'

p

p_A

⎜

^A'⎟ ⎜

⎟

⎜

^B⎟ ⎜

⎟

z_A'+

z_B'+

= z_A+

z_B+

− z_A+

⎟ ⎜

=(z_B'−z_A')+

⎟ ⎜

γ_k

⎝

⎛

⎠ ⎝

⎠⎪

⎝

⎠ ⎝

⎠

Suy ra

⎬

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

p

p_B

γ_lh

γ_l

⎪

⎜

^B'⎟ ⎜

⎟

= z_B+

⎜

⎟

=−h+

=h

−1

⎟ ⎜

⎪

⎜

⎟

γ_k

γ

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎭

⎝ ^k

⎠

Thực tế do mất năng neân vaän toác

thöïc taïi ñieåm A lôùn vaän toác tính

töø coâng thöùc beân.

⎛

⎞

γ _l

γ _k

Nhö vaäy:

⎜

⎟

u _A= 2gh

− 1

⎝

⎠

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 6

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 2: Ño Löu löôïng qua oáng Ventury

1

D

2

d

2

AÙp duïng p. tr naêng löôïng cho doøng chaûy

töø m/c 1-1 ñeán 2-2 (boû qua maát naêng):

1

γ_d

p₁α₁V₁²

p ₂α ₂V₂²

z₁+

+

= z ₂+

+

γ _n

2g

γ _n

2g

γ_n

A

h

(α1,α2=1): Suy ra:

B

Q²

2g

1

p

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎛

⎞ ⎛

γ_{n ⎠ ⎝}

⎞

p₂

γ_{n ⎠}

⎜

¹⎟ ⎜

− z₂+

⎟

−

= z₁+

2

⎜

⎝

⎟ ⎜

⎟

A₂A_{1 ⎠}

Hay:

A²₂A₁²

A₁− A₂

γ_d

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

⎜

⎝

⎜

⎟

Q =

2gh 1−

2

⎜

⎟

γ_{n ⎠}

⎝

Löu löôïng Q ôû treân tính ñöôïc khoâng keå tôùi toån thaát naêng löôïng,

Thöïc teá löu löôïng Q_thöïcnhoû hôn, neân caàn hieäu chænh laïi löu löôïng sau khi

tính Q_tínhHieäu chænh baèng coâng thöùc treân nhö sau:

vôùi C<1 laø heä soá hieäu chænh Ventury (do maát naêng sinh ra).

Q_thöïc= CQ_tính

Ví duï 3: Doøng chaûy oån ñònh qua loã thaønh moûng:

0

p₀α ₀V₀²

p _cα _cV_c²

z₀+

+

= z _c+

+

+ h _f

H

γ

2g

γ

2g

c

Naêng löôïng cuûa doøng chaûy töø bình ra ngoaøi chuû

yeáu bò maát ñi laø do co heïp khi qua loã, ñaây laø loaïi

maát naêng cuïc boä, noù tyû leä vôùi V_c²taïi maët caét co

heïp c-c (hoïc trong chöông ñöôøng oáng). Ta coù theå

vieát laïi:

A

c

p ₀α ₀V₀²

p _cα _cV_c²

V_c²

2g

z ₀+

+

= z _c+

+

+ ξ

γ

2g

γ

2g

⎛

⎜

⎝

⎞

1

⎟

⎠

V₀=0, p₀=0; Suy ra:

V =

2gH = C_V2gH

c

α + ξ

vôùi C_V< 1 goïi laø heä soá löu toác.

⎛

⎞

1

α+ξ

Löu löôïng:

⎜

⎟

Q = A_cV = A_c

2gH= A_cC_V2gH= εC_VA 2gH= C A 2gH

c

d

⎝

⎠

Vôùi A laø dieän tích loã thaùo, ε laø heä soá co heïp,

C_d(<C_V) laø heä soá löu löôïng

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 7

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 4: Doøng chaûy oån ñònh qua ñaäp traøn thaønh moûng:

h

B

Xem doøng chaûy laø taäp hoïp cuûa nhöõng

h

doøng chaûy qua loã thaønh moûng coù beà roäng

dh

H

B, cao dh naèm ôû toaï ñoä h treân truïc toaï ñoä

Oh nhö hình veõ.

