Giáo trình Đồ họa máy tính - Chương 3, Phần 1: Các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều

CHÖÔNG 3

CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI TRONG ÑOÀ HOÏA HAI CHIEÀU

Moät trong nhöõng öu ñieåm quan troïng cuûa ñoà hoïa laø cho pheùp deã daøng thao

taùc leân caùc ñoái töôïng ñaõ ñöôïc taïo ra. Moät nhaø quaûn lí coù nhu caàu thu nhoû

caùc bieåu ñoà trong moät baùo caùo, moät kieán truùc sö muoán nhìn toøa nhaø ôû

nhöõng goùc nhìn khaùc nhau, moät nhaø thieát keá muoán quan saùt vaø chænh söûa

caùc maãu ñoái töôïng trong quaù trình thieát keá, … Taát caû caùc thao taùc naøy coù

theå ñöôïc hoã trôï moät caùch deã daøng nhôø vaøo caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc.

Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc seõ laøm thay ñoåi moâ taû veà toïa ñoä cuûa caùc ñoái

töôïng, töø ñoù laøm cho ñoái töôïng bò thay ñoåi veà höôùng, kích thöôùc vaø hình

daïng. Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc cô sôû bao goàm : tònh tieán (translation), quay

(rotation) vaø bieán ñoåi tæ leä (scaling). Ngoaøi ra moät soá pheùp bieán ñoåi khaùc

cuõng thöôøng ñöôïc aùp duïng ñoù laø pheùp ñoái xöùng (reflection) vaø bieán daïng

(shearing).

Coù hai quan ñieåm veà pheùp bieán ñoåi hình hoïc ñoù laø : bieán ñoåi ñoái töôïng

(object transformation) vaø bieán ñoåi heä toïa ñoä (coordinate transformation). Bieán

ñoåi ñoái töôïng laø thay ñoåi toïa ñoä cuûa caùc ñieåm moâ taû noù theo moät quy taéc

naøo ñoù, coøn bieán ñoåi heä toïa ñoä laø taïo ra moät heä toïa ñoä môùi vaø taát caû

caùc ñieåm moâ taû ñoái töôïng seõ ñöôïc chuyeån veà heä toïa ñoä môùi. Hai caùch

naøy coù nhöõng moái lieân heä chaët cheõ vôùi nhau vaø moãi caùch ñeàu coù nhöõng

lôïi theá rieâng. Chuùng ta seõ baøn veà pheùp bieán ñoåi ñoái töôïng tröôùc.

1. CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI HÌNH HOÏC CÔ SÔÛ

Moät pheùp bieán ñoåi hai chieàu seõ bieán ñoåi ñieåm P trong maët phaúng thaønh

ñieåm coù toïa ñoä môùi Q theo moät quy luaät naøo ñoù. Veà maët baûn chaát, moät

pheùp bieán ñoåi ñieåm laø moät aùnh xaï T ñöôïc ñònh nghóa :

T : R² R²

P



x, y



 Q



x', y'



Noùi caùch khaùc, T laø haøm soá T



x, y



theo hai bieán



x, y :



x' f

y' g



x, y











x, y



Pheùp bieán ñoåi affine laø pheùp bieán ñoåi vôùi f



x, y



vaø

g



x, y laø caùc haøm tuyeán tính.



Pheùp bieán ñoåi naøy coù daïng :

x' ax  cy  e

y' bx  dy  f







,a,b,c,d,e, f  R,ad  bc  0.

Ta chæ khaûo saùt caùc pheùp bieán ñoåi affine neân töø nay veà sau ta duøng cuïm töø

"pheùp bieán ñoåi" thay cho "pheùp bieán ñoåi affine".

1.1. Pheùp tònh tieán

Ñeå tònh tieán moät ñieåm P

theâm caùc giaù trò moâ taû ñoä dôøi vaøo caùc toïa ñoä cuûa P. Neáu goïi tr_xvaø tr_ylaàn löôït laø ñoä dôøi

theo truïc hoaønh vaø truïc tung thì toïa ñoä cuûa ñieåm môùi Q x', y' seõ laø :



x, y töø vò trí naøy sang vò trí khaùc trong maët phaúng, ta coäng







x' x  tr

y' y  tr_y







x

,



tr_x,tr_y



coøn ñöôïc goïi laø vector tònh tieán hay vector ñoä dôøi.

