Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 3: Kéo. Nén đúng tâm thanh thẳng - Lê Đức Thanh
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Chương 3
KÉO - NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG
I.KHÁI NIỆM
Định nghĩa:Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên
mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là lực dọc
Nz.
x
Nz 0 khi hướng ra ngoài mặt cắt (đoạn đang xét chịu kéo)
Nz 0 khi hướng vào trong mặt cắt (đoạn đang xét chịu nén)
Đây là trường hợp chịu lực đơn giản nhất.Ta gặp trường hợp này khi
thanh chịu 2 lực bằng nhau và trái chiều ở hai đầu dọc trục thanh.
Thanh chịu kéo đúng tâm (H.a) hay chịu nén đúng tâm (H.b).
Nz
y
P
P
P
P
H. 3.1
Hình b
Hình a
Thực tế: có thể gặp các cấu kiện chịu kéo hay nén đúng tâm như: dây cáp trong cần
cẩu (H.3.3a), dây xích, ống khói (H.3.3b), các thanh trong dàn (H.3.3c).
P
Q
a)
b)
c)
H. 3 Một số cấu kiện chịu kéo nén đúng tâm
II. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG
Xét thanh thẳng chịu kéo (nén) đúng tâm (H.a) các mặt cắt ngang CC và DD trước
khi thanh chịu lực cách nhau đoạn dz và vuông góc trục thanh. Các thớ dọc trong
đoạn CD (như là GH) dều dãn hay co bằng nhau (H.b).
Khi thanh chịu kéo (nén), nội lực trên mặt cắt ngang DD hay bất kỳ mặt cắt ngang
khác là Nz = P (H.c) thanh sẽ dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục thanh z so với
mặt cắt CC một đoạn bé dz (H.b).
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 1 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
D
C
Nz
P
P
C D
D
c)
a)
C
D’
H’
G
H
x
z
0
A
Nz
D’
C
D
dz
dz
z
d)
y
b)
Ta thấy biến dạng các thớ dọc như GH đều bằng HH’và không đổi, mặt cắt ngang
trong suốt quá trình biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho
biết các điểm trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp z không đổi (H.d)
dz
zdA Nz
Ta biêt :
, và :
là hằng số.
z
dz
A
E
ĐL.Hooke
cũng là hằng số.
z
z
Nz
A
z A Nz
z
Ta tính được ứng suất:
(3.1)
với A: diện tích mặt cắt ngang của thanh.
Lực dọc > 0 ứng suất > 0, Lực dọc < 0 ứng suất < 0
Nhận xét : Nếu thanh có tiết diên giảm yếu, như bị khoét lỗ. Thực nghiệm và lý
thuyết đều cho thấy tại tiết diện giảm yếu, ứng suất không phân bố đều mà có max ở
mép lỗ. Gọi là hiện tượng tập trung ứng suất.
max
III. BIẾN DẠNG CỦA THANH KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM.
1- Biến dạng dọc trục :
Biến dạng dọc trục z của đoạn dài dz chính là : dz
(H.3.3b)
dz
dz
Như vậy biến dạng dài tương đối của đoạn dz là:
(a)
(b)
z
z
E
Theo định luật Hooke ta có:
(ý nghĩa vật lý)
z
trong đó: E:là hằng số tỷ lệ, được gọi là mô đun đàn hồi khi kéo (nén), phụ
thuộc vào vật liệu và có thứ nguyên
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 2 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
, đơn vị N/m2… , xác định từ thí nghiệm
löïc
chieàu daiø
2
Bảng 3.1 cho trị số E của một số vật liệu.