0

θ

Löu löôïng qua loã thaùo:

θ

2

⎛

⎜

⎞

⎟

dQ = C Bdh 2g(H − h) = C 2tg

(h) 2g(H − h)dh

d

⎝

⎠

H

θ

2

⎝ ⎠

⎛ ⎞

Q = C 2tg

(h) 2g(H − h)dh

⎜ ⎟

d

∫

0

u = h; dv = (H − h)dh

Ñeå laáy tích phaân treân ta ñaët:

Keát quaû cho:

8

θ

⎛ ⎞

Q = C

tg

H²2gH

⎜ ⎟

^d15

2

⎝ ⎠

Ví duï 5: Doøng chaûy qua voøi laép ngoaøi:

0

p_c^ck

p _c

γ

α _cV_c²

2g

p₁

γ

α₁V₁²

2g

z _c+

+

= z₁+

+

H

c

1

suy ra:

α₁V₁²α _cV_c²

A

p _c

=

−

< 0

c

γ

2g

Giaû söû voøi coù ñöôøng kính d baèng loã thaønh moûng, vaø heä soá co heïp caû hai tröôøng

hôïp nhö nhau. Ta chöùng minh ñöôïc vaän toác V_cqua voøi lôùn hôn qua loã, vì taïi

m/c c-c trong voøi aùp suaát laø aùp suaát chaân khoâng, neân:

⎛

⎞

⎛

p ⎞

⎛

p ⎞

γ

⎠

1

2g⎜H− ^c⎟ = C_V2g⎜H− ^c⎟ > V

⎜

⎟

V

=

cvoøi

cloã

⎜

⎟

⎜

⎟

α_c+ξ

γ

⎝

⎠

⎝

⎠

Nhö vaäy, löu löôïng qua voøi lôùn hôn löu löôïng qua loã thaønh moûng vaø baèng:

(vieát phöông trình naêng löôïng cho doøng chaûy töø m/c 0-0 ñeán 1-1 ñeå tìm ra

vaän toác 1 taïi maët caét ra 1-1).trong tröôøng hôïp naøy :C_d= C_V:

Q = C_VA 2gH = C_dA 2gH

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 8

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 6: Doøng chaûy khoâng oån ñònh ra ngoaøi bình:

A

Q = C_da 2gh

dh

trong ñoù h giaûm theo thôøi gian

Sau thôøi gian dt, theå tích trong bình giaûm:

H

h

dW = −Adh = Qdt = C_da 2gh dt

a

A

dt = −

dh

C_da 2gh

Vaäy thôøi gian ñeå nöôùc chaûy heát bình laø:

0

A

T = −

dh = −

2 h =

2 H

∫

_HC_da 2gh

C_da 2g

H

2

Ví duï 7a: Doøng chaûy qua maùy thuûy löïc:

p₀

γ

α ₀V₀²

2g

p₁α₁V₁²

z₀+

+

= z₁+

+

+ h _{f 0 −1}

1

γ

2g

B

1

p₀=0; V₀=0; z₀=0

H

chuaån

Suy ra taïi maët caét 1-1 tröôùc bôm

coù aùp suaát chaân khoâng:

0

p₁

γ

α ₁V₁²

2 g

= − (z₁+

+ h _f) < 0

p₀α ₀V₀²

p ₂α ₂V₂²

z₀+

+

+ H _B= z ₂+

+

+ h _{f 0 − 2}

γ

2g

γ

2g

H_B= H + h_f0−2

Suy ra:

N = γQH_B

Coâng suaát höõu ích cuûa bôm:

Hieäu suaát bôm:

γQH_B

η =

N_truc

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 9

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 7b

Bôm huùt nöôùc töø gieáng leân nhö hình veõ.Bieát löu löôïng Q=30

lít/s, ñöôøng kính oáng huùt D=0,12m.Taïi choã uoáng con coù heä soá toån

thaát laø ξ=0,5. Chieàu daøi ñöôøng oáng huùt L = 5m. OÁng coù heä soá ma saùt

ñöôøng daøi laø λ=0,02. Neáu nöôùc coù nhieät ñoä laø 20⁰C vaø boû qua toån

thaát cuïc boä vaøo mieäng oáng. Tìm chieàu cao ñaët bôm z_Btoái ña

Giaûi: ÔÛ 20⁰C, aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc

1

B

laø 0,25 m nöôùc. Vaäy aùp suaát chaân khoâng taïi

1

z_B

maët caét tröôùc bôm cho pheùp toái ña laø 9,75 m

0

nöôùc.

