Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh thẳng - Lê Đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Chương 9
XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG.
1-Định nghĩa:
y
Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ
có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz (H.9.1).
Dấu của nội lực Mz: Mz 0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt
thấy Mz quay cùng kim đồng hồ và ngược lại.
Mz
O
z
Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn tâp trung Mo
(Nm) hay phân bố m(Nm/m), nằm trong mặt phẳng vuông
góc trục thanh.
x
H. 9.1
Thực tế thường gặp: các trục truyền động, thanh chịu lực không gian, dầm đỡ ô
văng...
2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn Mz
Biểu đồ mômen xoắn được vẽ bằng phương pháp mặt cắt.
Từ điều kiện cân bằng tĩnh học: M/OZ = 0 suy ra nội lực Mz trên mặt cắt.
Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ Mz
MC =10N-m
M A =5N-m
M B =20N-m MK=25N-m
M A =10Nm
Mz
1
1
B
C
K
A
B
01
L
L
L
L
z1
MC =10N-m
5Nm
+
+
_
15N-m
Thực hiện mặt cắt 1-1 trong đoạn AB, xét cân bằng phần bên trái của mặt cắt, ngoại lực
là ngẫu lực xoắn MA nội lực tại mặt cắt 1-1 là mômen xoắn Mz vẽ theo chiều dương.
Lập phương trình cân bằng tỉnh học:
M / z = 0 Mz = MA= 5Nm (Momen ngoại lực tập trung nội lực không phụ thuộc z)
Tương tự cho các mặt cắt trong đoạn BK và KC và biểu đồ được vẽ như hình trên
(Chú ý tại mặt cắt có Mo tập trung trên biểu đồ Mz sẽ có bước nhảy và giá trị bằng
momen tập trung đó, biểu đồ hằng số trong từng đoạn không phụ thuộc z)
Thí dụ 2:
Cho trục có tiết diện thay đổi, đoạn AK có momen phân bố đều m hằng số và moment
tập trung như hình vẽ. Vẽ biểu đồ nội lực Mz
Thực hiện mặt cắt trong đoạn AK như hình dưới, ta thấy biểu đồ Mz bậc 1trong đoạn
AK và các đoạn khác giống như thí dụ đã vẽ trên
1
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Đoạn AK
d2=10cm
d1=6cm
40Nm
m=20Nm/m
0 < z < a
Mz-mz=0
Mz= mz
K
A
D
C
a
B
a
a=50cm
a
m
Mz
10Nm
z
+
-
30Nm
3. Công thức chuyển đổi công suất động cơ W(N-m/s) ra ngẫu lực xoắn (mômen
xoắn ngoại lực M0 (N.m) trên trục.
Khi tính toán các trục truyền động, thường ta biết công suất truyền của môtơ tính
bằng mã lực (CV) hay kilôóat(kW) và tốc độ trục quay bằng n (vòng/phút), do đó cần
chuyển đổi công suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục.
Giả sử có một ngẫu lực xoắn Mo (N.m) tác dụng làm trục quay một góc (radian)
trong thời gian t (giây), công sinh ra là:
A = Mo.
A
t
Mo
t
W
Mo
Mo
Công suất là:
t
trong đó: - là vận tốc góc (rad/s), đơn vị của công suất là N.m/s.
Gọi n là số vòng quay của trục trong một phút (vòng/phút), ta có:
2n n
60 30
a) Nếu W tính bằng mã lực (CV, HP); 1mã lực = 750Nm/s = 0,736 kW:
30W 30.750.W
W
Mo
7162 (Nm)
n
n
n
b) Nếu W tính bằng kilôwat (KW), 1 KW 1020 N.m/s:
30W 30.1020.W
W
Mo
9740 (Nm)
.n
n
n
. XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN
Mz
Mz
b)
a)
H.9.2
dz
2
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
1- Thí nghiệm - Nhận xét
Xét một thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài vạch những đường song song và
những đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.2.a).