Vật liệu
E (kN/cm2)
2 x 104
Thép (0,15 0,20)%C
Thép lò xo
Thép niken
Gang xám
Đồng
0,25 0,33
0,25 0,33
0,25 0,33
0,23 0,27
0,31 0,34
0,31 0,34
0,32 0,36
-
2,2 x 104
1,9 x 104
1,15 x 104
1,2 x 104
(1,0 1,2)104
(0,7 0,8)104
(0,08 0,12)104
0,8
Đồng thau
Nhôm
Gỗ dọc thớ
Cao su
0,47
Từ (a) tính dz, thế vào (b), ta được biến dạng dài dọc trục của đoạn dz là:
z
E
Nz
EA
dz zdz
dz
dz
(c)
Gọi L là biến dạng dài của chiều dài L (dãn khi thanh kéo, co khi thanh nén)
N
z dz
L dz EA
(3.2)
L
L
Nếu E,A là hằng số và Nz cũng không đổi trên chiều dài L của thanh, ta sẽ được:
Nz
EA L
Nz L
EA
L
dz
(3.3)
Nếu thanh gồm nhiều đoạn có chiều dài Li và trên mỗi đoạn Nz, E,A không đổi thì:
N L
z
z
L L
(3.3’)
i
EA
i
Tích số EA gọi là độ cứng khi chịu kéo hay nén đúng tâm của thanh.
Người ta còn dùng độ cứng tương đối EA/L là tỉ số độ cứng và chiều dài thanh
2- Biến dạng ngang :
Theo phương ngang thanh cũng có biến dạng, ta đã chọn z là trục thanh, x, y là
các phương vuông góc với z (H.3.3d). Nếu ta gọi x và y là biến dạng dài tương đối
theo hai phương x và y, thì ta có quan hệ sau:
x y z
(3.4)
trong đó:
- hệ số Poisson, là hằng số vật liệu, xác định từ thí nghiệm
Dấu (–) trong biểu thức chỉ rằng biến dạng theo phương dọc và ngang ngược nhau.
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 3 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Thí dụ1. Vẽ biểu đồ dọc Nz tính ứng suất và biến dạng dài toàn phần của thanh trên
H.3.4a cho biết E= 2.104 kN/cm2; A1=5 cm2; A2 =10 cm2.(Lực tác dụng tại B,D,H)
K
10kN
3
2.10- cm
40 cm
30 cm
A2
30kN
B
P3=40 kN
2, 5.10-3cm
0, 0175cm
C
50 cm
50 cm
P2=80kN
D
A1
50kN
Nz
H
0, 0075cm
P1=50kN
b)
Biến dạng
a)
H.3.4
Giải.
Dùng phương pháp mặt cắt vẽ được biểu đồ Nz (H.3.4b)
Từ đó ta tìm được ứng suất trên mặt cắt ngang mỗi đoạn là:
NzDH
A1
NzBC
A2
NzCD
A1
50
5
30
5
DH
10 kN/cm2
,
CD
6 kN/cm2
NzKB
A2
30
10
10
BC
3 kN/cm2
,
KB
1kN/cm2
10
Xác định biến dạng dọc toàn phần chính là biến dạng dài tuyệt đối của thanh, sử dụng
công thức (3.3’) áp dụng cho bốn đoạn của thanh.
5050
3050
3030
10 40
L =
0,0075cm
2104 5 2104 5 2104 10 2104 10
Biến dạng dọc mang dấu (+) nghĩa là thanh bị dài ra.
Ta có thể tính biến dạng bằng phương pháp công tác dụng như sau:
L(P , P , P ) L(P ) L(P ) L(P )
1
2
3
1
2
3
50100
50x70
80x50
-80x70
40x40
2.104 10
L (
) (
) (
) 0,0075cm
2.104 5 2.104 10
2.104 5 2.104 10
VI. ĐẶC TRƢNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU (được học thí nghiệm sau)
1. Khái niệm
Vấn đề của chúng ta là cần phải so sánh hay muốn biết độ bền, độ cứng của vật
liệu khi chịu lực với ứng suất, biến dạng của vật liệu cùng loại đã biết. Ta cần thí
nghiệm kéo, nén đề tìm hiểu tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu
chịu lực đến lúc phá hỏng của các loại vật liệu khác nhau.
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 4 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Người ta phân vật liệu thành hai loại cơ bản:
Vật liệu dẻo,và vật liệu dòn.
