Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn - Lê Đức Thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Chương 8
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN
I.KHÁI NIỆM CHUNG
Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến
điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các
ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy được gọi là đƣờng đàn hồi của dầm
(H.8.1).
P
P
z
v y(z)
v
K
P
K
P
Đường đàn hồi
Đường đàn hồi
z
u
y
y
H.8.2
H.8.1
01
V(z)
02
u
Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng.Sau khi biến dạng, điểm K
sẽ di chuyển đến vị trí mới K/. Khoảng cách KK’được gọi là chuyển vị thẳng của điểm
K. Chuyển vị nầy có thể phân làm hai thành phần:
Thành phần (v) vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vị đứng
hay độ võng của điểm K.
Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi là chuyển vị ngang của điểm K.
Ngoài ra, sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc, ta gọi là
chuyển vị góc (hay là góc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K.Tại K/ vẽ tiếp tuyến với
đường đàn hồi và hợp với trục chưa biến dạng của dầm một góc ta dễ thấy là góc
xoay của mặt cắt ngang.
Ba đại lượng u, v, là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K.
Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị ngang u là
một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua chuyển vị u và xem
KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 1
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
dầm trước biến dạng (H.8.2).
dv
dz
tg
Góc xoay có thể lấy gần đúng:
.
Nếu chọn trục dầm là z, và trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vị v chính là tung
độ y của điểm K’.Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K. Ta thấy rõ nếu K có
hòanh độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vị y, cũng là những hàm số của z và
phương trình đàn hồi là:
y(z) = v(z)
Phương trình của góc xoay sẽ là:
dv dy
z
y'
z
dz dz
Phƣơng trình của góc xoay là đạo hàm của phƣơng trình đƣờng đàn hồi.
Quy ƣớc của chuyển vị:
- Độ võng y dương nếu hướng xuống.
- Góc xoay dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ.
Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống
chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới hạn nhất định để đảm bảo
yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công trình..., điều kiện nầy được gọi là điều kiện
cứng. Nếu gọi f /L độ võng lớn nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là:
f
1
1
L
300 1000
trong đó : L - là chiều di nhịp dầm.
f L
Tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số của
.
II. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI
Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm. Trong chương 7 (công thức7.1) ta đã lập được
mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx
tại Klà:
M x
EI x
1
(a)
Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ
trục (y0z) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K có hoành độ z được
tính theo công thức:
y
1
(b)
3
2
2
1 y
y
Mx
EI x
(a) va (b)
(c)
3
2
1 y'2
Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải chọn sao cho
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 2
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn.
Khảo sát một đoạn dầm bị uốn
cong trong hai trường hợp như
H.8.3. Trong cả 2 trường hợp
mômen uốn Mx và đạo hàm bậc hai
y” luôn luôn trái dấu, cho nên
phương trình vi phân của đường
đàn hồi có dạng:
z
z
Mx
Mx
Mx
Mx
Mx < 0
y” > 0
Mx > 0
y” < 0
y
y
H.8. 3
y''
Mx
EIx
3
2
1 y'2
Với giả thiết chuyển vị của dầm là bé có thể bỏ qua (y’)2 so với 1 và khi đó
phƣơng trình vi phân của đƣờng đàn hồi có dạng gần đúng như sau:
Mx
EIx
y''
(8.1)
trong đó: Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm .
III. LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH
PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN
Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương
trình vi phân thường.
Tích phân lần thứ nhất (8.1) phương trình góc xoay:
Mx
EI x
dz C
(8.2)
(8.3)
y'
Tích phân lần thứ hai phương trình đường đàn hồi:
Mx
EI x
y
dz C dz D
Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định các điều kiện
biên. Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi
tải trọng trên dầm.
A
C
A
B
b)
yA = 0
= 0
yA = 0
yB = 0
H. 8.4
a)
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 3
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau:
+ Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không (H.8.4a):
yA = A = 0
+ Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b):
yA = yB = 0
+ Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau,
độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay bên phải ( điểm C trên
H.8.4b):
P
tr
ph
tr
ph
yC = yC ; C = C
z
B
A
yB = B = 0
Thí dụ 1
z
Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm
côn son (console) như H.8.5.Từ đó suy ra độ võng và góc
xoay lớn nhất. Cho EIx = hằng số.