Tác dụng lên hai đầu thanh ngẫu lực xoắn Mz ngược chiều, ta thấy trục thanh vẫn
thẳng, chiều dài thanh không đổi, những đường tròn thẳng góc với trục vẫn tròn và
thẳng góc với trục, những đường song song với trục thành những đường xoắn ốc, lưới ô
vuông thành lưới bình hành (H.9.2.b).
2- Các giả thiết : Trong quá trình biến dạng :
a) Mặt cắt ngang vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách không đổi
b) Các bán kính vẫn thẳng và chiều dài không đổi
c) Các thớ dọc không ép và đẩy lẩn nhau
3- Ưng suất trên mặt cắt ngang.
Tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có
Mz
bán kính đến tâm 0 (H.9.3).Theo thí nghiệm trên ta nhận
thấy, biến dạng của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ là sự
xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z.
Theo giả thiết a) không có biến dạng dài theo phương
dọc trục, theo giả thiết c) các thớ dọc không tác dụng với
nhau nên không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của
phân tố.
z
O
z
H. 9.3
Do giả thiết b), mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm
Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp
theo phương vuông góc bán kính và cùng chiều với Mz gọi là và phân tố đang xét ở
trạng thái ứng suất trượt thuần túy (H.9.4).
Để xét biến dạng xoắn ta tách phân tố hình trụ tròn có bán kính qua điểm muốn tính
và đoạn AB bằng dz. Giã sữ mặt cắt tại B đứng yên, mặt cắt tại A xoay một góc d từ A
đến A/ theo chiều Mz như sau : Gọi là góc trượt
Mz
d
A
A/
z
0
O
z
B
H. 9.4
z
dz
H. 9.3
Phân tố trượt thuần túy
Từ (H.9.3), ta có:
Tan =
AA
d
dz
(a)
AB
Áp dụng định luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có:
d
p G G
dz
(b)
Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì .dA là lực tiếp
3
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
tuyến tác dụng trên diện tích đó và .dA. là mômen của lực dA đối với tâm O.
Tổng các mômen này phải bằng Mz, nên ta có thể viết:
M dA
(c)
z
p
A
d
dz
(b) vào (c)
d
dA
(d)
M G
z
A
Vì :
là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt A, nên ta có thể đưa ra ngoài dấu
dz
2..dA
tích phân, khi đó tích phân
chính là mômen quán tính cực (đối với một điểm) Ip
A
d
dz
d
dz
M z G
2dA G
I p
của mặt cắt ngang đối với tâm O, ta được:
(e)
A
Mz
dz GI
d
từ (e) ta có :
(f)
d
dz
Có thể thấy rằng :
chính là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài (còn gọi là góc
xoắn tỉ đối) đơn vị (rad/m).
d
dz
Mz
GI
Đặt :
, ta có:
Mz
I
từ (b) và (f) ta suy được công thức tính ứng suất tiếp :
Trong đó Mz là nội lực trên mặt cắt, là khoảng cách từ điểm muốn tính ứng suất đến
tâm 0, và IP là momen quán tính đối với tâm 0 của mặt căt ngang.
Nhận xét :
-Ứng suất tiếp thay đổi theo quy luật bậc nhất, bằng không tại tâm 0 và cực đại tại
những điểm trên chu vi ( =R), và cùng chiều với Mz
- Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tại mọi điểm trên mặt cắt ngang
Trên H.9.7.b, thể hiện ứng suất tiếp đối ứng trên các mặt cắt chứa trục.
M z
M z
0
0
Hình 9.5a
mma
x
ax
max
Hình 9.5b
Mz
I
max
R
Ứng suất tiếp cực đại ở các điểm trên chu vi ( = bán kính R)
Mz
W
I
max
W
đặt:
; Wp : gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang
R
4
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
R3 D3
I
R
W
0,2D3
* Với tiết diện tròn đặc và D là đường kính:
2
16
D4 (14 ) 1 D3
I
* Với tiết diện tròn rỗng: W
(14 ) 0,2D3 (14 )
R
32
R
16
trong đó: là tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngoài ( = d/D).