Như vậy có bốn thí nghiệm cơ bản sau:
2. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (thép)
a- Mẫu thí nghiệm
d0
Theo tiêu chuẩn TCVN 197 -2002 (H.3.5)
Chiều dài Lo ,đường kính do, diện tích Ao
b- Thí nghiệm
L0
H.3.5
Tăng lực kéo từ 0 đến khi mẫu đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận
được đồ thị quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài L của mẫu như H.3.6. Sau khi
mẫu bị đứt ta chắp mẫu lại, có chiều dài L1 ,đường kính d1, diện tích A1 mẫu sẽ có
hình dáng như H.3.7.
B
P
PB
c- Phân tích kết quả
C
d1, A1
Quá trình chịu lực của vật liệu có thể
chia làm ba giai đoạn:
D
Pch
Ptl
A
OA: đàn hồi, P và L bậc nhất, Lực
L1
P
tl
lớn nhất là lực tỉ lệ Ptl. tl
L
Ao
O
AD: giai đoạn chảy, lực kéo không
tăng nhưng biến dạng tăng liên tục.
B
C
Lực kéo tương ứng là lực chảy Pch và ta có giới hạn chảy.
b
P
Ao
ch
D
A
ch
tl
ch
DBC: giai đoạn củng cố (tái bền), tương quan giữa lực P và
biến dạng L là đường cong. Lực lớn nhất là lực bền PB và ta
P
Ao
b
O
có giới hạn bền. b
. Gọi chiều dài mẫu sau khi đứt
H.3.8
P
(H.3.7) là L1 và diện tích mặt cắt ngang nơi đứt là A1 thì ta có
các định nghĩa đặc trưng cho tính dẻo của vật liệu như sau:
Biến dạng dài tương đối (tính bằng phần trăm):
L0 L
Đường cong thực
Pb
Ptl
1 100%
=
Đường qui ước
Lo
Độ thắt tỷ đối (tính bằng phần trăm): =
(3.9)
Ao A
1 100
%
L
Ao
O
H.3.9
d- Biểu đồ - (biểu đồ qui ước)
Từ biểu đồ P-L ta dễ dàng suy ra biểu đồ
d
h
P
tương quan giữa ứng suất z P Ao và biến
Pch
Ptl
b)
dạng dài tương đối z L Lo
.
Biểu đồ này có hình dạng giống như biểu
đồ P - L (H.3.8). Trên biểu đồ chỉ rõ
tl ,ch ,b và cả mô đun đàn hồi:
L
O
a)
c)
d)
H.3.10
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 5 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
E = tan
Nếu kể đến sự biến đổi diện tích mặt cắt ngang ta sẽ có biểu đồ tương quan giữa
z và ứng suất thực (đường nét đứt).
3. Thí nghiệm kéo vật liệu dòn
Biểu đồ kéo vật liệu dòn có dạng đường cong (H.3.9).Vật liệu không có giới hạn
P
Ao
b
tỷ lệ và giới hạn chảy mà chỉ có giới hạn bền:
b
Tuy vậy người ta cũng qui ước một giới hạn đàn hồi nào đó và xem đồ thị quan hệ
lực kéo và biến dạng là đường thẳng (đường qui ước).
4.Nén vật liệu dẻo
Biểu đồ nén vật liệu dẻo như H.3.10a. Ta chỉ xác định được giới hạn tỷ lệ và
giới hạn chảy, mà không xác định được giới hạn bền do sự phình ngang của mẫu làm
cho diện tích mặt cắt ngang mẫu liên tục tăng lên. Sau thí nghiệm mẫu có dạng hình
trống (H.3.10c).
5. Nén vật liệu dòn. Đường cong tương tự biểu đồ kéo vật liệu dòn. Pb.
Nghiên cứu các thí nghiệm kéo và nén các vật liệu dẻo và dòn, người ta thấy
rằng: giới hạn chảy của vật liệu dẻo khi kéo và nén như nhau, còn đối với vật liệu dòn
giới hạn bền khi kéo bé hơn nhiều so với giới hạn bền khi nén.
V. THẾNĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI (TNBDĐH)
1- Khái niệm
Xét thanh chịu kéo làm việc trong giai đoạn
P
A
C
P + dP
đàn hồi EA hằng số (H.3.13a). Lực tăng dần từ 0
đến giá trị P, thanh dãn ra từ từ đến giá trị L.