Q

gieáng

V = = 2.653m/s

Ta coù:

A

p₁α₁V₁²

L

⎛

⎜

⎞

⎟

z _B= −

−

1 + λ

+ ξ)

γ

2g

D

⎝

⎠

2

α₁2.653

5

⎛

⎜

⎞

⎟

z _B= 9,75 −

1 + 0.02

+ 0.5)

2 * 9.81

0.12

⎝

⎠

z _B= 8.91m

Caáu taïo boä phaän caûi tieán cuûa bôm

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 10

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Q

2

Q

1

Q

1

Q

h_bom

Q

2

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 11

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 8:Ñoä cheânh möïc thuyû ngaân trong oáng chöõ U noái hai ñaàu vôùi cuoái oáng huùt vaø

ñaàu oáng ñaåy laø. Ñöôøng kính oáng huùt laø D₁=8 cm. Döôøng kính oáng ñaåy laø D₂=6 cm.

Q=17 lít/s. Coâng suaát höõu ích cuûa bôm laø 1261 W.

1. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh ñoâ cheânh aùp suaát tröôùc vaø sau bôm.

2. Xaùc ñònh h trong oáng chuõ U

2

1

D₂

Q.4 17 *10 ⁻³* 4

B

D₁

Q

V₁=

=

= 3.38 m/s

A₁πD₁²

π * (0.08)²

1

2

Q

A

Q.4 17 *10⁻³*4

B

nöôùc

V₂=

z₁+

=

= 6.01 m/s

πD₂²π *(0.06)²

h

1

p₁α₁V₁²

p ₂α ₂V₂²

A

+

+ H _B= z ₂+

+

γ

2g

γ

2g

Hg

N

1261

Töø :

Suy ra: H_B=

=

= 7.56m

N = γQH_B

γQ 9.81*10³*17*10⁻³

2

α ₂V₂²

2g

⎛

⎞

⎛

p ₂⎞

⎛

p₁⎞

⎟ = H _B

α ₁V₁

2g

Vaäy cheânh leäch aùp suaát:

⎜

⎟

⎜ z ₂+

⎟ − ⎜ z₁+

+

−

= 6.30m

⎜

⎟

⎜

⎟

γ

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎫

⎛

⎞ ⎛

⎞

p₂

p_A

⎛

⎞ ⎛

⎞

p

p₁

p_A−p_B

⎛

⎞ ⎛

⎞

p

p₁

⎪

⎜

²⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟ ⎜

⎟

z₂+

z₁+

= z_A+

z₂+

− z₁+

⎟ ⎜

=(z_A−z_B)+

⎟ ⎜

⎟

⎜

²⎟ ⎜

⎟

z₂+

− z₁+

γ_n

⎟ ⎜

γ_n

⎝

⎛

⎠ ⎝

⎠⎪

⎬

γ_n

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

⇒

⇒ h =

⎞ ⎛

⎞

p₁

p_B

γ

γ_Hgh

=−h+

γ_n

γ

⎛

⎞

⎪

⎛

⎞

Hg

⎜

⎟ ⎜

⎟

= z_B+

⎜

⎟

−1

⎜

⎟

=h

−1

⎟ ⎜

⎟

⎪

⎟

⎜

⎟

γ_n

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎭

⎝

⎠

⎝

⎠

Tính ñöôïc: h=0.50 m

Ví duï 9: Nöôùc chaûy töø beå chöùa qua turbin. Hieäu suaát caû heä thoáng laø

80%. Cho H=60m, V=4,24m/s.