4- Công thức tính biến dạng khi xoắn
Mz
GI
Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz là : d
dz
Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dài L là:
L
L
d GMIz
dz
o
o
Mz L
GIp
M z
* Khi đoạn thanh có
là hằng số
GIp
MzL
GI
M z
(
)
* Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có
là hằng số:
i
GIp
i
Góc xoắn được quy ước dương theo chiều dương của Mz và thứ nguyên Radian
5- Tính toán thanh tròn chịu xoắn thuần tuý:
Mz
WP
0
n
max
Điều kiện bền:
với: o - là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác định từ thí nghiệm
n : là hệ số an toàn.
[ ]
2
+ Nếu tính theo thuyết bền ứng suất tiếp (TB3):
max
[ ]
max
+ Nếu tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng(TB4):
3
Điều kiện cứng:
max [ ]
[ ]: Góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật,
đơn vị của [ ] là (radian/ đơn vị chiều dài, hay độ/ đơn vị chiều dài).
rad/ m 0/ m
Công thức qui đổi:
2
360
Từ điều kiện bền và cứng ta có ba bài toán cơ bản:
- Kiểm tra điều kiện bền, cứng.
- Xác định tải trọng cho phép.
- Xác định đường kính.
Thí du 3:
Cho thanh có tiết diện tròn đường kính thay đổi. Đoạn BC có d1=8cm, đoạn CD có d2 =
6 cm.
a) Vẽ biêu đồ momen xoắn Mz
5
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
d1=8cm
d2=6cm
b) Tính góc xoắn ở đầu D
3M0
M0
z
c) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiên cứng.
Cho : G =8000kN/cm2, M0 =1kNm,
[ ] = 0,560/m, [ ] =3,0kN/cm2
Giải :
B
C
D
40cm
-
60cm
M0
Mz L
GIp
MBC lBC MCDLCD
BD
G IBC G ICD
i
i
+
2M0
M z L
GIp
210060
100 40
0,2103 rad
BD
32
8103 84 8103 64
i
i
32
200
100
BC
max
CD
max
1,99kN /cm2
,
2,36kN / cm2
100,48
42,39
M z
100
CD
max
[]
9,645105 radian / cm
GI p
8103 64
32
M z
200
BC
max
[]
6,104105 radian / cm
GIp
8103 84
32
0,563,14
9,769105 radian/cm
Với :
[]
180102
Có thể tính BD bằng cộng tác dụng như sau :
BD (3M0 ,M0 ) BD (3M ) BD (M0 )
30060
100 40
10060
0,2.103 rad
32
32
8103 84 8.103 64 8.103 84
32
Thí dụ 4 :
Cho thanh tròn chịu xoắn như hình vẽ, đoạn AB hình tròn đặc đường kính D đoạn BCK
hình tròn rỗng đường kính d.
a. Vẽ biễu đồ MZ
b. Tìm d và D theo điều kiện bền.
d
Cho 0,8 , [ ] =2,0kN/cm2 M0 = 4kNm
,
D
Điều kiện bền:
Mo
400
400
D3
1726,13 D 12,00cm
BC
max
CK
max
WP D3
16
2.0115866
x0,5904
2Mo
2.400
D3
AB
max
2 D 12,68cm .. Chọn Dmax =13cm, d = 10,4cm
WP
16
6
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
M0
2M0
3M0
D
A
C
K
B
d
a=60cm
a
a
M0
-
+
+
2M0
M0
Thí du 5 :
Thanh ABCD chịu xoắn như hình vẽ.Tìm M0 để thanh thỏa điều kiện bền.