Bỏ lực, thanh về lại vị trí ban đầu. Người ta gọi
công W của ngoại lực phát sinh trong quá trình
di chuyển đã chuyển hóa thành thể năng biến
dạng đàn hồi U tích lũy trong thanh và chính thế
năng này làm cho thanh đàn hồi sau khi không
còn tác dụng lực.
P
L
L
L
0
dL
L
b)
P
a)
H.3.13
2- Tính thế năng biến dạng đàn hồi
N
Quan hệ P và L biểu diễn như H.3.13b.
Công của lực P trên chuyển dời L.
Cho P một số gia dP biến dạng dọc thanh tăng lên số gia dL
Công của ngoại lực dW do lực P+dP là :
dW= (P + dP)dL = PdL + dPdL
dz
Bỏ qua lượng bé bậc cao dPdL ta có : dW= PdL
Công nầy biểu diễn bằng diện tích hình chữ nhật gạch chéo trên
hình (3.13b)
N
Suy ra công của lực kéo P tăng từ 0 đến P được biểu thị bằng diện
P.L
H.3.14
W
tích tam giác OAC.
2
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 6 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Nz2 L
PL P2 L
2
Công này biến thành TNBDĐH U : U = W =
2EA 2EA
Gọi u là TNBDĐH riêng (thế năng tích lũy trong một đơn vị thể tích), có:
z2 zz
U
PPl
u
V
2EA.Al 2E
2
Nz2dz
Xét đoạn thanh có chiều dài dz có nội lực Nz (H.3.14): dU
2EA
Suy ra thế năng biến dạng đàn hồi của đoạn thanh dài L, có nội lực Nz là:
Nz2dz
U dU
L
L
2EA
Nz
EA
Nz2 L
Nếu trong đoạn thanh
không đổi ta có: U =
2EA
Nz2i Li
Với nhiều đoạn dài Li ta sẽ có: U = Ui =
2Ei Ai
Thế năng biến dạng đàn hồi thường dùng để tính chuyển vị của hệ thanh.
Thí dụ 2. Xác định chuyển vị đứng của điểm đặt
L
L
lực.
Cho E = 20000kN/cm2; l = 200cm;
P =300 (KN); =30o ; A =10 cm2
Giải
C
D
NBD
A
NBC
A
- Xác định nội lực
Tách mắt B (H.3.15b).
Dùng hai phương trình hình chiếu:
X = 0: NBC = NBD = N
L BD
L BC
B
B
Y = 0: 2Ncos = P
P
P
suy ra:
N
b)
I
H. 3.15
K
B/
2cos
- Chuyển vị đứng của điểm B
a)Phƣơng pháp dùng cách tính theo biến dạng
hình học.
P
Gọi LBC, LBD lần lược là biến dạng của thanh BC,BD tương ứng các điểm biến
dạng nầy biểu diễn bởi đoạn BI,BK. Từ I và K vẽ hai đường vuông góc với BC và
BD, chúng cắt nhau tại B/. BB/ là độ biến dạng của điểm B.
Hệ cho đối xứng nên chuyển vị của điểm B là B/ nằm trên đường thẳng đứng kẻ từ B.
Xét tam giác BB’I ta có:
LBC
cos
BI
BB/cos = BI
hay: BB’ =
=
cos
NBC LBC
EABC cos
PL
BB’ =
=
2EA cos2
Với P = 300kN, E = 20000kN/cm2, A =10cm2, = 300, L/ = 2L = 400cm,
ta được:
BB’ = 0,4 cm
b) Phƣơng pháp dùng thế năng biến dạng đàn hồi
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 7 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Ta có: W = U
(*)
1
Công ngoại lực:
W P.BB /
2
Vì hai thanh qui về nút B nên năng biến dạng đàn hồi của hệ là:
NB2D LBD
NB2C LBC
N 2 L
2EA
U =
+
= 2
2(EA)BD
2(EA)BC
N 2 L
2EA
1
2
Thế vào (*) ta được:
P.BB / = 2
2N 2 L
PL
2EAcos2
suy ra:
BB /
=
0,4cm
PEA
VI. ỨNG SUẤT CHO PHÉP, HỆ SỐ AN TOÀN, BA BÀI TOÁN CƠ BẢN
Nếu gọi o ứng suất nguy hiểm, là trị số ứng suất mà ứng với nó vật liệu được xem
là bị phá hoại. Đối với vật liệu dẻo o ch , đối với vật liệu dòn
.