1. Xaùc ñònh löu löôïng Q chaûy qua turbine

2. Tính coâng suaát ñieän phaùt ra, boû qua maát naêng

πD²4.24 *π*3²

Q = VA = V

=

= 29.97 m³/s

4

p₁α₁V₁²

p ₂α ₂V₂²

z₁+

+

= z ₂+

+

+ H _T

γ

2g

γ

2g

1

d=3m

H

2

⇒ H _T= H

T

⇒ N_T= γQH_T*80% = 9.81*10³*29.97*60*0.8 =14.11*10⁶W

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 12

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï10: Xaùc ñònh löu löôïng Q vaø toån thaát naêng löôïng khi doøng chaûy ra

ngoaøi khoâng khí. Boû qua co heïp

1

p₁α₁V₁²

p ₂α ₂V₂²

z₁+

+

= z ₂+

+

+ h _f

γ

2g

γ

2g

H=6m

h=5.75m

2

V₁= 0; p₁= 0; p ₂= 0

α ₂V₂²

d=0.08

m

⇒ H =

+ h _f

2g

Maët khaùc tia nöôùc baén ra vôùi ñoäng naêng

α ₂V₂²

ñaäp vaøo oáng nghieäm,

2g

döøng laïi, vaäy toaøn boä ñoäng naêng naøy chuyeån hoaù thaønh aùp naêng ñaåy coät

nöôùc trong oáng nghieäm leân moät ñoä cao h=5,75m.

2

α V ₂

Vaäy:

2

h =

⇒ V ₂= 2 gh = 10.62m/s

2 g

πd ²

π * 0.08 ²

3

⇒ Q = AV =

V =

*10 .62 = 0.0534m /s

4

Vaø:

nöôùùc

h _f= 6 − 5.75 = 0.25 m

Ví duï10b: Beân hoâng moät bình chöùa nöôùc coù hai loã thaùo nöôùc A vaø B nhö hình veõ.

Loã A naèm döôùi maët thoaùng nöôùc moät ñoä saâu H_A; loã B naèm döôùi maët thoaùng nöôùc

moät ñoä saâu H_B. Tia nöôøc baén ra töø hai loã giao nhau taïi O. Giaû söû heä soá löu toác cuûa

hai loã laø nhö nhau vaø baèng C_V. Tìm khoaûng caùch x töø O ñeán thaønh bình

P_a

Giaûi: phöông trình ñöôøng quyõ ñaïo cuûa tia nöôùc

baén ngang ra khoûi loã vôùi vaän toác V cho döôùi

daïng: x²=2V²y/g; vôùi goác toïa ñoä taïi loã, x höôùng

ngang vaø y höôùng xuoáng, g laø gia toác troïng

tröôøng. Suy ra:

H_A

H_B

A

B

y_B

y_A

O

2

2V_Ay_A2V_By_B

x²=

=

x

g

4C²_VgH_Ay_A4C_V²gH_By_B

⇒ x²=

=

g

⇒ H_Ay_A= H_By_B

Maët khaùc ta coù:

Giaûi ra ñöôïc:

H_A+y_A=H_B+y_B

H_A=y_B;

H_B=y_A

x = 2C_VH_AH_B

Suy ra:

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 13

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG

Daïng toång quaùt cuûa p.tr ÑL (chöùng minh töø chöông Ñoäng Hoïc):

∂

F

=

_∂t∫∫∫^{(u)ρdw +}∫∫^{(u)ρu dA}

∑

n

ngoaïilöïc

w

A

G

⁼∫∫^{uρu dA =}∫∫^u^G^ρdQ

∂ X

∂ t

⇒

F

ngoaïilöïc

= 0

¾ Ñoái vôùi doøng oån ñònh:

∑

n

W

A

¾Ñoái vôùi doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh (vaøo ôû dA₁; ra ôû dA₂):

G

1

u ρ u dA − u ρ u dA =

F

ngoaïilöïc

∑

2

2 n

2

1

1n

1

¾Ñoái vôùi toaøn doøng chaûy töø maët caét 1-1 ñeán 2-2, ta caàn chieáu phöông trình

ÑL treân leân moät phöông s baát kyø, roài sau ñoù laáy tích phaân treân töøng m/c

A₁, A₂:

u ρ dQ − u ρ dQ =

F

ngoailuc

∑

2 s

2

1s

1

s

∫

A₂

A1

u_sρdQ = ÑL_{thaät /}> ρQV_S= ÑL_V/

S

∫

S

Ta coù:

Ta ñöa vaøo heä soá α₀:

A

ÑL = u_sρdQ=α₀ÑL_V=α₀V_sρQ

thaät

∫

A

α₀laø heä soá hieäu chænh ñoäng löôïng; α_0taàng=4/3; α_0roái=1,02-1,05

Nhö vaäy ph.trình Ñoäng löôïng chieáu treân moät phöông s baát kyø ñoái vôùi

toaøn doøng chaûy oån ñònh löu chaát khoâng neùn ñöôïc ñi vaøo m/c 1 ra m/c 2

vieát döôùi daïng sau:

( F) = ρQ(α V − α V ) = ÑL_{ra /s}− ÑL_{vaøo /s}

∑

s

02 2s

01 1s

¾Tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu m/c ra vaø nhieàu m/c vaøo:

( F) =

ÑL_{ra/ s}

−

ÑL_{vaøo / s}

∑ ∑

∑

s

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 14

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

VII. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG

( F) = ρQ(α V − α V ) = ÑL

− ÑL_{vaøo/ s}

∑

s

02 2s

01 1s

ra/ s

Phaân tích ngoaïi löïc, thoâng thöôøng goàm coù caùc löïc sau ñaây:

¾Troïng löïc G

¾Löïc ma saùt F_msgiöõa chaát loûng vôùi thaønh raén.

¾Phaûn löïc N vuoâng goùc vaø töø thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát.

¾AÙp löïc F_itöø caùc phía taùc duïng vaøo caùc m/c (maø doøng chaûy ra hoaëc vaøo

khoái theå tích kieåm soaùt. (tính nhö aùp löïc thuyû tónh).

Hai löïc giöõa (F_msvaø N) thoâng thöôøng gom chung thaønh moät löïc R goïi

laø phaûn löïc cuûa thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát.

Löïc troïng tröôøng G thoâng thöôøng bò trieät tieâu khi chieáu leân phöông

naèm ngang (vì G theo phöông thaúng ñöùng), hoaëc giaû thieát nhoû neân

khoâng tính tôùi (tröø tröôøng hôïp coù giaù trò lôùn ñaùng keå vaø khi chieáu p.tr

ÑL leân phöông thaúng ñöùng)

Ví duï (töï giaûi):

Lưu chất khối lượng rieâng ρ chảy trong trong ống

troøn baùn kính r_ocoù phaân bố vận tốc như sau:

r²

r_o²

⎛

⎞

⎜

⎟

u = u_max1−

⎜

⎝

⎠

Trong đoù u_maxlaø vận tốc cực đñại tại taâm ống. Tìm ñộng lượng ñi qua mặt cắt

thẳng goùc với doøng chảy trong ñơn vị thôøi gian:

2

ÑS= ρu_max²πr_o/3

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 15

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 11. Löïc F t/duïng leân voøi cöùu hoaû:

1

2

F₂=0

F₁

AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ:

F

ρQ(α₀₂V₂− α₀₁V₁) = R_x+ F − F₂

1

x

2

Choïn α₀=1:

⇒ R_x= ρQ(V₂− V ) − F

1

F₁=p₁A₁; F₂=0; aùp duïng theâm p.tr naêng löôïng cho doøng chaûy töø 1-1 tôùi 2-2, ta coù:

p₁V₂²− V²

ρ

(

V₂²− V²

)

1

=

⇒ F =

A₁

1

γ

2g

2

ρ(V₂²− V²)

1

⇒ R_x= ρA₁V (V₂− V ) −

A₁

1

2

V + V

⎛

⎝

⎞

⎟

2

1

= ρA (V − V ) V −

< 0

⎜

1

2

1

2

⎠

Nhö vaäy löïc F cuûa löu chaát taùc duïng vaøo voøi höôùng tôùi vaø baèng R.

Ví duï 12. Löïc F cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi uoáng cong 90⁰:

F_y

Treân phöông x:

F

2

R_x

Q=0,25 m³/s

F_x

F

ρQ(α₀₂V₂) = R_x

²⁼⁰V₂

D₁=13cm

Choïn α₀=1:

⇒ R_x= ρQ(V₂) > 0

Treân phöông y:

y

R_y

2

x

D₁=27cm

1

V_1;p₁=194 Kpa

ρQ(−α₀₁V ) = R_y+ F

1

F₁

⇒ R_y= ρQ(−V ) − F < 0

1

Ta suy ra:

Nhö vaäy löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi:

Fx höôùng ra sau ; Fy höôùng leân treân

R_xhöôùng tôùi tröôùc, R_yhöôùng xuoáng döôùi.