Chuùng ta coù theå dòch chuyeån toaøn boä moät ñoái töôïng baèng caùch aùp duïng quy

taéc treân cho moïi ñieåm thuoäc ñoái töôïng. Ñeå tònh tieán moät ñoaïn thaúng, ñôn

giaûn chæ caàn tònh tieán hai ñieåm ñaàu vaø cuoái cuûa noù roài sau ñoù veõ laïi ñoaïn

thaúng noái hai ñieåm môùi. Vôùi ña giaùc, ta tònh tieán caùc ñænh cuûa noù sau ñoù

veõ laïi ña giaùc vôùi caùc ñænh môùi. Moät caùch töông töï, ñeå tònh tieán caùc ñoái

y

Q

tr_y

(2,3) (4,3)

P

tr_x

(6,1) (8,1)

(b)

x

(a)

töôïng nhö ñöôøng troøn, ellipse, ta tònh tieán taâm cuûa chuùng tôùi vò trí môùi roài veõ

laïi.

Hình 3.1 – Pheùp tònh tieán moät ñieåm (a) vaø ñoái töôïng vôùi vector tònh tieán (-4,2) (b)

1.2. Pheùp bieán ñoåi tæ leä

Pheùp bieán ñoåi tæ leä laøm thay ñoåi kích thöôùc ñoái töôïng. Ñeå co hay giaõn toïa ñoä cuûa moät

ñieåm P



x, y theo truïc hoaønh vaø truïc tung laàn löôït laøs_xvaøs_y, ta nhaâns_xvaø s_ylaàn löôït



cho caùc toïa ñoä cuûa P.

x' s .x

y' s_y.y







x

,

s_xvaø s_yñöôïc goïi laø caùc heä soá tæ leä.

Khi caùc giaù trò s_x

,

s_ynhoû hôn 1, pheùp bieán ñoåi seõ thu nhoû ñoái töôïng, ngöôïc laïi khi

s_ybaèng nhau,

caùc giaù trò naøy lôùn hôn 1, pheùp bieán ñoåi seõ phoùng lôùn ñoái töôïng. Khi s_x

,

ta goïi ñoù laø pheùp ñoàng daïng (uniform scaling), pheùp ñoàng daïng laø pheùp bieán ñoåi baûo toaøn

tính caân xöùng cuûa ñoái töôïng.

Taâm tæ leä laø ñieåm khoâng bò thay ñoåi qua pheùp bieán ñoåi tæ leä. Pheùp bieán

ñoåi tæ leä moâ taû nhö treân coøn goïi laø pheùp bieán ñoåi tæ leä quanh goác toïa ñoä

vì coù taâm tæ leä laø goác toïa ñoä. Nhaän xeùt raèng khi pheùp bieán ñoåi tæ leä thu

nhoû ñoái töôïng, ñoái töôïng seõ ñöôïc dôøi veà gaàn goác toïa ñoä hôn, töông töï khi

phoùng lôùn ñoái töôïng, ñoái töôïng seõ ñöôïc dòch chuyeån xa goác toïa ñoä hôn.

y

(2,3) (4,3)

(5,1.5)

(10,1.5)

x

Hình 3.2 – Pheùp bieán ñoåi tæ leä vôùi s_x 2.5 vaø s_y 0.5

1.3. Pheùp quay

Pheùp quay laøm thay ñoåi höôùng cuûa ñoái töôïng. Moät pheùp quay ñoøi hoûi phaûi coù taâm

quay, goùc quay. Goùc quay döông thöôøng ñöôïc quy öôùc laø chieàu ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà. Ta

coù coâng thöùc bieán ñoåi cuûa pheùp quay ñieåm P



x, y quanh goác toïa ñoä moät goùc  :



x' cos.x  sin.y

y' sin.x  cos.y







y

x

Hình 3.3 – Pheùp quay moät ñoái töôïng quanh goác toïa ñoä moät goùc 60⁰

1.4. Bieåu dieãn ma traän cuûa pheùp bieán ñoåi

Trong nhieàu öùng duïng ñoà hoïa, ngöôøi duøng thöôøng xuyeân coù nhu caàu thöïc

hieän nhieàu pheùp bieán ñoåi hình hoïc khaùc nhau treân moät ñoái töôïng ñeå taïo ra

caùc hieäu quaû nhö mong muoán. Ví duï trong caùc öùng duïng thieát keá, chuùng ta

caàn phaûi thöïc hieän nhieàu pheùp tònh tieán, quay, tæ leä ñeå coù theå khôùp töøng

phaàn cuûa ñoái töôïng vaøo ñuùng vò trí cuûa chuùng, hay sau khi thöïc hieän caùc

pheùp bieán ñoåi nhöng khoâng ñöôïc öng yù, ngöôøi duøng muoán trôû laïi hieän traïng

tröôùc khi bieán ñoåi (undo), … Do ñoù caàn phaûi coù moät caùch naøo ñoù ñeå coù

theå xöû lí daõy caùc pheùp bieán ñoåi treân ñöôïc nhanh choùng vaø hieäu quaû.