Giải.
L
y
H.8.5
Mx
z
Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là (gốc
tại A)
Mx = –Pz (a)
thế vào (8.1) phương trình vi phân của đường đàn hồi :
Mx
EI x
Pz
EI x
y''
(b)
Pz2
2EI x
tích phân hai lần,
y'
C
(c)
(d)
Pz3
y
Cz D
6EI x
C và D được xác định từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại ngàm:
z = L; = 0 v y = 0
thay các điều kiện nầy vào (c) và (d)
PL2
2EI x
PL3
3EI x
C
; D
Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:
Pz3
6EI x 2EI x
Pz2 PL2
PL2
PL3
3EI x
y
z
;
2EI x 2EI x
Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có
PL3
3EI x
PL2
2EI x
ymax
;
( thƣờng dùng cần nhớ)
ymax > 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 4
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
< 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ.
Thí dụ 2:
Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6). Cho EIx = hằng số
Giải.
Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành
q
z
độ z là: ( gốc tại A)
B
A
qz2
Mx
(a)
(b)
z
z
yB = B = 0
2
L
H.8.6
Mx
qz2
thế vào (8.1), y''
2EI x
y
qz3
6EI x
tích phân hai lần, y'
C (c)
q
qz4
y
C z D (d)
24EI x
hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L; = 0 v y = 0 cho :
qL3
6EI x
qL4
8EI x
C
; D
Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là:
qz4
qL3
qL4
y
z
;
24EI x 6EI x
qz3 qL3
8EI x
6EI x 6EI x
Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có:
qL4
8EI x
qL3
6EI x
ymax
A
và
Thí dụ 3.
Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản
chịu tải phân bố đều (H.8.7).Độ cứng EIx của dầm
không đổi.
q
z
A
B
L/2
qL/2
Giải.
L
Phương trình mômen uốn tại mặt cắt ngang có
hoành độ z là:
y
q
Mx
qL
2
qz2
2
q
2
Mx
z
Lz z2
(a)
qL
2
z
thay vào (8.1), phương trình vi phân của đường
đàn hồi như sau:
H.8.7
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 5
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
q
2EI x
y''
Lz z2
(b)
2
3
q
2EI x
Lz
2
z
Tích phân hai lần, y'
C
(c)
3
3
4
q
y
Lz
6
z
C z D
2EI x
12
khi : z 0; y 0
khi : z L; y 0
điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm:
qL3
24EI x
D 0; C
Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:
qL3
24EI x
z2 z3
y
z 1 2
(e)
(g)
L2 L3
qL3
24EI x
z2
z3
y'
1 6 4
L2
L3
Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhịp ứng với:
5qL4
L
2
L
2
ymax y z
z =
(tại đây y’= 0), thay z =
vo (e),
L
2
384EI x
Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’max , y’min) tại mặt cắt ngang có y” = 0 (hay Mx =
0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm. Thay z = 0 và z = L lần lượt vào (g)
1 qL3
24 EI x
1 qL3
24 EI x
min y'min
max y'max
Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay của mặt
cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ.
Thí dụ 4 (tự đọc)
Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa chịu lực tập trung P
như H.8.8 cho biết EIx = hằng số.
P
B
z
A
C
z1
z 2
b
a
L
Y
H.8.8
Pab/L
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 6
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Giải.
Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB khác nhau nên
biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác nhau. Viết cho từng đoạn các
biểu thức Mx, y’’, y’, y như sau:
Mômen uốn Mx trong các đoạn sau:
Pb
L
Mx(1)
z1
Đoạn AC (0
Đoạn CB (a
z1
z2
a):
(a)
(b)
Pb
L
L): Mx(2)
z2 P
z2 a
Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn:
Pb
LEIx
Đoạn AC:
y1''
z1
(c)
(d)
Pb
LEIx
P
EI x
Đoạn CB:
y2 ''
z2
z2 a
Tích phân liên tiếp các phương trình trình, ta được:
Đoạn AC (0 z1 a):
Pb
2LEIx
y1'
z12 C1
(e)
(g)
Pb
6LEIx
y1
z13 C1z1 D1
Đoạn CB (a
z2 L):
Pb
2LEIx
P
2EI x
2
y2 '
z22
z2 a
C2
(h)
(i)
Pb
6LEIx
P
6EI x
y2
z23
z2 a
3 C2z2 D2
Xác định các hằng số tích phân C1, D1, C2, D2 từ các điều kiện biên
- Ởgối tựa A, B độ võng bằng không
.
- Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai đoạn phải
bằng nhau.
khi:
z1 = 0; y1 = 0
z2 = 0; y2 = 0
z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’
Từ bốn điều kiện nầy :
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 7
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
D1 0
Pb
6LEIx
Pb
P
6EI x
L3
L a
3 C2 L D2 0
Pb
6LEIx
a3 c1a D1
a3 c2a D2
6LEIx
Pb
Pb
2LEIx
a2 c1
a2 c2
2LEIx
Giải hệ phương trình trên,
D1 = D2 = 0; C1 C2
Pb
6LEIx
L2 b2
Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là:
Đoạn AC (0
z1
a):
2
2
2
z1
Pb L b
LEIx
y'
1
1
6
2
3
2
2
z1
Pb L b
y1
z1
LEIx
6
6
Đoạn BC (a
z2
L):
2
2
Pb
L2 b2
z2
2
L
z2 a
2b
y'
2
2
LEIx
6
3
3
Pb
L2 b2
z2 a
z2
y2
L
z2
LEIx
6b
6
6
Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0,
Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào
Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng:
2
PbL
6EI x
b
1A
1
0
L2
PbL
3EI x
và ở C (z1 = a): 1C
a b 0
0,500L
Như vậy, giữa hai điểm A và C
góc xoay 1 đổi dấu, nghĩa là sẽ bị triệt
tiêu một lần. Điều đó cho thấy độ võng
có giá trị lớn nhất trong đoạn AC.
Để tìm hoành độ z1(0) của mặt cắt
ngang có độ võng lớn nhất, ta cho
phương trình 1 = 0:
E
B
A
D
z
0,577L
2
2
z1
0
Pb L b
1
z1(0)
0
LEIx
6
2
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 8
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
L2 b2
z1(0)
(o)
3
Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng, giá trị lớn nhất của độ võng
L2 b2
b
2
3Pb
ymax y1
1
(p)
z1(0)
L2
27EI x
Các hệ quả:
- Nếu P đặt ở giữa nhịp dầm
b L/ 2
, thì từ (o) và (p) , ta được:
L
2
PL3
z1(0) 0,500L ; ymax
(thƣờng dùng cần nhớ)
48EI x
L
- Khi P ở gần gối B, tức b 0 ta có: z1(0) =
= 0577L
3
Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhịp dầm đến gối tựa B
(H.8.9) thì hoành độ z1(0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là từ điểm D đến điểm
E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải trọng P tác dụng ở một vị trí nào
đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở giữa nhịp dầm.
Thí dụ: nếu tải trọng P tác dụng ở vị trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa nhịp dầm sẽ
Pb
yl 2
3L2 4b2
bằng:
48EI x
So sánh hai giá trị ymax và yl 2 thấy hai giá trị nầy khác nhau và rất ít
Nhận xét:
Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều
đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn
thì phải xác định 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n cùng lớn, vì vậy
phương pháp nầy ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi.
VI. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƢƠNG PHÁP TẢI
TRỌNG GIẢ TẠO (PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)
Phần trước đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực:
d 2M x
dz2
dQy
dz
dM x
dz
Qy
q(z)
,
,
q(z)
(a)
Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm, cũng có phương trình vi phân:
d 2 y
dz2
d
M x
y/
(b)
dz
EI x
Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau:
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 9
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
y
Mx
d 2Mx
dz2
d 2 y
dz2
d
d
M x
y'
Qy q(z)
dz
EI x
dz
Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân liên tiếp hai lần
Mx
EI x
hàm số
.Tương tự muốn có lực cắt Qy và mômen uốn Mx thì phải tích phân liên
tiếp hai lần hàm số tải trọng q. Tuy nhiên ở phần trước (nội lực), ta đã tính lực cắt Qy
và mômen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng, và
phương pháp mặt cắt.