o b
Nhưng khi chế tạo, vật liệu thường không đồng chất hoàn toàn, và trong quá trình sử
dụng tải trọng tác dụng có thể vượt quá tải trọng thiết kế, điều kiện làm việc của kết
cấu hay chi tiết chưa được xem xét đầy đủ, các giả thiết khi tính toán chưa đúng với
sự làm việc của kết cấu. Vì thế ta không tính toán theo
o . Chúng ta phải chọn một
hệ số an toàn n lớn hơn 1 để xác định ứng suất cho phép.
o
n
(3.15)
Và dùng trị số
để tính toán.
Hệ số an toàn do nhà nước hay hội đồng kỹ thuật của nhà máy qui định.
Để chọn hệ số an toàn được chính xác, nhiều khi người ta phải chọn nhiều hệ số theo
riêng từng nguyên nhân dẫn đến sự không an toàn của công trình hay chi tiết máy, có
thể kể đến:
- Hệ số kể đến độ đồng chất của vật liệu
- Hệ số kể đến sự vượt quá tải trọng thiết kế
- Hệ số kể đến sự làm việc tạm thời hay lâu dài
Như vậy muốn đảm bảo sự làm việc an toàn về độ bền khi thanh chịu kéo (nén) đúng
tâm, ứng suất trong thanh phải thỏa mãn:
Nz
A
+ Điều kiện bền là:
z
(3.16)
d=2cm
Từ điều kiện bền, ta có ba bài toán cơ bản:
Kiểm tra bền: Đối với vật liệu dẻo
A
Nz
z
Max
max
A
z max
K
z min
n
Đối với vật liệu dòn:
,
30o
C
B
Nz
max
A
Chọn kích thước mặt cắt ngang:
Nz
P = 20kN
A
Nz
A
Định tải trọng cho phép:
hay:
L L
hay:
z
*Điều kiện cứng:
2m
- 8 -
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Thí dụ 1: Cho hệ chịu lực như hình vẽ. BC có tiết diện hai thép góc đều cạnh, AC tiết
diện tròn đường kính d=2cm
a) Tính nội lực trong thanh AC và BC
b) Kiểm tra điều kiện bền của thanh AC
c) Tìm số hiệu thép góc đều cạnh của thanh AC theo điều kiện bền.
Cho [ ] =16kN/ cm2 LBC = 2m
,
Giải
Thực hiện mặt cắt qua thanh AC và BC (cô lập nút C) chú ý trong các thanh chỉ có
lực dọc
Y 0 NCA sin300 P NCA 2P 40kN
NCA
X 0 NCB NCA cos300 20 3 34,64kN
| NCA |
a) Điều kiện bền CA
16
C
ACA
NCB
40
P
16 12,74kN /cm2
Suy ra
Thoả diều kiện bền
22
G
4
P=qL
b) Mặt cắt BC là hai thép góc đều cạnh nên tổng diện tích
là
L
L
q
34,64
16 ACD 2,165cm2
B
D
C
ACD
300
300
ACD 2,165cm2
Tổng hai thanh có diện tích là
H
K
Tra bảng thép định hình cho một thép góc đều cạnh là L
20x20x3cm
L
L
Có diện tích là =1,13cm2
NDG
Thí dụ2. Cho kết cấu chịu lực như hình vẽ, thanh BCD
tuyệt đối cứng. Các thanh có diện tích lần lược là
ADG=1cm2, ACH = ACK= 2cm2.
q
P=qL
a)Tính nội lực trong các thanh NDG,NCH, NCK.
b) Tìm [q] từ điều kiện bền của các thanh
Cho L = 2m, [ ] =16kN/cm2, E = 2.104kN/cm2
Giải
D
C
NCH
300
300
NCK
L
L
Thực hiện mặt cắt qua các thanh với chiều nội lực
chọn như hình vẽ
D
EA
P= 2qL
M /C 0 NDG qL
3
Y 0 2N cos300 4qL N 4
qL
30o
C
B
3
K
(Do đối xứng nên NCH = NCG = N)
Điều kiện bền
q
NDG
qL
DG
16 q 8kN / m
L
2L
ADG
1
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 9 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
4 3
qL
N
3
2
CH CK
16 q 2,31kN / m
Chọn
qmin 2,3kN / m
ACH
Thí dụ3.