Neáu ta bieåu dieãn toïa ñoä cuûa ñieåm P



x, y



vaø Q



x', y' döôùi daïng caùc vector doøng laàn



löôït laø vaø x' y' thì caùc pheùp bieán ñoåi tònh tieán, tæ leä, quay coù theå ñöôïc bieåu dieãn



x

y







döôùi daïng ma traän nhö sau :

Pheùp tònh tieán



x' y'







x

y







tr_xtr_y



hay Q  P  T vôùi T 



tr_xtr_y



Pheùp bieán ñoåi tæ leä

s

0

s_y









x





x' y'







x

y







s

0

s_y









x





hay Q  P.S vôùi S 

Pheùp quay quanh goác toïa ñoä

cos sin

 sin cos











x' y'







x

y









cos sin

 sin cos









hay Q  P.R vôùi R 





Vôùi caùch bieåu dieãn naøy, chuùng ta seõ gaëp khoù khaên khi muoán keát hôïp caùc pheùp bieán

ñoåi laïi vôùi nhau vì bieåu dieãn cuûa pheùp tònh tieán khaùc vôùi daïng cuûa caùc pheùp bieán ñoåi tæ leä

vaø quay. Chính vì vaäy maø caàn phaûi coù moät caùch naøo ñoù ñeå bieåu dieãn ba pheùp bieán ñoåi naøy

veà moät daïng duy nhaát ñeå coù theå deã daøng xöû lí sau naøy.

1.4.1. Heä toïa ñoä thuaàn nhaát (hormogeneous coordinates)

Toïa ñoä thuaàn nhaát cuûa moät ñieåm treân maët phaúng ñöôïc bieåu dieãn baèng boä ba soá tæ leä



x_h, y_h,h



khoâng ñoàng thôøi baèng 0 vaø lieân heä vôùi caùc toïa ñoä



x, y cuûa ñieåm ñoù bôûi coâng



thöùc :

x_h

h

y_h

h

x 

,

y 

Neáu moät ñieåm coù toïa ñoä thuaàn nhaát laø



x, y, z



thì noù cuõng coù toïa ñoä thuaàn nhaát laø



h.x,h.y,h.z trong ñoù h laø soá thöïc khaùc 0 baát kì. Toïa ñoä thuaàn nhaát cuûa moät ñieåm trong



khoâng gian ba chieàu hay coù soá chieàu lôùn hôn cuõng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch töông töï.

Veà maët toaùn hoïc, vieäc ñöa toïa ñoä thuaàn nhaát vaøo laø do söï caàn thieát phaûi

boå sung cho maët phaúng Euclid caùc ñieåm xa voâ taän



x, y,0 (ñieåm phi chính) coù



toïa ñoä thöù ba baèng 0, ñieàu naøy daãn ñeán khaùi nieäm maët phaúng xaï aûnh trong

hình hoïc xaï aûnh. Trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát, caùc ñieåm xa voâ taän khoâng

ñoùng moät vai troø gì ñaëc bieät so vôùi caùc ñieåm khaùc cuûa maët phaúng. Vôùi

caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc ñang khaûo saùt, neáu moät ñieåm ñöôïc bieåu dieãn

döôùi daïng toïa ñoä thuaàn nhaát, caû ba pheùp bieán ñoåi treân ñeàu ñöôïc bieåu dieãn

döôùi daïng tích caùc ma traän. Ñieàu naøy giuùp cho vieäc khaûo saùt caùc tính chaát

vaø söï keát hôïp cuûa caùc pheùp bieán ñoåi naøy ñöôïc thuaän tieän do moãi pheùp

bieán ñoåi ñöôïc ñaïi dieän bôûi moät ma traän duy nhaát.

Boä ba caùc toïa ñoä thöôøng bieåu dieãn caùc ñieåm trong khoâng gian ba chieàu,

nhöng ôû ñaây ta söû duïng chuùng ñeå bieåu dieãn caùc ñieåm trong khoâng gian hai

chieàu. Moái lieân heä ôû ñaây laø : neáu chuùng ta xeùt taát caû caùc boä ba toïa ñoä

thuaàn nhaát bieåu dieãn cho cuøng moät ñieåm, nghóa laø boä ba soá coù daïng



h.x,h.y,h.



