Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng - Lê Đức Thanh
Bài giảng sức bền vật liệu
Chương 7
UỐN PHẲNG THANH THẲNG
I.KHÁI NIỆM CHUNG
P3
M
Thanh chịu uốn là thanh có trục bị uốn cong
dưói tác dụng của ngoại lực.
P2
q
P1
02
Thanh có trục nằm ngang chủ yếu chịu uốn
được gọi là dầm.
(Thanh có trục thẳng đứng gọi là cột)
Ngoại lực:
Lực tập trung P, lực phân bố q tác dụng vuông
góc với trục dầm hay momen (ngẫu lực) M nằm
trong mặt phẳng chứa trục dầm .
01
P5
P4
H.7.1. Tải trọng tác dụng lên dầm
Mặt phẳng tải trọng:
Mặt phẳng () chứa ngoại lực và trục dầm.
Đường tải trọng: Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang.
Giới hạn bài toán:
+ Chỉ khảo sát các thanh mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng.
Trục đối xứng nầy và trục thanh hợp thành mặt phẳng đối xứng.
Tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng.
Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng của thanh,
Đường tải trọng cũng là trục đối xứng của mặt cắt ngang
Trục dầm sau khi bị cong vẫn nằm trong mặt phẳng () được gọi là uốn phẳng.
+ Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao.
H.7.3: giới thiệu một số loại dầm đơn giản thường gặp
q
P
q
b)
M
P
a
b
L
a)
c)
H.7.3. Các loại dầm: a) Dầm đơn giản
b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa
Tùy theo nội lực trên mặt cắt ngang dầm mà phân loại như sau:
Phân loại:
Uốn thuần túy phẳng: Nội lực chỉ có mômen uốn Mx= hằng số.
Uốn ngang phẳng : Nội lực có lực cắt Qy và mômen uốn Mx
Dầm ở H.7.4 có đoạn giữa CD chịu uốn thuần túy, đoạn dầm AC và DB của dầm ở
H.7.4 chịu uốn ngang phẳng. Dầm ở H.7.5 chịu uốn thuần túy.
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
1
Bài giảng sức bền vật liệu
P
M
P
M
a)
b)
c)
A
A
B
B
a
a
L-2a
P
+
D
a)
b)
Qy
_
C
M
A
P
B
M
Mx
B
Pa
Pa
H.7.5. Dầm chịu uốn thuần túy
H.7.4. Dầm với vùng ở giữa chịu
uốn thuần túy
II. UỐN THUẦN TÚY PHẲNG
1.Định nghĩa: Thanh chịu uốn thuần túy phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ có
một nội lực Mx.
Dấu của Mx : Mx 0 khi làm căng (kéo) thớ bên dưới của dầm (tính từ trục dầm)
2. Tính ứng suất trên mặt cắt ngang: (thí dụ chọn mặt cắt ngang hình chữ nhật )
a) Thí nghiệm và quan sát biến dạng:
H.7.6.a) Thanh trước khi biến dạng
b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng
Kẻ lên mặt ngoài một thanh, những đường song song với trục thanh tượng trưng cho các
thớ dọc và những đường vuông góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang;
các đường này tạo thành các lưới ô vuông.Sau khi có Mx tác dụng trục thanh bị biến dạng
cong, các đường thẳng song song với trục thanh thành các đường cong song song với trục
thanh; những đường vuông góc với trục thanh vẫn còn vuông góc với trục thanh, nghĩa là
các góc vuông được bảo toàn trong quá trình biến dạng. Ngoài ra, nếu quan sát thanh
thì thấy các thớ bên dưới dãn ra (bị kéo) và các thớ bên trên co lại (bị nén). Như thế, từ
thớ bị dãn sang thớ bị co sẽ tồn tại các thớ mà chiều dài không thay đổi trong quá trình
biến dạng, gọi là thớ trung hòa. Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa. Giao tuyến
của lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa.Vì mặt cắt ngang có
chiều rộng bé nên đường trung hòa xem như thẳng (H.7.6.cĐường trung hòa chia mặt cắt
ngang ra hai miền:miền chịu kéo và miền chịu nén (do momen uốn Mx gây ra)
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
2
Bài giảng sức bền vật liệu
Mặt phẳng tải trọng
Lớp trung hoà
Phần bị nén
z
z
Mx
z
Mx
x
y
Đường trung hoà
Phần bị kéo
Đường tải trọng
Sau biến dạng các mặt cắt ngang 1-1 và 2-2 ban đầu cách nhau một đoạn vi phân dz sẽ
d
cắt nhau tại tâm cong 0 và hợp thành một góc
. Gọi là bán kính cong của thớ trung
hòa, tức khoảng cách từ 0 đến thớ trung hòa. Độ dãn dài tương đối của một thớ ab ở cách
thớ trung hòa một khoảng cách y cho bởi :(mặc định hệ trục như hình vẽ trên)
ab 0102
y
d
dz
dz
y
d
d
d
y
z
y
(a)
0102
1
trong đó k là độ cong của dầm.
Hệ thức này chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong và biến thiên tuyến tính
với khoảng cách y từ thớ trung hòa đến điểm muốn tính ứng suất.