Cho [ ] =4,0kN/cm2 a = 60cm.Tính D với M0 tìm được.G = 8000kN/cm2
,
d=6cm
D
D=10cm
4Mo
Mo
A
C
B
z
a
a
a
3Mo
Mo
-
+
3Mo 3M0
AB
max
Điều kiện bền:
4 M0 261,67kNcm
103
WAB
16
Mo
M0
63
16
CD
max
4 M0 169,56kNcm
WCD
Chọn [M0]min = 169,56kNcm = 1,69kNm
M z L
GIp
16960
16960
316960
3,2103 rad
BD
32
32
8103 64 8103 104 8.103 104
i
i
32
6- Thế năng biến dạng đàn hồi
Thế năng riêng tích lũy trong một đơn vị thể tích là:
7
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
1
u
[12 22 32 2(12 23 31)]
2E
Thanh chịu xoắn thuần tuý, TTƯS trượt thuần tuý với ứng suất tiếp , nên
1
E
u
2
1 = ; 2 = 0 và 3 = – , ta được:
(a)
2
1
u
với: E = 2 G/(1 + ), thay vào (a), ta được:
(b)
2 G
dU udV udAdz
Thế năng tích lũy trong một đoạn dz là:
(c) thay (b) vào (c)
V
A
2
M 2
M z2
I p2
p
Mz2
1
dA.dz
1
12
1
z
I p2
dU
2
dz 2dA
hay
dU
dz (d)
A 2 G
G
2G
2 GIp
A
A
Mz2
2 o GIp
1 L
Vậy thế năng trên đoạn thanh có chiều dài L là:
+ Khi đoạn thanh có Mz/GIp là hằng số U
U
dz
M2 L
1
z
2 GIp
Mz2 L
GIp
1
+ Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có Mz/GJp là hằng số U
(
)
2
i
i
Hay có thể tính TNBDĐH như sau :
M2dz
2 GIp
1
1
z
dA dU Mz .d
Mz
2
dz
L
Mz
1 L
M z2
Mz
d
dz
,
U A
dz
GIp
2 o GIp
GI=hangso
7- Dạng phá hỏng của các vật liệu
Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chịu xoắn, ta thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân
tố ở trạng thái trượt thuần túy chịu ứng suất tiếp cực đại max (H.9.a), ở trạng thái này, theo hai
phương nghiêng 45o so với trục có ứng suất kéo chính và ứng suất nén chính 1 = –3 =
(H.9.8.b).
1
3
1
3
max
3
1
3
1
P
a)
b
H. 9.8 Trang thai ?ng su?t t?i m?t đi?m trên m?t ngoài
c?a thanh ch?u xo?n
Mặt khác, qua thí nghiệm, ta cũng biết rằng vật liệu dẻo(như thép)chịu kéo, chịu nén tốt như nhau, còn
chịu cắt thì kém hơn, do đó, khi một trục thép bị xoắn sẽ bị gãy theo mặt cắt ngang, do ứng suất tiếp
max trên mặt cắt ngang (H.9.9).
8
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Với vật liệu dòn như gang, chịu nén và chịu cắt rất tốt, còn chịu kéo rất kém nên khi xoắn sẽ bị gãy
theo mặt nghiêng 45o so với trục do ứng suất kéo chính 1 (H.9.10).
Với vật liệu có cấu tạo thớ như gỗ, chịu cắt dọc thớ rất kém nên khi xoắn sẽ bị nứt dọc theo
đường sinh do ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với ứng suất tiếp trên mặt
cắt ngang (H.9.11).
Thí dụ 4.
Một động cơ có công suất 50kW, truyền một mômen xoắn lên một trục tròn hình vành
khăn có d = 0,85D tại tiết diện K, vận tốc quay của trục n=3000vg/phút.Giả sử hiệu suất
truyền là100%.Khi đó tại tiết diện B,C nhận được công suất truyền 30kW và 20kW
(H.9.12.a). Định đường kính D, sau đó tính góc xoắn BK .