, vôùi h  0, chuùng ta seõ nhaän ñöôïc moät ñöôøng thaúng trong khoâng

gian ba chieàu. Ñeå ñôn giaûn hoùa chuùng ta coù theå choïn h  1, luùc naøy moãi

ñieåm P seõ ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toïa ñoä thuaàn nhaát laø



x, y





x, y,1 .



1.4.2. Bieåu dieãn caùc pheùp bieán ñoåi döôùi daïng toïa ñoä thuaàn nhaát

Pheùp tònh tieán







1

0

1

0

1





x' y' 1







x

y 1



. 0









tr_xtr_y









1

0

1

0

1

hay Q  P.M_T



tr_x,tr_y



vôùi M_T



tr_x,tr_y











tr_xtr_y

Pheùp bieán ñoåi tæ leä

s

0

1









x



x' y' 1







x

y 1



. 0 s_y

0











0



s

0

s_y

0

1







x



hay Q  P.M_S



s_x,s_y



vôùi M_S



s_x,s_y















Pheùp quay quanh goác toïa ñoä

cos sin

0

1











x' y' 1







x

y 1



.  sin cos











0



cos sin

  sin cos

0

1









hay Q  P.M_R







vôùi M_R

















0



2. KEÁT HÔÏP CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI

Quaù trình aùp duïng caùc pheùp bieán ñoåi lieân tieáp ñeå taïo neân moät pheùp bieán

ñoåi toång theå ñöôïc goïi laø söï keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi (composing

transformation).

2.1. Keát hôïp caùc pheùp tònh tieán

Neáu ta thöïc hieän pheùp tònh tieán leân P

tònh tieán khaùc leân P’, ta ñöôïc ñieåm Q x', y' . Nhö vaäy, Q laø aûnh cuûa pheùp bieán ñoåi keát hôïp

hai pheùp tònh tieán lieân tieáp M_T1tr_x1,tr_y1vaø M_T2tr_x2,tr_y2coù toïa ñoä :

Q  P.M_T1tr_x2,tr_y2 P. M_T1tr_x1,tr_y1.M_T2tr_x2,tr_y2





tr_x1,tr_y1





.M_T2



x, y ñöôïc P’ , roài laïi thöïc hieän tieáp moät pheùp



























Ta coù :





 





1

0

1

0

1

0

1

0

1

 

M_T1



tr_x1,tr_y1



.M_T2



tr_x2,tr_y2





0 .





 





 

 

tr_x1tr_y1

1

tr_x2tr_y2









1

0

1

0

1











tr_x1 tr_x2tr_y1 tr_y2

hay : M_T1



tr_x1,tr_y1.M_T2





tr_x2,tr_y2



 M_T



tr_x1 tr_x2,tr_y1 tr_y2



Vaäy keát hôïp hai pheùp tònh tieán laø moät pheùp tònh tieán. Töø ñoù ta coù keát hôïp

cuûa nhieàu pheùp tònh tieán cuõng laø moät pheùp tònh tieán.

2.2. Keát hôïp caùc pheùp tæ leä

Töông töï nhö pheùp tònh tieán, ta coù toïa ñoä ñieåm Q

hôïp hai pheùp tæ leä M_S1s_x1,s_y1vaø M_S2s_x2,s_y2laø :

s_x1,s_y1





.M_S2s_x2,s_y2 P. M_S1s_x1,s_y1



x', y' laø ñieåm coù ñöôïc sau khi keát











Q 



P.M_S1











.M_S2



s_x2,s_y2





Ta coù :

s

0

s

0

1





 





x1

x2

 

M_S1



s_x1,s_y1



.M_S2



s_x2,s_y2





s_y10 . 0 s_y2

0



 







 





1

0

 

s .s

0

1









x1 x2



0

s_y1.s_y2













0

hay : M_S1



s_x1,s_y1



.M_S2



s_x2,s_y2



 M_S



s_x1.s_x2,s_y1.s_y2



Vaäy keát hôïp hai pheùp tæ leä laø moät pheùp tæ leä. Deã daøng môû roäng cho keát

quaû : keát hôïp cuûa nhieàu pheùp tæ leä cuõng laø moät pheùp tæ leä.