Theá soá vaøo ta ñöôïc: F_x=4709 N; F_y=11109 N; F=12065N

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 16

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 13. Löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân ñaäp traøn:

AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ:

R_x= ρQ(V_c− V ) − F + F₂

(∗)

1

F₁=p₁A₁=[γ(H+L₂)/2]A₁; F₂=p₂A₂=[γ(h_c)/2]A₂

1

Boû qua maát naêng:

p₁α₁V₁²

p_cα _cV_c²

H

z₁+

+

= z_c+

+

γ

2g

γ

2g

α _cQ ²

2gA ²_c

F₁

F

α₁Q ²

2gA ₁²

L₁

c

L₂

⇔ H + L₁+

= h _c+

F₂

h_c

1

c

A ²_cA₁²

⇔ Q =

2g(H + L₁− h _c)

A₁²− A ²_c

Sau khi tính ñöôïc löu löôïng ta tính V_c=Q/A_c; V1=Q/A1;

Sau ñoù theá vaøo p.tr (*) ñeå tìm Rx; vaø F=-Rx.

Ví duï 14. . Löïc taùc duïng cuûa tia nöôùc ñaäp vaøo caùnh gaùo

a.Khi giöõ xe ñöùng yeân,

V

1

A

Löïc taùc duïng leân xe F_x= -R_x

u*

F_x

2

R_x= ρQ(−V₂− V₁) − F₁− F₂

= ρVA(−V − V) = −2ρV²A

V

2

F₁vaø F₂ñeàu baèng 0 vì ñaây laø doøng tia, chung quanh ñeàu laø aùp suaát khí trôøi

b. Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u*,

Löïc taùc duïng Fx=-Rx vaøo xe seõ nhoû hôn vaø baèng:

R_x= ρ(V − u*)A(−(V − u*) −(V − u*)) = −2ρ(V − u*)²A

N_gaàu= F_xu^∗= 2ρ(V − u^*)²Au^∗

Nhö vaäy, coâng suaát haáp thuï bôûi gaàu baèng:

V²

V³

Coâng suaát cung öùng bôûi voøi nöôùc:

N_gaàu

N_voi= ρQ

= ρA

2

2ρ(V − u^*)²Au^*

ρAV³/ 2

u V − u

*

⎛

⎞

⎟

⎠

= 4x(1− x)²

Hieäu suaát caû heä thoáng

⎜

η =

=

= 4

N_voøi

V

(ñaët x=u*/V):

⎝

Khaûo saùt haøm soá treân, ta thaáy η daït giaù trò cöïc ñaïi khi x=1(loaïi boû) vaø x=1/3.

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 17

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 15 . OÁng Borda thaúng ñöùng:

A_b

0

H

G − R_y= ρA_cV₁V₁

A

+

1

A_c

Xem nhö oáng Borda ñuû daøi ñeå ôû saùt ñaùy bình nöôùc yeân laëng.

Ta coù:

G=ρgA_bH; R_y=ρg(A_b-A)H;

Suy ra:

V = 2gH

1

ρgAH = ρA_c2gH ⇒ A = 2A_c

Ví duï 16 . Q=12 lít/s. Tìm V₁; V₂. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh p₁

Xaùc ñònh F_xtaùc duïng leân oáng

Q

Q.4 12*10⁻³*4

D₂=5cm

V₂

V =

=

= 2.39 m/s

1

A₁πD₁²π*(0.08)²

Q.4 12*10⁻³*4

R_x

Q

12m

V₂=

z₁+

=

= 6.12 m/s

A₁πD²₂π*(0.05)²

P₁?

p₁α₁V₁²

γ

p ₂α ₂V₂²

γ

D₁=8cm

+

= z ₂+

+

2g

p₁

α ₂V₂²α₁V₁²

⇒

= z ₂− z₁+

−

= 13 .61m ⇒ F = p₁A₁= 671.2747N

1

γ

2g

R_x= ρQ(V₂− V ) − F

1

3.14 * (0.08)²

R _x= 1000 *12 *10⁻³(6.12 − 2.39) −

= -626.584N

13.61*9.81*10³

4

⇒ F = 626.58N

x

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 18

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 17 . V=30m/s.

Tính löïc naèn ngang caàn giöõ cho xe ñöùng yeân

Neáu ñeå xe chaïy tôùi vôùi u=5m/s, thì löïc taùc ñoäng vaøo xe laø bao nhieâu?