Như vậy, ở đây ta cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y mà không cần tích
d 2M gt
M x
EI x
M x
EI x
d
Qgt qgt
qgt
phân. Nếu đặt
.Ta có:
.Ta có tương quan như
dz2
dz
sau
y’ = Qgt ; y = Mgt. Đó cũng chính là phƣơng pháp tải trọng giả tạo.
Phƣơng pháp tải trọng giả tạo:
Tưởng tượng một dầm giả tạo có chiều dài giống dầm thật trên đó có tải trọng
Mx
EI x
qgt
giả tạo
giống như biểu đồ
trên dầm thật, lúc đó muốn tính góc xoay y’ và
độ vong y của một dầm thật (DT)(dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và
mômen uốn Mgt do tải trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra.
Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn Mgt thì điều
kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Qgt ; y = Mgt tại bất kỳ điểm trên hai DT và
DGT.
Cách chọn dầm giả tạo (DGT)
DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT không có độ võng và góc xoay
thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương ứng sao cho qgt không gây ra
Mgt và Qgt.
Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp.
Bảng 8.1
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 10
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Dầm thực
Dầm giả tạo
A
B
A
B
Mgt = 0
Qgt 0
Mgt = 0
Qgt 0
y = 0
0
y = 0
0
A
B
A
B
y = 0
= 0
Mgt = 0
Qgt = 0
Mgt 0
Qgt 0
y 0
0
A
B
A
B
Mgt = 0
Qgt 0
Qtr = Qph
y = 0
0
tr= ph
y = 0
0
y 0
0
Mgt 0
Qgt 0
Mgt = 0
Qgt 0
Cách tìm tải trọng giả tạo qgt
Mx
qgt
Vì
, nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn Mx. Do đó:
EI x
- Nếu: Mx > 0 thì qgt < 0, nghĩa là nếu biểu đồ Mx nằm phía dưới trục hoành (theo
qui ước Mx > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống
- Nếu: Mx < 0 thì qgt hướng lên.
qgt luôn có chiều hƣớng theo thớ căng của biểu đồ mô men Mx
Mx < 0
q <0
z
Mx > 0
q >0
Ngòai ra trong quá trình tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của
lực phân bố qgt trên các chiều di khác nhau. Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng
tâm và diện tích của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2 dưới
đây:
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 11
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Hình vẽ
Diện
tích
()
Vị trí trọng tâm
x1
x2
h
C
Lh
L
2L
2
3
3
x1
x2
L
Bậc 2
h
C
đỉnh
Lh
L
3L
3
4
4
x1
x2
L
đỉnh
Bậc 2
2Lh
3L
5L
h
C
3
8
8
x1
x2
L
Thí dụ 5: Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do B của dầm công xon chịu tải trọng
phân bố đều q.Độ cứng của dầm EIx = const
Giải.
+ Biểu đồ mômen uốn Mx của DT có dạng đường bậc 2.
+ DGT tương ứng với lực phân bố qgt.