2.3. Keát hôïp caùc pheùp quay

Töông töï, ta coù toïa ñoä ñieåm Q

quay quanh goác toïa ñoä M_R1₁vaø M_R2

 P. M_R1₁



x', y'

₂

.M_R2



laø ñieåm phaùt sinh sau khi keát hôïp hai pheùp









laø :

Q 



P.M_R1



₁.M_R2



₂











₂

Ta coù :

cos₁sin₁

0

cos₂sin₂

0

1





 





 

M_R1



₁



.M_R2



₂



  sin

cos₁0 .  sin

cos₂



 



1

2



 





0

1

0



 

cos

  sin



₁ ₂



sin

cos



₁ ₂



0

1











₁ ₂





₁ ₂







0



hay : M_R1



₁



.M_R2



₂



 M_R



₁ ₂



Vaäy keát hôïp hai pheùp quay quanh goác toïa ñoä laø moät pheùp quay quanh goác toïa

ñoä. Töø ñoù deã daøng suy ra keát hôïp cuûa nhieàu pheùp quay quanh goác toïa ñoä

cuõng laø moät pheùp quay quanh goác toïa ñoä.

2.4. Pheùp quay coù taâm quay laø ñieåm baát kì

Giaû söû taâm quay coù toïa ñoä I



x_R, y_R



, ta coù theå xem pheùp quay quanh taâm I moät goùc



ñöôïc keát hôïp töø caùc pheùp bieán ñoåi cô sôû sau:

•

Tònh tieán theo vector tònh tieán



x_R,y_R



ñeå dòch chuyeån taâm quay veà goác

toïa ñoä (ñöa veà tröôøng hôïp quay quanh goác toïa ñoä).

•

Quay quanh goác toïa ñoä moät goùc



.

Tònh tieán theo vector tònh tieán

ñaàu.



x_R, y_R



ñeå ñöa taâm quay veà laïi vò trí ban

y

I(x_R,y_R)



x

(a)

(b)

(c)

(d)

Hình 3.4 – Pheùp quay quanh taâm laø ñieåm baát kì. Ñoái töôïng tröôùc khi bieán ñoåi(a), Sau khi tònh tieán veà goác toïa

ñoä(b), Sau khi quay goùc (c), Sau khi tònh tieán veà taâm quay ban ñaàu(d).



Ta coù ma traän cuûa pheùp bieán ñoåi :

M_R



x_R, y_R,



 M_T



 x_R,y_R



.M_R







.M_T



x_R, y_R



1

0

1

0

cos sin

0

1

0

1

0

1





 





 



0 .  sin cos 0 . 0

1



 







 





 x_R y_R

cos

 sin

1 cos x_R sin.y_R sin.x_R

0

1

x_Ry_R

 

sin

cos

1 cos y_R

0

1































3. MOÄT SOÁ TÍNH CHAÁT CUÛA PHEÙP BIEÁN ÑOÅI AFFINE

Pheùp bieán ñoåi affine baûo toaøn ñöôøng thaúng

AÛnh cuûa ñöôøng thaúng qua pheùp bieán ñoåi affine laø ñöôøng thaúng.

Thaät vaäy, ta coù phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua hai ñieåm A, B laø :

P



t







1 t

 P

Neáu goïi A’, B’ laàn löôït laø aûnh cuûa A, B qua pheùp bieán ñoåi M, ta seõ coù



A  tB .

Q



t



caùc ñieåm nhaän ñöôïc sau pheùp bieán ñoåi M.

Q t







t



.M 



1 t A  tB M  1 t AM  tBM









A' AM, B' BM . Luùc naøy Q



t







1 t A'tB'. Ñaây chính laø daïng cuûa phöông trình tham



soá ñoaïn thaúng qua A’, B’.

Töø keát quaû treân, ñeå bieán ñoåi moät ñoaïn thaúng ñi qua hai ñieåm A vaø B, ta chæ

caàn aùp duïng pheùp bieán ñoåi cho hai ñieåm A, B roài veõ laïi ñoaïn thaúng qua hai

ñieåm môùi.

Tính song song cuûa caùc ñöôøng thaúng ñöôïc baûo toaøn

AÛnh cuûa hai ñöôøng thaúng song song laø hai ñöôøng song song.

Chuùng ta coù theå vieát laïi phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng döôùi daïng tia xuaát

phaùt töø A öùng vôùi t=0 vaø theo phöông   B  A nhö sau : A  t . Luùc naøy ta bieåu dieãn hai

ñöôøng thaúng song song döôùi daïng tia : L₁



t



 A₁ t vaø L₂



t  A₂ t coù cuøng phöông t



nhöng xuaát phaùt töø hai ñieåm khaùc nhau. Luùc naøy aùp duïng pheùp bieán ñoåi leân hai ñöôøng

thaúng song song naøy, deã daøng nhaän ra aûnh cuûa chuùng seõ coù phöông M neân chuùng song

song.