Tìm hieäu suaát

πD²

3

1

Q = VA =

V = 0.059m /s

4

V

R_x= ρQ(−V cos(30⁰))

D=50mm

30⁰

1

R_x=1000*0.059*(−30cos(30⁰)) = -1530.39N

Vaäy löïc F_xñeå giöõ xe ñöùng yeân laø 1530N

Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u=5 m/s, thì

ph. Tr ÑL seõ vieát laïi nhö sau:

x

R _x= −ρQ[V cos(30⁰) − u]

1

= −1000 *0.059 *(30*cos(30⁰) − 5)

= 1235.8689N

V²

2

V³

2

N_tia= ρQ

= ρA

= 26507.19W

Coâng suaát tia nöôùc:

Coâng suaát xe:

Hieäu suaát:

N_xe= F u =1235.8689*5 = 6179.345W

x

N

xe

η =

= 0 .233

N

tia

Ví duï 18 . D=1,2m; d=0.85m, Q₂=Q₃=Q₁/2; Q₁=6 m³/s; p₁=5Mpa

Boû qua maát naêng. Xaùc ñònh löïc naèm ngang taùc duïng leân chaïc ba

1

V₂

2

Q₁

R_x

F₁

d

F₂

V₁= =5.305m/s;V₃= V =5.287m/s

D

2

45⁰

A₁

V₁

y

( F) =

ÑL_{ra/ s}

−

ÑL_{vaøo / s}

1

∑ ∑

∑

s

R

R_y

x

3

(ρQ₂V₂+ρQ₃V cos(45⁰))−ρQ₁V = R_x+ F − F − F cos(45⁰)

d

3

1

2

3

V₃

F₃

3

−ρQ₃V sin(45⁰) = R_y+ F sin(45⁰)

3

p₂p₁V²− V₂²

ρ

(

V²− V₂²

)

= 5000097Pa ⇒ p₃= p₂

1

=

+

⇔ p₂= p₁+

γ

2g

2

F = p₁A₁= 5654867N; F = F = p₂A₂= 2837306N;

1

3

2

⇒ R_x= (ρQ₂V₂+ρQ₃V cos(45⁰))−ρQ₁V − F + F + F cos(45⁰)

3

1

2

3

R_y= −ρQ₃V sin(45⁰) − F sin(45⁰)

3

Theá soá: Rx=-816,038KN;

Ry=-2017,493 KN;

R=2176,281 KN

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 19

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Chứng minh hệ số α, α₀>1:

Löu yù raèng:

(V ± Δu)dA

^{u = V ± Δu ⇒}∫∫ ^{udA =}∫∫

A

^{⇒ Q = Q ±}∫∫ ^{ΔudA ⇒}∫∫ ^{ΔudA = 0}

A

u²

ρ udA

3

∫∫

2

DN

1

u

1

(V±Δu

⎛ ⎞

⎛

⎜

⎞

that

A

α=

=

dA=

dA

⎜ ⎟

⎟

V²

_A∫∫

∫∫

V

A _A

V

_A⎝ ⎠

⎝

⎠

V

ρVA

2

3

2

3

Δu²

Δu³

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

∫∫_⎜^⎜^{(V ±3V Δu+3VΔu ±Δu}

_⎜∫∫ ∫∫ _V^dA+∫∫^{3 dA±}∫∫ _V

1

3Δu

⎜

⎟

=

dA=

dA±

dA >1

V³

A

V²

3

⎟

A _A

⎝

⎠

⎝

A

ρuudA

2

3

∫∫

DL_that

DL_V

1

u

1

(V ± Δu

⎛ ⎞

⎛

⎞

⎟

A

α₀=

=

dA =

dA

⎜ ⎟

⎜

_A∫∫_{⎝ ⎠}

_A∫∫_⎝

ρVAV

V

⎠

A

2

Δu²

⎛

⎞

⎟

⎠

⎛

⎞

1

2Δu

_A¹∫∫^⎜_⎜^{(V ± 2VΔu + Δu}

_⎜∫∫ ∫∫ ^{dA +}∫∫ _V

⎜

⎟

=

dA =

dA ±

dA >1

2

V²

A

V

⎟

⎝

⎠

A

⎝

A

CH. 4 - ÑOÄNG LÖÏC HOÏC - trang 20