Cho thanh BCK tuyệt đối cứng có liên kết và chịu lực như hình vẽ. Thanh CD có tiết
diện và độ cứng EA.
a)Tìm NCD
b)Tìm chuyển vị đứng của điểm K.
Giải
a)Tìm NCD
3
21
2
M / B 0 NCD sin300 2L 2qL3L 3qL L
NCD
qL
2
b)Tìm chuyển vị đứng của điểm K.
Vẽ sơ đồ biến dạng như hình bên dưới
C
H
D
600
C/
P= 2qL
LCA
NCD
30o
H
B
C
30o
C
K
B
K
q
K/
C/
L
2L
L
2L
Xét tam giác CC/H
21qL 4L
8qL2
3EA
LCD
NCDLCD
2
3
LCD CC/ cos600 CC/
KK / 1,5CC/
cos600 EAcos600
EA
2
Thí dụ 4. Cho thanh KCH tuyệt đối cứng có
liên kết và chịu lực như hình vẽ. Các thanh có
cùng tiết diện và độ cứng EA. Tìm chuyển vị
đứng của điểm K. (có thể tìm góc nghiêng của
KH)
2
1
a
B1
B
P
C
H
K
3
Giải
K1
a
Trước tiên ta cần tính nội lực trong các thanh.
Cô lập hệ như H.3.17b.
a
a
N1
N2
Xét cân bằng với các phương trình:
X = 0 => N2 cos45o + N3 = 0
Y = 0 => –P + N1 + N2 sin45o = 0
M/B = 0 => –P2a + N1a = 0
Ta được N1 = 2P,
P
B
N
K
C
B1
K
X
N2 =–P
2 (nén), N3 = P
B
L1
K1
T.06/2015 Lê đđức Thanh
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
- 10 -
H. 3.17
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Tìm chuyển vị đứng của K(bằng p.pháp hình học)như sau:
X = 2(BB1+L1) , với X = KK1+ BB1
N1a
N2a 2
L2
cos 450
Trong đó L1
,
L2
BH
và: BB1
EA
EA
2N2a 2 N2a
X 2BB1 L1
2
EA
EA
Thế N1,N2 vào
4 2Pa 4Pa
Pa
X
KK1 X BB1
4 2 2
đvcd
EA
EA
EA
B
Thí dụ 5.Tìm [P] từ điều kiện bền và điều kiện cứng của
thanh chịu lực như hình vẽ.
P
L
-
3P
P
Cho [] =16kN/cm2, A =1cm2, E = 2.104kN/cm2,
C
L 0,05cm
+
L
L
E,1,5
Giải:
D
2P
Biểu đồ nội lực vẽ bên cạnh
Điều kiện bền:
NCD
ACD
2P
2L
CD
16 P 12kN
E,A
1,5
Biến dạng toàn phần của diểm H
P
P 2L P L 2P L PL 5PL
K
L
P
EA
1,5A
1,5A 1,5A 1,5A
Nếu chọn P=12kN ta được L 0,08cm
L
5PL
Do đó phải tính lại P từ điều kiện cứng
L
L
0,05 P 7,5kN
1,5EA
Vậy chọn [P]=7,5kN
VII. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH
Định nghĩa:
Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học
sẽ không đủ để giải được tất cả các phản lực hay nội lực trong hệ.
Cách giải.
VB
Cần tìm thêm các phương trình diễn tả điều kiện
biến dạng của hệ sao cho cộng số phương trình này
với các phương trình cân bằng tĩnh học vừa đủ bằng
số ẩn số phản lực, nội lực cần tìm.