O
d
r
1
2
O1
O2
M
O2
O
1
M
y
y
a
1
b
2
a
s
b
s
dz
a) Truớc biến dạng
H.7.7. Đoạn vi phân dz
b) Sau biến dạng
b) Thiết lập công thức tính ứng suất:
-Mỗi thớ dọc của dầm chỉ chịu kéo hoặc nén (nên các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang ở
trạng thái ứng suất đơn).
- Định luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn : z Ez Ey
(b)
Ứng suất pháp tác dụng trên mặt cắt ngang biến thiên bậc nhất với khoảng cách y từ
thớ trung hòa.
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
3
Bài giảng sức bền vật liệu
-Xét hợp lực của các ứng suất pháp trên toàn mặt cắt ngang.
+ Liên hệ giữa z và Nz
Gĩa sữ trục x là đường trung hòa.
EydA 0
N A dA A
(c)
z
z
Mx
x
Đườngtrung hoà
( theo định nghĩa Nz = 0)
0
z
Vì độ cong và môđun đàn hồi E là hằng số nên
có thể đưa ra ngoài dấu tích phân.
y
x
Ek ydA 0
ydA Sx
là
ta đã biết
A
A
A(x,y)
momen tĩnh của mặt cắt ngang, ở đây mômen
tĩnh của mặt cắt ngang đối với trục trung hoà x
y
bằng không trục trung hoà x đi qua trọng tâm mặt cắt ngang.
Tính chất này cho phép xác định trục trung hoà của bất kỳ mặt cắt ngang nào.
Nếu trục y là trục đối xứng, thì hệ trục (x, y) chính là hệ trục quán tính chính trung
tâm.
+ Liên hệ giữa z và Mx
Mx z ydA E y2dA
= kEIx
(c)
(d)
A
A
Ix y2dA
trong đó:
A
là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa x.
Biểu thức (c) được viết lại như sau (độ cong của trục thanh)
M x
EI x
1
k
(7.1)
EIx gọi là độ cứng uốn của dầm.
Thế(7.1) vào (b) Công thức tính ứng suất pháp tại một điểm trên mặt cắt ngang dầm:
Mx
Ix
z
y
(7.2)
Ứng suất biến thiên bậc nhất theo tung độ y, và tung độ y là khoảng cách của điểm tính
ứng suất đến trục trung hoà x (Chú ý Mx và y mang dấu đại số)
Công thức kỹ thuật:
Nếu mômen uốn dương, dầm bị căng (bị kéo)thớ dưới,và âm khi các thớ trên bị nén .
Do vậy trong thực hành, ta có thể sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất.
Mx
Ix
z
| y |
(7.3)
ta sẽ lấy: dấu (+) nếu Mx gây kéo tại điểm cần tính ứng suất
dấu (–) nếu Mx gây nén tại điểm cần tính ứng suất
Thí dụ 1:
Cho tiết diện chữ nhật b = 8cm, h =12cm
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
4
Bài giảng sức bền vật liệu
Trị số momen tại mặt cắt là Mx =12kNm. Tính ứng suất tại điểm K cách đáy 2cm (h. vẽ)
M x
1200
8123
12
zK
| y |
4 4,17kN / cm2
b
Ix
Mx
3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị:
0
Biểu đồ ứng suất pháp:
+ Những điểm càng ở xa trục trung hòa có trị số ứng suất
càng lớn.
+ Những điểm cùng có khoảng cách tới thớ trung hòa sẽ có
cùng trị số ứng suất
h
x
K
z
.
2cm
y
Biểu đồ phân bố ứng suất pháp là đồ thị biểu diễn giá trị
các ứng suất tại các điểm trên mặt cắt ngang.
Dấu (+) chỉ ứng suất kéo. Dấu (-) chỉ ứng suất nén.
(Miền kéo, hay nén phụ thuộc Mx trên biểu đồ nội lực tại mặt cắt ngang muốn tính)
Tổng quát:
a) Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt ngang có trục trung hòa không đối xứng
Min
Min
_
+
y KMax
y NMax
Mx
Mx
0
x
0
x
y KMax
y NMax
_
+
y
Max
y
Max
Ứng suất pháp cực trị:
Tính ưng suất pháp khi kéo và khi nén lớn nhất trên mặt cắt ngang dầm ở những
điểm xa đường trung hòa nhất.