Moät heä quaû quan troïng cuûa tính chaát naøy ñoù laø aûnh cuûa caùc hình bình haønh

sau pheùp bieán ñoåi laø caùc hình bình haønh.

Tính tæ leä veà khoaûng caùch ñöôïc baûo toaøn

Giaû söû C laø ñieåm chia ñoaïn AB theo tæ soá t. Neáu A’, B’, C’ laàn löôït laø aûnh A,

B, C qua pheùp bieán ñoåi thì C’ cuõng seõ chia A’B’ theo tæ soá t.

Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät, neáu C laø trung ñieåm cuûa AB thì C’ cuõng laø trung

ñieåm cuûa A’B’, töø ñoù ta coù theå suy ra moät soá tính chaát sau :

•

Trong hình vuoâng, caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñöôøng

neân caùc ñöôøng cheùo cuûa baát cöù hình bình haønh naøo cuõng caét nhau taïi trung

ñieåm cuûa moãi ñöôøng.

•

Trong tam giaùc ñeàu, giao ñieåm cuûa ba ñöôøng trung tuyeán chia moãi ñöôøng

theo tæ soá 1:2. Maët khaùc, moät tam giaùc baát kì laø aûnh cuûa tam giaùc ñeàu qua

pheùp bieán ñoåi affine, neân giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng trung tuyeán cuûa noù cuõng

seõ chia chuùng theo tæ leä 1:2.

4. MOÄT SOÁ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI KHAÙC

4.1. Pheùp ñoái xöùng

Pheùp ñoái xöùng truïc coù theå xem laø pheùp quay quanh truïc ñoái xöùng moät goùc

180⁰. Neáu truïc ñoái xöùng laø truïc hoaønh hay truïc tung, chuùng ta coù bieåu dieãn

cuûa pheùp ñoái xöùng qua truïc hoaønh, truïc tung laàn löôït laø :

1

0









M_Rfx 0  1 0











0

1



 1 0 0









M_Rfy



0

1 0

0 1













4.2. Pheùp bieán daïng

Pheùp bieán daïng laø pheùp bieán ñoåi laøm thay ñoåi, meùo moù hình daïng cuûa caùc

ñoái töôïng. Hai daïng pheùp bieán daïng thöôøng gaëp ñoù laø bieán daïng theo phöông

truïc x vaø bieán daïng theo phöông truïc y baèng caùch thay ñoåi toïa ñoä

ñieåm ban ñaàu theo caùch sau :



x, y cuûa



Bieán daïng theo phöông truïc x seõ laøm thay ñoåi hoaønh ñoä coøn tung ñoä vaãn giöõ

nguyeân

1

0 0

1 0

0 1









M_Shx sh





xy







0



Bieán daïng theo phöông truïc y seõ laøm thay ñoåi tung ñoä coøn hoaønh ñoä vaãn giöõ

nguyeân

1

sh_yx

1

0

1









M_Shy 0











0



sh_xyvaø sh_yxlaàn löôït ñöôïc goïi laø caùc heä soá bieán daïng.

y

(1,3) (3,3)

(10,3)

(12,3)

(1,1) (3,1) (4,1) (6,1)

x

Hình 3.5 – Pheùp bieán daïng theo phöông truïc x vôùi heä soá bieán daïng sh_xy 3

4.3. Pheùp bieán ñoåi ngöôïc

Chuùng ta thöôøng duøng pheùp bieán ñoåi ngöôïc ñeå coù theå undo moät pheùp bieán

ñoåi ñaõ thöïc hieän.

Ta coù Q laø aûnh cuûa P qua pheùp bieán ñoåi T coù ma traän bieán ñoåi M laø :

Q  PM , töø ñoù pheùp bieán ñoåi ngöôïc T^-1seõ coù ma traän bieán ñoåi laø M^-1vôùi

M^-1laø ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän M.

Vôùi giaû thieát ban ñaàu veà ma traän M laø ad  bc  0, ta coù coâng thöùc tính ma traän

a

b 0









nghòch ñaûo M^-1cuûa M  c d 0 laø :









e

f

1





d

 c

 b

a

0

1









1

M ^1







ad  bc









cf  de be  af

Nhö vaäy ta coù ma traän cuûa caùc pheùp bieán ñoåi ngöôïc cuûa caùc pheùp bieán ñoåi

cô sôû tònh tieán, tæ leä, quay laàn löôït nhö sau :





0

1

0

1





M_T^1

M_S^1

M_R^1



tr_x,tr_y





0  M_T tr_x,tr_y









1

 tr_x tr_y



1









0

s





x

s

0







y













1

s_xs_y

1

s_y

0

1



s_x,s_y





s_x0 

0

0  M

,





^S





s_xs_y







0

1



0

1









cos  sin

 sin cos 0  M_R 

0



























0

1

4.4. Phaân raõ pheùp bieán ñoåi

Moät pheùp bieán ñoåi baát kì coù theå ñöôïc phaân raõ thaønh tích caùc pheùp bieán

ñoåi cô sôû nhö tònh tieán, quay, tæ leä.