Thí dụ 6. Xét thanh chịu lực như vẽ
B
B
a
P-VD
a
C
P
C
P
b
b
Ở hai ngàm có hai phản lực VB và VD.
Ta có phương trình cân bằng:VD+VB–P = 0
(a)
V
Phương trình này có hai ẩn, muốn giải được ta phải
tìm thêm phương trình từ điều kiện biến dạng của
thanh.
D
D
V
VD
a)
b)
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 11 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Tưởng tượng bỏ ngàm D và thay bằng phản lực VD. Điều kiện biến dạng của hệ là:
LBD = LBC + LCD = 0 (b)
Gọi NBC và NCD là nội lực trên các mặt cắt của các đoạn BC và CD ta sẽ được:
NBC LBC
NCD LCD
L =
+
= 0 (c)
EA
EA
với NBC = VD ; NCD = (P-VD), (c) trở thành:
VD b (P VD ) a
Pb
Pa
0 suy ra:
và VB
VD
EA
EA
a b
a b
Ta đã tính được phản lực VB, bài toán trở thành bài toán tĩnh định bình thường
Hay dùng nguyên lý cộng tác dụng để tìm biến dạng :
LBD(P,VD) = LBD(P) + LBD(VB) = 0
VD (a b)
P a
EA
Pa
LBD
0
VD
EA
a b
Thí dụ 6. Xét hệ gồm ba thanh treo lực P hãy tính nội lực trong các thanh treo.
Giải.
NA
NH
NHD
D
C
B
EA
EA
EA
a)
L
x
H
H
K
I
P
y
H’
b)
P
H.3.19
Ta có hai phương trình cân bằng ( tách nút H):
X = NHB sin + NHD sin = 0
Y = –P + NHB cos + NHC + NHD cos = 0
(a)
(b)
Để giải ba ẩn số nội lực ta cần thêm một phương trình điều kiện biến dạng. Xét hệ
thanh sau khi chịu lực. Vì đối xứng nên điểm H di chuyển theo phương HC đến H’.
Từ H kẻ đường HI và HK lần lượt vuông góc với H’B và H’D. Biến dạng nhỏ nên
góc H’BH và H’DH vô cùng bé và góc BH’C và DH’C vẫn là .
Suy ra IH’ là độ dãn dài của HB và tương tự KH’ là độ dãn dài của HD.
Ngoài ra HH’ cũng chính là độ dãn dài của HC
Xét tam giác H’IH và H’KH ta có liên hệ:
IH‘= KH’ = HH’cos ( c )
NHC L
NHB L
EAcos
NHD L
EAcos
Thay IH’ =
; KH’ =
; HH’ =
vào (c) rồi vào (a) và (b) ta sẽ
EA
P cos2
1 2cos3
P
được NHB = NHD =
Thí dụ 7:
; NAC =
1 2cos3
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 12 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Cho thanh BCD tuyệt đối cứng chịu lực như hình vẽ, L =1m, q =10kN/m,
A1=A2=Acm2
Tính nội lực trong các thanh treo.
Giải :
Đây là bài toán siêu tĩnh vì có 4ẩn số N1, N2 , VB, HB mà chỉ có 3 phương trình tỉnh
học, nên phải bổ sung thêm một phương trình biến dạng
K
N2
N1
qL2
A2
D
A1
q
L
qL2
HB
q
C
D
B
C
VB
P= 2qL
H
B
P= 2qL
D/
L
L
C/
L
L
Phương trình cân bằng tĩnh học:
C
2
M / B 0 2qL2 4qL2 qL2 N1
.L N2.2L 0
2
H
2
L1
C/
N1
2N2 5qL
(a)
2
L1
Điều kiện biến dạng : 2CC/ =DD/
N1L 2 N2 L
2
L2
(b)
cos450
(b/)
2 2
N2 4N1
EA
EA2
1
10qL
Từ (a) và (b/) cho được:
N1
0,574qL 5,74kN
và
N2 4N1 22,96kN
16 2
Thí dụ 8: Cho hệ chịu lực như hình vẽ .Tính nội lực thanh CK, DH.