ymk ax, ymnax
Gọi
lần lượt là khoảng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa đường
trung hòa nhất.Khi đó ứng suất chịu kéo lớn nhất là
max và ứng suất chịu nén lớn nhất là
min sẽ tính bởi các công thức:
Mx
Mx
Wxk
Mx
Wxn
max
min
ymk ax
(7.4a)
(7.4b)
(7.5)
Ix
Mx
Ix
ymn ax
Ix
ymk ax '
Ix
Wxk
; Wxn
Đặt :
ymn ax
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
5
Bài giảng sức bền vật liệu
W n
gọi là các suất tiết diện hoặc mômen chống uốn của mặt cắt
W k
Các đại lượng
và
x
x
ngang. (cũng là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang)
b) Biểu đồ ứng suất pháp cho các mặt cắt ngangg có trục trung hòa đối xứng
Trục x (trục trung hòa) cũng là trục đối xứng (như mặt cắt chữ nhật, tròn,,…) :
Min
-
y NMax
Mx
0
x
y KMax
z
+
Max
y
ymk ax ymnax
Khi đó :
Ta có ứng suất nén và kéo cực đại có trị số bằng nhau:
Mx
Wx
max min
c) Tính mômen chống uốn của những mặt cắt thường dùng
Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b và chiều cao h :
2Ix
bh3
12
bh2
6
Wxk Wxn Wx
I
; Wx
,
x
h
Mặt cắt ngang hình tròn:
d4
d3
32
Ix
0,05d4 ; Wx
0,1d3
64
Mặt cắt ngang hình vành khăn: đường kính ngoài D, đường kính trong, d
D4
64
D3
32
Ix
(14 ) ; Wx
(14 ) với = d/ D
Mặt cắt ngang thép hình ,C,L…: Tra bảng thép định hình có sẵn.
Ý nghĩa vật lý của mômen chống uốn: khi mômen chống uốn càng
lớn dầm chịu được mômen uốn càng lớn.
b
b
4b
b
Thí dụ: Tìm WX của hình bên
3
1
1 6b(8b) 4b(6b)3
3b
x
WX
IxNg IxTR
46b3
4b
4b
12
12
3b
b
(Tính Wx không được lấy hình ngoài trừ hình trong)
4. Điều kiện bền- Ba bài toán cơ bản
Điều kiện bền:
+ Dầm bằng vật liệu dòn: k n
min n
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
6
Bài giảng sức bền vật liệu
max k
+ Dầm bằng vật liệu dẻo: k = n =
maxz
(7.6a)
(7.6b)
Ba bài toán cơ bản:
+Bài toán kiểm tra bền.
+Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang.
+Bài toán chọn tải trọng cho phép.
Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền
Kiểm tra thanh chịu lực có đảm bảo độ bền hay không.
Thí dụ2:
Trên một dầm chịu uốn thuần túy có mặt cắt ngang hình chữ T ngược (H.7.11), mômen
uốn nội lực trên mặt cắt ngang biết trước là Mx=1,25kNm. Dầm làm bằng vật liệu có ứng
suất cho phép khi kéo và nén khác nhau: [
]k =2kN/cm2; [ ]n =3 kN/cm2
Kiểm tra bền dầm. Cho biết: xoy là hệ trục quán tính chính trung tâm, Ix = 5312,5 cm4
Giải
Momen như hình vẽ nên: ykmax = 7,5 cm
ynmax = 12,5 cm (x là trục trung hòa)
Ix
ymk ax
Ix
ymnax
M x
Wxk
5312,5
7,5
Wxk
708,3 cm3
12,5cm
7,5cm
Mx
x
O
y
5312,5
12,5
Wxn
425cm3
z
1250
max
min
1,76kN/cm2
K
N
708,3
M x
Wxn
1250
425
2,94kN/cm2
Dầm chữ T chịu uốn
H. 7.11
Vậy dầm đủ bền.
Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang.
Từ điều kiện bền tổng quát ta đã biết tải trọng và ứng suất cho phép.Từ đó tìm được
mômen chống uốn và tính được kích thước của mặt cắt ngang.
Thí dụ 3:
Cho dầm có mặt cắt ngang hình chữ I và chịu lực như hình vẽ.Chọn số hiệu của thép chữ
để dầm thỏa điều kiện bền. Biết
=16kN/cm2,(hay160MPa)
Giải.
M0 = 40kNm
Dầm chịu uốn thuần túy; trên mọi mặt cắt ngang của
dầm chỉ có Mx= 40kNm.
Áp dụng công thức ( 7.10b) ta được:
x
I
Mmax
4000
Wx
250cm3
[]
16
Tra bảng thép hình ta chọn .22a có Wx = 254cm3>250cm3 Chọn .22a
.
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
7
Bài giảng sức bền vật liệu
-Giả sử chọn tiết diện hình chữ nhật bxh (với h=2b),
Từ điều kiện bền ta viết
Mmax
4000
16
bh2 b(2b)2
Wx
250cm3
b 7,2cm
d3
[]
6
6
Mmax
Wx
250 cm3
d 13,7cm
-Nếu hình tròn có đường kính d,
[]
32
Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép [P].
Thí dụ 4:
Một dầm bằng gang có mặt cắt ngang như H.7.13.Xác định trị số mômen uốn cho phép
M (mômen có chiều như hình vẽ).
Biết:
k =1,5kN/cm2 , [ ]n =3kN/cm2
Hỏi với trị số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn nhất trong dầm là bao nhiêu?
Cho biết Ix =25470 cm4
Giải.
M x
Ix
M x
Wxk
Từ điều kiện bền max
ymk ax
k
Mx
19,2cm
x
Ix
ymk ax
25470
Mx
k
1,5
3537,5kNcm
10,8
z
10,8cm
Từ Mx vừa tìm ta tính ứng suất chịu nén :
y
M x
ymnax
3537,5
25470
min
19,2 2,67 kN/cm2
n
H.7.13
Ix
Vậy chọn Mx vừa tìm.
Chú ý bài nầy có thể từ điều kiện bền min tìm [Mx] và chọn Mmin.
5. Hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang.
Hình dáng hợp lý là thiết kế sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng
đồng thời ít tốn vật liệu nhất.
Điều kiện:
Mx
Ix
Mx
Ix
y kmax
,
y nmax
n
max
min
k
y kmax
y nmax
k
Lập tỉ số các ứng suất :
n
ymk ax ymn ax
- Nếu vật liệu dòn: < 1 vì :
nên
k
n
Ta chọn mặt căt ngang không đối xứng qua trục trung hoà.
y kmax y nmax
- Nếu vật liệu dẻo: =1 nên
Ta chọn mặt căt ngang đối xứng qua trục trung hoà. Theo biểu đồ ứng suất ta thấy
càng gần trục trung hoà ứng suất càng nhỏ, nên tại đó vật liệu làm việc ít hơn ở những
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
8
Bài giảng sức bền vật liệu
điểm xa trục trung hòa, vì vậy thường cấu tạo hình dáng mặt cắt sao cho vật liệu xa
trục trung hòa.Ví dụ hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng…
III. UỐN NGANG PHẲNG
1. Định nghĩa- Dầm gọi là
chịu uốn ngang phẳng khi trên mặt
cắt ngang có 2 thành phần nội lực
là: mômen uốn Mx và lực cắt Qy
(H 7.14).
1
1
L
P
Qy
0
Mx
X
Qy
Mx
+
P
2. Các thành phần ứng suất:
Z
PL
a)Thí nghiệm và quan sát biến
dạng
Y
H.7.14. Só đồ dầm
chịu uốn ngang
Kẻ những đường song song và
vuông góc với trục thanh(H.a).Sau
biến dạng các góc vuông không còn
vuông(H.b)
H.7.15 Mặt cắt ngang dầm
chịu uốn ngang phẳng
1
d
P
a
c)
H. 7.16. a) Thanh trước biến dạng
b) Thanh sau biến dạng
c) Trạng thái ứng suất
P
b)
b) Trạng thái ứng suất:
Khác với trường hợp uốn thuần túy, ngoài ứng suất pháp z do mômen Mx gây ra
còn có ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy gây ra.Trạng thái ứng suất của một phân tố có các
mặt song song các trục tọa độ biểu diển như hình ở trên.
c) Công thức tính ứng suất pháp:
Trong trường hợp uốn ngang phẳng, sự xuất hiện của lực cắt gây ra sự vênh của mặt
cắt ngang, như vậy giả thiết mặt cắt ngang phẳng không còn đúng nữa.Tuy nhiên nhiều
nghiên cứu thực nghiệm chứng tỏ rằng ứng suất tính trong trường hợp uốn ngang phẳng
không thay đổi đáng kể khi có sự hiện diện của lực cắt.Do vậy công thức ứng suất pháp
Mx
z
y
(7.2) được sử dụng cho cả hai trường hợp.
Ix
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
9
Bài giảng sức bền vật liệu
d) Công thức tính ứng suất tiếp:
d
Giả thiết:
-Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng b
bé so với chiều cao h.
M
dz
x
-Ứng suất tiếp phân bố đều theo bề
rộng của mặt cắt và cùng chiều với
lực cắt Qy (nghĩa là mọi điểm nằm
cách đều đường trung hòa thì có cùng
trị số ứng suất tiếp).
-Xác định quy luật phân bố ứng suất
tiếp dọc theo chiều cao của mặt cắt
ngang.
Q
Q y1
y
M x + dM
G y1
z2
y
yz
Q y2
F
D
z1z
C
zy
y
Tách một phần tử vi phân giới hạn
bởi 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cách nhau khoảng dz .Để khảo sát ứng suất tiếp tại điểm K cách
đường trung hòa một khoảng y, ta dùng mặt cắt đi qua K vuông góc với lực cắt.
-Xét cân bằng của phần dưới ABCDEFGH Theo các giả thiết đã nêu, các ứng suất tiếp
thẳng đứng có phương song song với lực cắt thì phân bố đều trên mặt thẳng đứng
zy
ABCD. Ngoài ra theo định luật đối ứng của ứng suất tiếp,trên mặt vuông góc với mặt cắt
ngang ABFG cũng có ứng suất tiếp yz có giá trị bằng với
zy
Như vậy, tồn tại ứng suất tiếp theo phương ngang giữa các lớp song song với trục
dầm cũng như các ứng suất tiếp thẳng đứng trên các mặt cắt ngang của dầm. Tại mọi
điểm, các ứng suất này có giá trị bằng nhau.
Gọi Ac là diện tích ABCD(diện tích bị cắt) và bc là bề rộng tiết diện cắt.