Biết: [ ] =16kN/cm2; [ ] = 0,250/m; a =50cm; G =8.103kN/cm2.
Gọi ngẫu lực xoắn tác dụng tại K, B, C lần lượt là M1, M2, M3. Áp dụng công thức
chuyển đổi, ta được:
M1 = 9740 x 50 / 3000 =162,33N.m =16,23kNcm
M2 = 9740 x 30 / 3000 = 97,4N.m = 9,74kNcm
M3 = 9740 x 20/ 3000 = 64,9N.m
= 6,49kNcm
Sơ đồ tính của trục và biểu đồ
mômen vẽ ở hình dưới).
50kW
30kW
B
20kW
D
C
K
60cm
60cm
Định đường kính D:
+ Theo điều kiện bền:
9,74kN-cm
B
16,23kN-cm
K
d
6,49kN-cm
2
M z
max []
[]
Wp
C
9,74kN-cm
+
_
M z
3
D
0,2.
1 (0,85)4
[]
[]
2
8kN /cm2
với: [ ] =
;
6,49kN-cm
Mz = 9,74kNcm D 4,7cm
(a)
+ Theo điều kiện cứng:
M z
M z
4
D
9,53cm
max []
[]
GIp
G.0,1
1 (0,85)4
.
0,25
4,36.105 rad /cm
với: [ ]=0,250/m
;
=
180
Để thỏa cả hai yêu cầu (a), (b), ta chọn D =10 cm, d=8,5cm
Tính góc xoắn KC: Áp dụng công thức biến dạng ta được:
M z L
GIp
6,4960
104
32
1,02.104 rad
BK
i
8103
1 (0,85)4
i
Bài toán siêu tĩnh.
9
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Một thanh AB tiết diện tròn đường kính d ngàm tại A và C và chịu lực như hình vẽ.
Vẽ biểu đồ Mz và tính ứng suất tiếp lớn nhất.
Cho M0 =10Nm, d=10cm, a = 0,5m, b = 1,5m
Giải
Ngoại lực là mômen xoắn M0 tác dụng trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh thì
phản lực phát sinh tại các liên kết ngàm A và C là MA, Mc phải thuộc mặt phẳng thẳng
góc với trục thanh. Giả sử MA, Mc có chiều như trên hình vẽ.
Với IP = 981,25cm4 ,WP =196,25cm3
MA
Mc
M0
B
MC
MA
M0
d
C
A
B
A
d
a
b
C
b
a
-
M0 –Mc
+
Mc
Để xác định các mômen phản lực, viết phương trình cân bằng tỉnh học
M/z = 0, ta có: MA – M0 + Mc =0 (a)
Phương trình (a) không đủ để định được phản lực MA, MC : Bài toán siêu tĩnh.
Cần bổ sung một (hay nhiều) phương trình thiết lập từ điều kiện biến dạng của bài toán
(phương trình điều kiện biến dạng).
Thường cách giải như sau:
+Tưởng tượng bỏ ngàm C, thay bằng phản lực tương ứng MC
+Viết phương trình điều kiện biến dạng: AC = 0
(Tại A,C liên kết ngàm do đó góc xoắn AC = 0 )
+Tính AC : Thường áp dụng nguyên lý cộng tác dụng.
Mz L
MC (a b) M0.a
a
AC
(
)
0 MC
M0
GIp
G.IP
GIP
1,5
a b
i
0,5
2
b
MC
10 2,5kNm,M A
M0 10 7,5kNm
a b
2
750
AB
max
3,82kN / cm2
196,25
. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT(ngành XD học)
Thí nghiệm xoắn thanh tiết diện chữ nhật, biến dạng như hình vẽ
Lý thuyết đàn hồi cho các kết quả như sau:
10
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Ứng suất: Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp.
+ Tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng không.