Nhận xét :Thanh CK chiụ kéo , DH chiụ nn
Phương trình cn bằng tĩnh học:
K
M/B = 0 => NCK.L +NDH.2L =1,5qL2+2qL2
NCK.L +NDH.2L =1,5qL2+2qL2
=> NCK +2.NDH = 3,5qL (a)
Điều kiện biền dạng:
L
L
M = 2 ql2
EA
q
B
D
C
2CC/ = DD/
EA
NCK .L NDH .L
H
2
NDH 2NCK (b)
EA
EA
L
L
T ừ (a) và(b) NCK = 0,7 qL, NDH =1,4 qL
(Chú ý bài nầy về biến dạng) :
-Dựa vào bài toán nhận biết thanh chịu kéo
hay nén mà chọn lực dọc đúng thực tế
-Nếu không nhận biết được có thể chọn tuỳ ý
sau khi tìm được nội lực phải kiểm tra lại
NCK
M= 2 ql2
q
C
D
B
C/
NDH
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
D/
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 13 -
L
L
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
phương trình cân bằng để chọn đúng chiều của nội lực .Từ đó biết biến dạng co hay
dãn mà vẽ sơ đồ biến dạng.
Thí dụ 9. Thanh KH có tiết diện thay đổi chịu lực như hình vẽ.
a) Vẽ Nz và tính biến dạng của điểm H.
b) Nếu ngàm đầu H lại.(bài toán siêu tĩnh)
Tính lại phản lực tại ngàm H
Cho P =100kN, L=50cm, A = 2cm2,
E = 2.104kN/cm2
Giải
100.1,5.50 100.50 100.1,5.50
2.104.2
2.100.50
LKH
0,1042cm
2.104.2 2.104.1,5.2 2.104.1,5.2
K
Khi ngàm đàu H lại. Gọi R là phản lực tại ngàm H.
Điều kiện biến dạng là :
+
L
B
R.2,5.50
R2,5.50
2P
LKH 0,1042
0
2.104.2 2.104.1,5.2
1,5EA
EA
1,5L
3P
2P
-
( ở đây viết theo cộng tác dụng)
1,5.2.104.2
20,0064kN
6,25.50
L
R
P
1,5L
P
P
H
K
K
L
L
B
B
1,5EA
EA
1,5L
1,5EA
EA
1,5L
L
-
L
1,5L
1,5L
H
H
R
R
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 14 -
Bài giảng Sức Bền Vật liệu
Thí dụ 10: Cho thanh ACB tuyệt đối cứng và hệ thanh treo chịu lực như hình vẽ
a) Tính lực dọc trong các thanh DC, DK, DH
b) Tìm chuyển vị đứng của điểm C
D
Hƣớng dẫn: Tìm NCD bằng phương trình
tổng momen đối với B. Sau đó cô lập nút D
để tìm NDK,, NDH bằng phương trình hình
chiếu
EA
EA
A
H
K
P=2Q
2EA
Q
A
LDH
CC/ LCD DD/ LCD
cos450
A
B
C
A
A
2A
D
Bien dang cua thanh DK
NCD
EA
EA
P=2Q
D/
H
2
K
Q
C
A
D
B
C/
A
2A
A
NDK
NDH
NCD
Thí dụ 11.
Cho thanh BC tuyệt đối cứng và chịu lực như hình vẽ.
a) Tìm nội lực các thanh BK.CH , CD
b) Tìm góc nghiêng của thanh BC
Hƣớng dẫn :
Tính nội lực trong các thanh bằng phương trình momen đối với điểm B và điểm C.
Tìm chuyển vị đứng của điểm B và C theo biến dạng của các thanh BH,CHvà CD
vừa tìm được nội lực. Từ đó tính góc nghiêng
H
K
D
P=qa
EA
EA
2EA
2a
q
B
C
C/
2a
B/
a
2a
Chöông 3 : Kéo Nén đúng tâm
T.06/2015 Lê đđức Thanh
- 15 -
15 trang
12280
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 3: Kéo. Nén đúng tâm thanh thẳng - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_3_keo_nen_dung_tam_thanh.pdf