Phương trình cân bằng theo phương z(xét phần bị cắt) dọc trục thanh cho:
N1 N2 T 0
(a)
trong đó: N1 : là hợp của các lực tác dụng trên mặt 1-1 được tính bởi:
M
N1 z1dA
ydA
(b)
Ac
Ac
Ix
N2 - là hợp của các lực tác dụng trên mặt 2-2 được tính bởi:
Mx dMx
N2 z2dA
ydA
(c)
Ac
Ac
Ix
T - là hợp của các lực tác dụng trên mặt trên ABEG của phần tử:
T yzbcdz
(d) Thay (b), (c), (d) vào (a)
Mx
Ix
Mx dM
x ydA yz bcdz 0
A ydA A
(e)
(f)
c
c
Ix
dMx
dz
1
c
zy yz
ydA
Ac
Ix b
thay Qy = dMx/dz ta được:
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
10
Bài giảng sức bền vật liệu
Qy
zy yz
ydA
(g)
Ix bc
A
c
Qy Sxc
Ix bc
Đặt: Sxc ydA
(7.7)
zy yz
Ac
Công thức (7.10) gọi là công thức D.I. Zhuravski
Scx :momen tỉnh của phần diện tích bị cắt (Ac )đối với trục trung hòa.
bc : bề rộng tiết diện cắt.
I x : Momen quán tính của tiết diện.
e) Phân bố ứng suất tiếp trên một số mặt cắt thường gặp:
+ Mặt cắt ngang chữ nhật (H.7.18):
b
m
p
m
max
h/
M+d
M
x
h
y
h/
n
n1
A
y
c)
a)
b)
H.7.18. Phân bố của ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nhật
Diện tích bị cắt Ac là hình chữ nhật:
2
h
h/ 2 y
b h
Sc b y y
y2
(i)
x
2
2
2 4
2
Qy
h
2
Thay vào (7.10) zy
y
(7.8)
2Ix
4
Hệ thức này chứng tỏ ứng suất tiếp trong dầm tiết diện chữ nhật biến thiên theo quy
luật bậc hai theo khoảng cách y từ trục trung hòa và biểu đồ theo chiều cao của dầm có
y h/2
dạng như trên H.7.18c. zy = 0 khi
( các điểm ở biên trên, dưới của mặt cắt)
zy = max khi y = 0 ( các điểm trên trục trung hòa):
Qy h2
Q
3
y
max
(7.9)
8Ix
2 A
trong đó: A = bh - là diện tích của mặt cắt ngang.
Công thức trên được xem là chính xác khi bề rộng bé so với chiều cao. Nếu b=h ứng suất
tiếp cực đại lớn hơn trị số cho bởi công thức (7.9) khoảng 13%
Thí dụ 5: a) Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực đại trên dầm có mặt cắt ngang hình
chữ nhật b=15cm, h=30cm.
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
11
Bài giảng sức bền vật liệu
b) Tính zy tại K với yK =10cm tại mặt cắt gối tựa A.
Cho biết: q =12kN/m, L=4m;
=1,1kN/cm2,
= 0,22kN/cm2.
Giải.
b
q
Mômen cực đại ở giữa dầm:
h
A
B
ql2 12 4 4102
L
°K
Mmax
2400 kNcm
8
8
Lực cắt cực đại ở hai gối tựa:
ql/2
Qy
ql 12 4
Qmax
24 kN
ql/2
2
2
Ứng suất cực đại:
Mx
Mmax
2400 6
15302
max
1.07 kN/cm2 1,1kN/cm2
W
ql2/8
H.7.19
3Qmax
2bh
3 24
21530
max
0,08 kN/cm2 0,22 kN/cm2
24937,5
3375015
k
0,044kN /cm2 với : Sxc
15512,5cm3 937,5cm3 (cắt qua K xét bên dưới)
+ Mặt cắt ngang hình tròn và hình vành khăn (H.7.20)
Qy
max
R
b(y)
t2
y
3
1
4
2
x
t1
t1
dx
b(x)
b(y)
C
a)
c)
b)
H.7.20. Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang hình tròn
Khi dầm có mặt cắt ngang là hình tròn, ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang không còn song
song với lực cắt nữa. Nếu không có lực tác dụng trên mặt ngoài của dầm, ứng suất tiếp
trên hai diện tích vi phân tại các điểm 1 và 2 trên vùng sát chu vi của mặt cắt ngang phải
hướng theo phương tiếp tuyến với chu vi này (H.7.20a). Các tiếp tuyến này có phương
đồng quy tại điểm C trên phương tác dụng của lực cắt. Bởi vì lực cắt Qy là hợp của các
ứng suất tiếp (H.7.20), nên các ứng suất tiếp tại các diện tích vi phân tại 3 và 4 có cùng
khoảng cách y tới trục trung hòa sẽ có phương đi ngang điểm C.
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
12
Bài giảng sức bền vật liệu
Mỗi ứng suất tiếp này có thể phân thành hai thành phần: thành phần thẳng đứng 1
và nằm ngang
2. Các thành phần nằm ngang tác dụng trên hai phần trái và phải sẽ tự
cân bằng nhau do tính đối xứng, trong khi các thành phần thẳng đứng hợp lại thành lực
cắt Qy.
Như vậy, trong dầm có mặt cắt ngang tròn, thành phần
trong dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật.
sẽ đóng vai trò của
1
Mômen tĩnh của phần diện tích giới hạn bởi biên dưới mặt cắt ngang và mặt cắt
song song với mặt trung hòa ở khoảng cách y từ trục trung hòa x cho bởi:
Sxc dA b()d
(j)
AÂ
Ac
ta có:
bc b
2 R2 y2
(k)
trong đó: R - là bán kính của hình tròn mặt cắt ngang.