+ Tại điểm giữa cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất
Mz
max
hb2
1
+ Tại điểm giữa cạnh ngắn, ứng suất 1 bé hơn:
1 max
+Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên các trục đối
xứng, các cạnh tiết diện và các đường chéo được biểu
diễn ở H.9.17.
max
Mz
max
M z
Ghb3
h
Góc xoắn tương đối :
1
b
trong đó: , , là các hệ số phụ thuộc tỷ số (cạnh dài h
/cạnh ngắn b) được cho trong bảng.
H. 9. Phân bố ứng suất tiếp
trên tiết diện chữ nhật
Bảng 9.1 Giá trị , ,
h
1
1,5
1,75
2
2,5
3
4
6
8
10
b
0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,29 0,307 0,313 0,333
9
0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,29 0,307 0,313 0,333
9
1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,74 0,742 0,742 0,742
3
V. TÍNH LÒ XO HÌNH TRỤ BƯỚC NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC
Lò xo là một bộ phận được dùng rộng rãi trong kỹ thuật, được lắp đặt tại những chỗ cần
giảm chấn do tải trọng động như đế móng,thang máy, hệ thống nhún trong ôtô, đế mô tơ
công suất lớn...
Lò xo hình trụ được cấu tạo bằng cách quấn một sợi dây thép tiết diện vuông, chữ
nhật hoặc tròn quanh một lõi hình trụ, ta chỉ tính lò xo chịu lực theo phương trục của
hình trụ này; trục của hình trụ cũng là trục của lò xo, ngoài ra chỉ xét lò xo có các vòng
gần nhau gọi là lò xo hình trụ bước ngắn (H.9.18.a).
1.Các đặc trưng của lòxo
11
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Qy =P
dF
P
D
1
P = Qy
A
o
h
M
z
d
a)
max
P
D/2
P
o
A
P
b)
M
z
a)
b)
D
d/2
.
H. 9.19 Nội lực và ứng suất trên
mặt cắt dây lò xo
+ d: Đường kính dây lò xo.
+ D: Đường kính trung bình của lò xo.
+ n: Số vòng làm việc của lò xo.
+ G: Môđun đàn hồi trượt của vật liệu làm lò xo.
2- Ứng suất trong dây lò xo:
Dùng một mặt cắt cắt qua một sợi dây lò xo, tách lò xo làm hai phần, xét điều kiện cân
bằng của một phần lò xo như trên H.9.18.b, ta được:
D
Y 0 Qy P,M /0 0 Mz P
2
Trên mặt cắt đang xét (xem như mặt cắt ngang của dây lò xo) có lực cắt Qy và
mômen xoắn Mz, chúng đều gây ứng suất tiếp:
= M + Q
Tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang, các thành phần ứng suất được biểu diễn
như (H.9.19).
Bỏ qua độ nghiêng của dây lò xo, coi tiết diện đang xét là tròn, có thể thấy rằng, tại mép
trong của mặt cắt dây lò xo, điểm A trên H.9.19, ứng suất tiếp đạt giá trị cực đại, dù lực
P là tác dụng kéo hay nén lò xo.
Một cách gần đúng, ứng suất tiếp tại điểm nguy hiểm có thể tính như sau:
D
P
Qy
A
M z
Wp
P
2
max Q M
d 2 d 3
16
4
8PD d
8PD
d3
max
1
d3 2D
Thực chất Q không phân bố đều, còn công thức tính M như trên không chính xác vì
tiết diện không tròn do độ nghiêng của dây lò xo cũng như sợi dây lò xo không là thanh
12
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
thẳng, cho nên trong tính toán thực hành, kể đến kết quả do thực nghiệm, ta có thể lấy:
D
D
P
0,25
8PD
.d3
2
d
max k
k
với k
.d3
D
1
d
16
2- Biến dạng của lò xo:
Tính độ co, hay dãn của lò xo khi chịu lực dọc trục.