+ Độ võng và góc xoay tại B của DT chính bằng mômen uốn Mgt và lực cắt Qgt
tại B
1
qL2
3
L L
4
qL4
8EI x
yB MgBt
3 2EI x
q
1
qL2
qL3
6EI x
B QgBt
L
;
A
3 2EI x
a)
b)
L
qL2
2
M
x
qL2
c)
2EI x
DGT
Thí dụ 6: Tính chuyển vị đứng tại B
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 12
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
1
PL L L 3 L
7PL3
64EI x
yB MgBt
( )
2 2EI x 2 2 4 2
P
A
B
K
L/2
L/2
a)
b)
PL
PL
M
c)
2EI x
A
DGT
B
K
Thí dụ 7:
Tính chuyển vị đứng tại K,cho EIxhằng số
P
A
B
Thực hiện mặt cắt qua K xét bên phải. Chia diện
tích hình thang ra hai hình tam giác và hình chữ
nhật để biết trọng tâm
K
a)
b)
c)
L/2
L/2
PL
M
1
PL L 2 L
2 2EI x 2 3 2
yK M gKt
PL
EI x
DGT
B
PL3 PL3
PL3
K
A
PL L L
2EI x 2 4 24EI x 16EI x 12EI x
Mg
PL
PL
2EI x
EI x
PL
PL
L
3PL2
8EI x
K QgKt (
)
2EI x
4
EI x
Thí dụ 8:
M
B
K
Tính chuyển vị đứng và góc xoay tại K cho EIx hằng số
A
Tính phản lực gỉa tạo tại A
L/2
L/2
1 Mo
2 EI x
2
M0L
M / B 0 RgAr L
L L RgAt
3
3EI x
M
M0
M0
1
L 2 L
L L
yK M gKt (
)
M 0
RgBt
2 2EI x 2 3 2 2EI x 2 4
EI x
RgAt
M0 L
M0 L3 M0 L3
M0 L2
L
1
1
M gKt
2
12 EI x
6EI x 12 EI x
3EI x
M0
H.8.12
Góc xoay tại k chính là phản lưc giả tạo tại K
RgAt
2EI x
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 13
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
M0 L2
K QgKt RgKt
3EI x
VI. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH (BTST)
Tương tự các bài toán về thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta còn có BTST về uốn. Đó là
các bài toán mà ta không thể xác định tồn bộ nội lực hoặc phản lực chỉ với các phương
trình cân bằng tĩnh học,vì số ẩn số phải tìm của bài toán lớn hơn số phương trình cân
bằng tĩnh học có được.
Để giải được các BTST, cần tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện
biến dạng của dầm.
Thí dụ 7.
Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm như H.8.12a.Biết EI = hằng số.
Giải.
q
q
B
a)
B
h)
L
3
VB qL
q
8
B
b
5
A
qL
i)
Q
8
VB
3
qL2
qL
8
1
c)
k) qL2
2EI x
8
M
9qL2
VB L
d)
128
EI x
+ Dầm đã cho có bốn phản lực cần tìm (ba ở ngàm và một ở gối tựa B). Ta chỉ có ba
phương trình cân bằng tĩnh học, nên cần tìm thêm một phương trình phụ về điều kiện
biến dạng của dầm.
+ Tưởng tượng bỏ gối tựa ở đầu B và thay vào đó một phản lực VB (H.8.12b), ta
được một hệ mới. Hệ nầy chỉ có thể làm việc giống như hệ trên khi VB phải có trị số và
chiều thế nào để độ võng tại B, do tải trọng q và VB sinh ra, phải bằng không
Điều kiện biến dạng (chuyển vị): yB (q, VB ) = 0
+ Ta tính độ võng tại B bằng phương pháp tải trọng giả tạo (hay một phương pháp
khác).
Biểu đồ mômen uốn của dầm ở H.8.12b do tải trọng q và phản lực VB gây ra vẽ
như H.8.12c,d, DGT và qgt như H.8.12 e, g. Ta có:
Độ võng yB của hệ 8.12b chính là Mômen giả tạo tại B của DGT
qL2
2EI
VB L
EI
1
1
43 L – L
2
3
yB = M Bgt = L
23 L .Điều kiện độ võng yB = 0, VB = qL
3
8
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 14
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Sau khi tìm được VB, dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã cho như H.8.12
i, k.
VII. PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (Tự đọc thêm)
1. Nội dung phƣơng pháp
M x
Xét dầm có biểu đồ
như H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) như H.8.10a.
EI x
A
B
z
a)
ĐĐH
yA
yB
zA
y
z
z
dz
zB
LAB
zC
zC
A
B
b)
M x
EIx
C
S AB
M x
dz
EIx
H.8.10 Phương pháap diện tích mô men
dz
B
A
B
yA
yB
A
d
AB
d
B
tAB
d
ZB
ZB
M x
EI x
M x
EI x
Z d Z
Xét đoạn dầm AB:d
dz , suy ra:
dz
A
A
B A AB S AB
(8.18)
M x
S AB
với
là diện tích của biểu đồ
gồm giữa hai mặt cắt A v B.