Do vậy: Sxc r2 R2 y2.d
R2 y2
(l)
3/ 2
2
3
y
và thành phần ứng suất tiếp theo phương thẳng đứng có trị số:
y2
Q
4
y
zy
1
(7.10)
R2
3 A
y h/2
zy = 0 khi
( các điểm ở biên trên, dưới của mặt cắt)
zy = max khi y= 0 ( các điểm trên trục trung hòa):
Q
4
y
max
, (A: diện tích hình tròn)
(7.11)
3 A
+ Mặt cắt ngang hình chữ , hay chữ T
b
1
2
d
max
h1/2
h1/2
h1/2
h
x
y
e
h1/2
f
c
d
b
a
1
2
b)
a)
H.7.17. Ứng suất tiếp trong lòng của dầm chữ
1 ứng với bc = d, 2 ứng với bc = b(vì b rất lớn so so với d nên biểu đồ ứng suất có bước
nhảy)
Các mặt cắt ngang chữ hay chữ T được xem như cấu tạo bởi các hình chữ nhật ghép
nên với mức độ chính xác nhất định, các công thức dùng cho dầm mặt cắt ngang chữ nhật
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
13
Bài giảng sức bền vật liệu
cũng dùng được cho các loại mặt cắt này. Ứng suất tiếp được tính bằng công thức
Zhuravski:
QySxc
Ixbc
zy trong bản bụng: Xét điểm có tung độ y (khoảng cách đến trục trung hoà)
bc chính là bề rộng bản bụng: bc = d
c
c
Sx là mômen tĩnh của phần diện tích gạch chéo đối với trục trung hòa. Sx có thể
tính bằng mômen tĩnh của nửa hình (trong bảng tra ghi là Sx) trừ mômen tĩnh của phần
y
2
Sxc Sx (d y )
diện tích (y x d) . Vậy
Ứng suất tiếp zy trong bản bụng của dầm chữ là
y2
2
Qy
zy
Sx (d
)
(p)
Ix d
(p) chỉ rằng ứng suất tiếp trong bản bụng của dầm chữ I biến thiên theo quy luật
parabol dọc theo chiều cao của dầm.
zy = max khi y = 0 (các điểm trên trục trung hòa):
Qy
max
Sx
(7.12)
Ixd
h
zy = 1 khi y ( t) h1 (điểm tiếp giáp giữa bụng và cánh).khá lớn
2
Qy
2
h1
và:
1
Sx d
(7.13)
Ix d
2
Đọc thêm:
zy trong bản cánh: Xét một điểm trong bản cánh, bề rộng cắt bc = b khá lớn so với d,
nên zy trong cánh rất bé, có thể bỏ qua
zx trong bản cánh: Xét một điểm trong cánh bc = t(chiều dày bản cánh)
b
h
t
Sc t x
z2
x
2
2 2
b
2
h
t
Ix
Q x
y
zx
2 2
b/2 - x
z
zx
(7.14)
1
Ứng suất tiếp zx phân bố bậc nhất theo x,
Thí dụ 6:
Tính ứng suất tiếp trên trục trung hoà và tại K (vị trí thay đổi tiết diện) của dầm có mặt
cắt ngang hình chữ U, cho Qy=20kN.
Giải
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
14
Bài giảng sức bền vật liệu
Khoảng cách của trọng tâm mặt cắt ngang được xác định bởi: (chọn hệ trục qua đáy)
1210,5 2(18110)
yc
7,625 cm
121 2(181)
Mômen quán tính Ix của mặt cắt ngang:
3
1213
118
2
2
4
Ix
(7,125) 121 2
(2,375) 181 1777,98cm
12
12
+ Ứng suất tiếp trên trục trung hòa: bc =1cm+1cm= 2cm
Mômen tĩnh của phần diện tích trên trục trung hòa đối
với trục này là:
1cm
1cm
2(111,3752 )
Sxc
129,39 cm3
2
11,375cm
7,625cm
20129,39
1777,98 2
18cm
1cm
x
max
0,73kN/cm2
+ Ứng suất tiếp tại điểm K với bc =2 cm
Sxc 1217,125 85,5 cm3
(tại vị trí thay đổi tiêt
y
12cm
1777,98cm2
2085,5
1777,982
0,48kN/cm2
diện)
1
Thí dụ7:
Cho dầm có mặt cắt ngang (đường trung hòa không đối xứng) và chịu lực như hình
a) Vẽ biểu đồ Mx và Qy.