Dùng nguyên lý bảo toàn năng lượng, bỏ qua các mất mát năng lượng, công ngoại
lực T hoàn toàn biến thành thế năng biến dạng đàn hồi U. Ta có:
1
T P
+ Công của ngoại lực P trên độ co, dãn của lò xo là:
(a)
2
+ Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo (bỏ qua thế năng do Qy)
Mz2 L
1
1
, với : Mz PD và L=Dn
U
2
2
GIp
1 P2 D2
Dn
Gd 4 /32
1 8P2 D3n
U (
)
(b)
Gd4
2
4
2
8PD3n
P
C
Gd4
C
về giá trị,
T = U,
với:
Gd4
8D3n
luc
chieudai
trong đó: C - là độ cứng của lò xo, có thứ nguyên
Thí dụ 7 :
Hai lò xo có độ cứng C1 =8kN/cm và C2 = 5kN/cm cùng chiều cao H, được ghép đồng
trục (song song), cùng chịu lực P =50kN (H.9.20.a). Tính lực tác dụng trên từng lò xo,
tính chuyển vị của điểm đặt lực.
P
P
C1
C2
1
1
1
1
R1
R2
a)
b)
H. 9.20 a) Hai loø xo gheùp ñoàng truïc
b) Noäi löïc trong loø xo
Cắt 2 lò xo bằng mặt cắt (1-1), xét cân bằng phần trên, gọi nội lực của lò xo là R1, R2,
(H.9.20.b),
13
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Y = 0
R1 + R2 = P
(a)
Một phương trình chứa hai ẩn số, ta gặp bài toán siêu tĩnh.
Điều kiện biến dạng: độ co ngắn của lò xo 1 phải bằng lò xo 2:
1 = 2
(b)
(c)
R1 R2
C1
R1
R2
C1 C2
C2
C2
C1 C2
P
C1
C2
R2
1
P
C1
C1 C2
Suy ra :
R1
P
(d)
thay giá trị P, C1, C2 vào (d) ta được: R1 =30,77kN; R2 =19,23kN
Chuyển vị của điểm đặt lực chính là độ co của lò xo 1 hoặc lò xo 2
1 = 2 = = R1 / C1 =30,77/8 =3,85cm.
Thí du 8 :
Hai lò xo có độ cứng C1=8kN/cm và C2 =5kN/cm cùng chiều cao H, được ghép nối tiếp,
cùng chịu lực P=50kN (H.9.20.a).Tính lực tác dụng trên từng lò xo, tính chuyển vị của
điểm đặt lực
Giải.
Gọi R1 và R2 là nội lực của lò xo 1 và 2, dùng phương pháp mặt cắt ta có:
R1 = R1= P = 50kN.
Gọi 1 và 2 là biến dạng của lò xo 1 và 2. Biến dạng tổng của 2 lò xo là:
= 1 + 2
Qua thí dụ trên ta có nhận xét :
a) Nếu lò xo ghép nối tiếp thì biến dạng bằng tổng hai biến dạng : = 1 + 2
Nội lực trong hai lò xo bằng : R1 = R1= P
b) Nếu lò xo ghép song song thì : 1 = 2 =
Nội lực : R1 + R2 = P
14
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
Baì Giảng Sức Bền Vật Liệu
Bài tập làm thêm:
Bài 1:
1.Tính phản lực tại ngàm B theo a
2.Tìm a để ứng suất tiếp 2 đoạn trục bằng nhau
M0=100kNcm
d2 =2d1
d
D
B
C
a
L=100cm
5. Tìm MD để góc xoắn tại K bằng không.(cho hai trườmg hợp). Tính theo Mo
G, 2Ip
G, 2Ip
G, Ip
G, Ip
MD
4M0
MD
D
3M0
C
M0
M0
K
K
C
L
B
D
B
L
L
a
a
a
15
Chương 9:Xoắn thuần túy thanh thẳng
GV :Lê đức Thanh
15 trang
10920
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh thẳng - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_9_xoan_thuan_tuy_thanh_th.pdf