EI x
Định lý 1. Độ thay đổi góc xoay giữa hai mặt cắt của một dầm (thí dụ giữa A v B) thì
M x
bằng dấu trừ diện tích của biểu đồ
giữa hai mặt cắt ấy.
EI x
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 15
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
ZB
ZB
M x
EI x
M x
t Z Z
dt z
dz z S AB
(8.20)
dt zd z
dz
suy ra:
Từ hình 8.10d:
BA
C
A
A
EI x
zC l khoảng cách từ trọng tâm của diện tích S AB đến B
Định lý 2. Độ sai lệch giữa tiếp tuyến ở một điểm B trên đường đàn hồi với một tiếp
tuyến ở một điểm A khác cũng trên đường đàn hồi bằng với dấu trừ mômen tĩnh của
M x
diện tích của biểu đồ
đối với đường thẳng đứng
P
EI x
A
đi qua B.
B
a
Từ H.8.10d ta cĩ:
yB = yA + ALAB + tBA = yA + A(zB – zA) + tBA
a
b
L
P
zC S AB
yB = yA + A(zB – zA) –
(7.21) chính là công thức dùng để xác định độ võng
(8.21)
b
A
B
của điểm B nếu biết độ võng của một điểm A (zB >
V
M x
c
Pa
zA) v biểu đồ
giữa hai điểm nầy.
EI x
EJ x
Mx
Từ (8.21 có thể tính độ võng của điểm A khi biết độ
võng của điểm B (zB > zA).
VB L
EJ x
EJ x
A B S AB
H.8.13
v
zC LAB zC
với:
yA yB
B S AB
LAB
LAB zC S AB
ta viết:
Khai triển và rút gọn, ta được:
SAB
yA = yB – BLAB – zC
(8.22)
zC - là khoảng cách từ trọng tâm C của S AB kể từ A.
Thí dụ 8: Tính phản lực VB của dầm siu tĩnh như H.8.13a. Cho biết :
EJx = hằng
Giải.
Tương tự thí \ dụ trên, cũng có điều kiện yB = 0
Tính yB bằng phương pháp diện tích mômen
Biểu đồ Mx/ EJx do tải trọng P v phản lực VB được vẽ H.8.13c
áp dụng công thức (8.5), ta có:
S AB
z
yA = yB – AL +
a 1 Pa 2 1 VBL
0 = yB – 0L + L
a
L L
3 2 EJ 3 2 EJ
3
Pa2 3L a VBL
yA = –
2EJ
3
3EJ
Điều kiện yB = 0 cho ta
3
Pa2 3L a VBL
0 = –
2EJ
3
3EJ
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 16
GV: Lê đức thanh
Bài giảng sức bèn vật liệu
Pa2
2L3
suy ra
VB =
(3L a)
Thí dụ 9.
Dùng phương pháp diện tích mô men xác định góc xoay ở đầu tri A v độ võng ở điểm
D giữa dầm (H.8.14). EIx = hằng số.
Giải. Theo định lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm A (z = 0) v D (z = L/2)
D A S AD
Chú ý rằng D = 0 vì bi tốn đối xứng và S AD có thể phân chia thành S1 S 2 S3
.
13 qL3
ta suy ra:
A (S1 S 2 S3 ) 0
A S1 S 2 S3
648 EI x
Góc xoay của mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ.
áp dụng công thức (8.21), ta viết
13
qL3
L
77
qL2
1
2
C
3
C
L
yD yA A zC S AD
0
z S z S z S3
C
1
2
2
648 EI x
2
11664 EI x
q
A
B
D
L/3
L/3
L/3
Mx
EI x
S1
4 qL2
72 EI x
S2
5 qL2
72 EI x
Chương 8: chuyển vị của dầm chịu uốn 17
GV: Lê đức thanh
17 trang
19280
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_8_chuyen_vi_cua_dam_chiu.pdf