b) Tính ứng suất pháp lớn nhất max và
min
c) Tính ứng suất tiếp tại đường trung hòa và tại K (vị trí thay đổi tiết diện)
4kN
C
2kN-m
4kN/m
3m
1cm
x
B
D
16cm
1cm
12,25cm
4,75cm
1m
0
K
4kN
8 kN
+
8 kN
y
-
2kNm
16cm
Ix= 920,67cm4
6kNm
8 kNm
a)Tính tại mặt cắt có Mx= 800kNcm
M x
800
ykmax
4,75 4,13kN /cm2
max
max
Ix
920,67
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
15
Bài giảng sức bền vật liệu
Mx
Ix
800
min
ynmax
12,25 10,64kN /cm2
920,67
b)Tính tại mặt cắt có Mx= 200kNcm
Mx
Ix
200
max
ykmax
12,25 2,66kN /cm2
920,67
Mx
200
min
ynmax
4,75 1,03kN /cm2
Ix
920,67
c)Tính ứng suất tiếp tại đường trung hòa:
(12,25)2
max
Sxc
81
Qy
max
0,65kN / cm2
2
Ix bc
920,671
d)Tính ứng suất tiếp tại vị trí thay đổi tiét diện K
max
Qy
Sxc
816(4,75 0,5)
920,671
1
0,59kN / cm2
Ix bc
Mx
Chú ý: Nếu là vật liệu dẻo chỉ cần tính tại mặt cắt có
max
3. KIỂM TRA BỀN DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng có 2 ứng suất:
- Ứng suất pháp z do mômen uốn Mx gây ra.
- Ứng suất tiếp zy do lực cắt Qy gây ra.
Từ biểu đồ phân bố ứng suất pháp và ứng suất tiếp theo chiều cao của mặt cắt ngang
hình chữ nhật, ta thấy có ba loại phân tố trạng thái ứng suất khác nhau
a) Những điểm ở biên trên và dưới của mặt cắt ngang = 0, chỉ có z = max 0 nên
TTƯS của các phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng suất đơn
b) Những điểm nằm trên trục trung hòa z = 0, chỉ có zy=
≠ 0 nên TTƯS của
max
những phân tố ở những điểm này là trạng thái ứng trượt thuần túy.
c) Các điểm khác có z
0 và zy
0, ở trạng thái ứng suất phẳng đặt biệt
min
min
max
max
+
max
Qmax
Mmax
max
b
c)
a)
Khi kiểm tra bền toàn dầm, phải bảo đảm mọi phân tố đều thỏa điều kiện bền.
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
16
Bài giảng sức bền vật liệu
a) Kiểm tra bền cho phân tố ở TTƯS đơn (những điểm ở trên biên trên và dưới của
M
dầm), xét tại mặt cắt có max và sử dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất:
[ ] [ ] []
+ Dầm làm bằng vật liệu dẻo,
, điều kiện bền:
k
n
max []
(7.15)
[ ] [ ]
+ Dầm làm bằng vật liệu dòn,
max [k]
, điều kiện bền :
n
k
(7.16)
min [n]
b) Kiểm tra bền cho phân tố ở TTƯS trượt thuần túy (những điểm nằm trên trục trung
Qy
hòa), xét tại mặt cắt có
max ta có:
+ Dầm bằng vật liệu dẻo:
[]
2
max []
TheoTB ứng suất tiếp lớn nhất (TB3):
(7.17)
(7.18)
[]
[]
Theo TB thế năng biến đổi hình dáng (TB 4):
max
3
+ Dầm bằng vật liệu dòn: sử dụng thuyết bền Mohr (TB5):
[k]
[n]
[]
1 m
m
max []
(7.19) với
c) Kiểm tra bền cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
Xét tại mặt cắt có mômen uốn Mx và lực cắt Qy cùng lớn, (có thể nhiều mặt cắt loại nầy)
và chỉ cần kiểm tra tại những vị trí nguy hiểm như vị trí tiếp giáp giữa lòng và đế của mặt
cắt chữ , chữ C… Các ứng suất của phân tố này được tính bởi các công thức quen thuộc:
Mx
Ix
QySxc
Ixbc
z
y
và
zy
1
2
1
2 4 2
, và
3
2 4 2
và thay vào
1
Sau đó tính ứng suất chính
2
2 2
điều kiện bền (chương 5) ta có:
+Dầm làm bằng vật liệu dẻo:
t3 1 3 2z 42zy []
Theo TB 3:
t4 2z 32zy []
Theo TB 4:
(7.20)
(7.21)
+ Dầm làm bằng vật liệu dòn: Dùng TB 5
1 m
1 m
t5
z
2z 42zy []
2
2
Từ các điều kiện bền có ba bài toán cơ bản:
Bài toán cơ bản 1: Kiểm tra bền
Bài toán cơ bản 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
17
Bài giảng sức bền vật liệu
Thường ban đầu dựa vào điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn để
chọn sơ bộ kích thước mặt cắt ngang dầm. Sau đó, tiến hành kiểm tra bền đối với các
L
h
12
phân tố ở trạng thái ứng suất khác còn lại. (chủ yếu cho dầm dài
).
Nếu không đạt thì thay đổi kích thước mặt cắt ngang và kiểm tra lại.
Bài toán cơ bản 3: Định tải trọng cho phép.
Từ điều kiện bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, xác định sơ bộ tải trọng cho
phép sau đó tiến hành kiểm tra bền các phân tố còn lại
Thí dụ 8: Kiểm tra bền dầm ABC có tiết diện chữ hình chữ nhật rỗng (đường trung hòa
đối xứng) và chịu lực như hình vẽ.
Cho
=16kN/cm2., L =1m, q =10kN/m
qL
P=
0,5cm
x
0,5cm
2
q
7cm
C
A
1cm
7cm
B
L
4L
y
7
15
4
qL
VA =
qL
4
7cm
1cm
9
4
qL
K
7
y
3
2
qL
ql/2
qL
4
Ix=1130cm4
ql2
M mx ax =1,53ql2= 15,3kNm
1,53ql2
a) Phân tố TTƯS đơn (ở biên trên hay dưới )
1,53qL2 1,5101100
Mx,max
max
10,83kN /cm2 16kN /cm2
Wx
141,25
141,25
b) Phân tố TTƯS trượt thuần tuý (tại đường trung hòa ).Qy=9/4qL
9
Qy SCx
Ix bc
qL
(88 4
(773,5))
22,584,5
11301
max
1,68kN / cm2
4
11301
2
c) Phân tố ở TTƯS phẳng đặc biệt: (vị trí là phân tố ở nơi thay đổi tiết diện).
Tính ứng suất chính tại mặt cắt bên trái của điểm B và tại điểm k trên tiết diện như sau:
Chọn mặt cắt bên trái B có các thành phần nội lực: (có Mx và Qy cùng lớn )
9
M qL2 101100kNcm 1000kNcm
Q qL 22,5 kN
và
.
y
x
4
1000
1130
22,560
11301
zk
7
6,19kN/cm2
1,19 kN/cm2
-Tính ứng suất tại K:
,
k
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
18
Bài giảng sức bền vật liệu
(Scx =8x1x3,5=60cm)
-Tính ứng suất chính tại K:
k
2
k
2
1
2
1
2
2
2
2
2
k 4k 6,42kN/cm2
k 4k -0,235kN/cm2
1
,
3
-Kiểm tra bền theo TB3:
t3 k2 4k2
6,19
2 4
1,192 6,63kN /cm2 16kN /cm2
Thí dụ 9:
Kiểm tra bền (theo điều kiện bền cơ bản) dầm có tiết diện và chịu lực như hình vẽ .
Cho:
k=3kN/cm2[ ]n = 9kN/cm2, L=1m q =5kN/m. (Tiết diện không đối xứng)
Chỉ kiểm tra bền cho TTỨS đơn
qL
qL2
P
M=
q
2
2
2 cm
2qL
qL
2L
L
9,2cm
12 cm
2 cm
6cm
1cm
6cm
x
x
6cm
1cm
K
y
7cm
qL
+
+
qL
4,8cm
2
3
2
-
qL2
qL
10 cm
2
qL2
Ix=829,23cm4
2
qL2
Tại mặt cắt có Mx=qL2 =5kNm (dương), ykmax=4,8cm, và ynmax= 9,2cm
Mx
Ix
500
max
ykmax
4,8 2,97kN /cm2
k
829,23
M x
Ix
500
min
ynmax
9,2 5,55kN /cm2
n
829,23
Tại mặt cắt có Mx= 0,5qL2 = 2,5kNm (âm),
ykmax=9,2cm,và và ynmax =4,8cm
M x
Ix
250
max
ykmax
9,2 2,5kN /cm2
k
n
829,23
M x
Ix
250
min
ynmax
4,8 1,48kN / cm2
829,23
_________________________________________________________________
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng Lê đức Thanh
19
Bài giảng sức bền vật liệu
Thí dụ 10
Cho dầm chịu lực như bài thí dụ trên nếu thay bằng tiết diện chữ nhật rỗng (hình
bên).Tìm
q
theo điều kiện bền của dầm. TB3 (Tiết diện đối xứng)
Cho
=16kN/cm2., L =1m,
6cm
1 714 6123
7
3
Ix 736,67cm4
WX
105,24cm3
,
12
12
1cm
6cm
Sxc (773,5) (663) 63,5cm3
Từ điều kiện bền TTƯS đơn
(tại đường trung hòa)
6cm
1cm
qL2
Mx,max
max
16kN /cm2 q 0,168416kN /cm
Wx
105,24
Sơ bộ chọn q=16kN/m để kiểm tra cho 2 phân tố còn lại
a) Kiểm tra phân tố TTƯS trượt thuần túy
Qy Sxc
7cm
1,5161
736,671
max
63,5 2,07kN /cm2
Ix bc
2
b) Kiểm tra phân tố TTƯS phẳng đăc biệt:
qL2
3
Mx
800kNcm
Q qL 24 kN
,
y
2
2
800
24716,5
736,671
zk
6 6,52 kN/cm2
1,48 kN/cm2
,
k
736,67
1,482 7,16kN /cm2 16kN /cm2
2
t3 k2 4k2
6,52
4
:
Chọn q=16kN/m
Thí dụ 9: Xác định kích thước mặt cắt ngang theo ứng suất pháp, cho 3 trường hợp có
mặt cắt ngang như hình vẽ bên dưới: Nếu
=16kN/cm2, q =10kN/m, L=1m
P= qL
M0= qL2
q
bh2
x
A
C
Wx
h=2b
B
6
L
4L
11
14
5
y
qL
qL
5
11
5
b
d
d
+
qL
Wx=2Wx
14
5
_
qL
6
5
x
qL
d
x
qL2
d 3
32
d
Wx =
5
11
5
qL2
y
146
qL2
_________________________________________________________________
50
Chương 7: Uốn phảng thanh thẳng
Lê đức Thanh
20
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
22061
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_7_uon_phang_thanh_thang.pdf