Moät pheùp bieán daïng theo phöông truïc x coù theå ñöôïc phaân raõ thaønh tích cuûa

moät pheùp bieán ñoåi tæ leä vaø moät pheùp bieán daïng ñôn vò, vaø vôùi moät pheùp

bieán ñoåi tæ leä khaùc theo coâng thöùc sau :

1





0 0





1

0 0

1 0 

0 1

1 0 0 sh



0 0

1 0

0 1













sh

xy





xy









sh

0

1 0 1 1 0

0











xy



















0

0 1 0 0 1

0













Pheùp bieán daïng ñôn vò coøn coù theå ñöôïc phaân raõ tieáp :







0

1 0 0

cos  sin

0

cos sin

 sin cos

0

1





























1





1 1 0  sin cos 0 0

0

















0















0 0 1

0

1

0













0

1

1

 58.28⁰



  tan







1





trong ñoù











^1



0

  tan

 31.72









Töø ñoù, moät pheùp bieán ñoåi baát kì coù theå ñöôïc phaân raõ thaønh caùc pheùp

bieán ñoåi cô sôû sau :

a

Q

b

Q

0

b

Q

a

Q

0





0



















Q

0

1

0 0

1 0





a

c

e

b

0

1

0

1



















ac  bd

ad  bc









d 0 

f



0 0 1









Q²

0











Q

0















1

e

f









0

1

0 1









trong ñoù Q² a² b²

.

Vôùi caùch laäp luaän treân ta nhaän thaáy : baát kì pheùp bieán ñoåi naøo cuõng ñöôïc

keát hôïp töø caùc pheùp bieán daïng, tæ leä, quay, vaø tònh tieán. Tuy nhieân, theo keát

quaû ôû böôùc tröôùc, pheùp bieán daïng laø söï keát hôïp cuûa caùc pheùp quay, tæ leä,

neân töø ñoù suy ra baát kì pheùp bieán ñoåi naøo cuõng ñöôïc keát hôïp töø caùc pheùp

tònh tieán, tæ leä vaø quay.

5. PHEÙP BIEÁN ÑOÅI GIÖÕA CAÙC HEÄ TOÏA ÑOÄ

Ñeå thuaän tieän cho vieäc moâ taû ñoái töôïng, thoâng thöôøng ñoái töôïng seõ ñöôïc

moâ taû trong caùc heä toïa ñoä cuïc boä gaén vôùi chuùng. Tuy nhieân ñeå coù theå

hieån thò toaøn boä moät aûnh bao goàm nhieàu ñoái töôïng thaønh phaàn, caùc moâ taû

naøy phaûi ñöôïc chuyeån veà moät heä toïa ñoä chung duy nhaát. Vieäc chuyeån ñoåi

naøy thöôøng ñöôïc chia laøm hai loaïi : chuyeån töø caùc heä toïa ñoä khoâng phaûi laø

heä toïa ñoä Descartes nhö heä toïa ñoä cöïc, heä toïa ñoä caàu, heä toïa ñoä elliptic, …

sang heä toïa ñoä Descartes, vaø chuyeån ñoåi giöõa hai heä toïa ñoä Descartes. Trong

phaàn naøy chuùng ta seõ khaûo saùt pheùp bieán ñoåi giöõa hai heä toïa ñoä Descartes

vôùi nhau.

Hình 3.6 – Pheùp bieán ñoåi giöõa hai heä toïa ñoä

Giaû söû ta coù heä toïa ñoä (I) coù goác toïa ñoä O vaø caùc vector ñôn vò laàn löôït laø

i, j . Heä toïa ñoä (II) laø aûnh cuûa heä toïa ñoä (I) qua pheùp bieán ñoåi T(M), coù goác

toïa ñoä laø O’ vaø caùc vector ñôn vò laàn löôït laø u,v. Luùc naøy moät ñieåm P



x, y



baát kì trong heä toïa ñoä (I) seõ ñöôïc bieán ñoåi thaønh ñieåm trong heä toïa ñoä

Q



a,b



(II). Vaán ñeà ñaët ra ôû ñaây laø moái lieân heä giöõa a,b vôùi x, y,M nhö theá naøo.

Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc raèng Q  PM ^1

.

P

v

u

O'

j

i

O

Hình 3.7 – Toïa ñoä cuûa moät ñieåm qua pheùp bieán ñoåi heä toïa ñoä

TOÙM TAÉT

Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc cho pheùp deã daøng thao taùc leân caùc ñoái töôïng ñaõ ñöôïc taïo ra. Chuùng

laøm thay ñoåi moâ taû veà toïa ñoä cuûa caùc ñoái töôïng, töø ñoù ñoái töôïng seõ ñöôïc thay ñoåi veà höôùng, kích thöôùc

vaø hình daïng. Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc cô sôû bao goàm tònh tieán, quay vaø bieán ñoåi tæ leä. Ngoaøi ra moät soá

pheùp bieán ñoåi khaùc cuõng thöôøng ñöôïc aùp duïng ñoù laø pheùp ñoái xöùng vaø bieán daïng.

Coù hai quan ñieåm veà pheùp bieán ñoåi hình hoïc ñoù laø : bieán ñoåi ñoái töôïng vaø bieán ñoåi heä toïa ñoä. Bieán

ñoåi ñoái töôïng thay ñoåi toïa ñoä cuûa caùc ñieåm moâ taû noù theo moät quy taéc naøo ñoù, coøn bieán ñoåi heä toïa ñoä

seõ taïo ra moät heä toïa ñoä môùi vaø taát caû caùc ñieåm moâ taû ñoái töôïng seõ ñöôïc chuyeån veà heä toïa ñoä môùi.

Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc ñeàu ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng ma traän thuaàn nhaát 3x3 ñeå tieän cho vieäc

thöïc hieän caùc thao taùc keát hôïp giöõa chuùng. Trong heä toïa ñoä thuaàn nhaát, toïa ñoä cuûa moät ñieåm ñöôïc moâ

taû bôûi moät vector doøng bao goàm ba giaù trò, hai giaù trò ñaàu töông öùng vôùi toïa ñoä Descartes cuûa ñieåm ñoù, vaø

giaù trò thöù ba laø 1. Vôùi caùch bieåu dieãn naøy, ma traän cuûa pheùp bieán ñoåi coù ñöôïc töø söï keát hôïp cuûa caùc

pheùp bieán ñoåi cô sôû seõ baèng tích cuûa caùc ma traän cuûa caùc pheùp bieán ñoåi thaønh phaàn.

Caùc pheùp bieán ñoåi khoâng laøm thay ñoåi keát caáu veà tính caân xöùng cuûa ñoái töôïng nhö tònh tieán, quay

ñöôïc goïi laø caùc pheùp bieán ñoåi baûo toaøn keát caáu ñoái töôïng, thuaät ngöõ tieáng Anh goïi laø rigid-body

transformation.

Vieäc chuyeån ñoåi giöõa hai heä toïa ñoä Descartes vôùi nhau thöôøng gaëp trong coâng ñoaïn chuyeån caùc

moâ taû toïa ñoä cuûa caùc ñoái töôïng thaønh phaàn trong caùc heä toïa ñoä cuïc boä veà caùc vò trí töông öùng trong

moät heä toïa ñoä chung. Giöõa hai heä toïa ñoä Descartes vôùi nhau, ngöôøi ta thöôøng söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi

baûo toaøn keát caáu nhö laø tònh tieán, quay.

BAØI TAÄP

1. Cho bieát ma traän caùc pheùp bieán ñoåi duøng ñeå bieán ñoåi moät hình troøn thaønh hình

ellipse vaø ngöôïc laïi.

2. Cho bieát ma traän caùc pheùp bieán ñoåi duøng ñeå bieán ñoåi moät hình vuoâng thaønh hình chöõ

nhaät, hình bình haønh vaø ngöôïc laïi.

3. Xaây döïng vaø caøi ñaët caáu truùc döõ lieäu vaø caùc haøm duøng ñeå thöïc hieän moät pheùp bieán ñoåi

affine baát kì.

4. Cho bieát ma traän cuûa pheùp tæ leä vôùi taâm tæ leä laø ñieåm baát kì.

5. Cho bieát ma traän cuûa pheùp laáy ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng y=mx+b baát kì.

6. Cho bieát ma traän cuûa pheùp laáy ñoái xöùng qua taâm laø ñieåm baát kì.

7. Cho bieát ma traän cuûa pheùp bieán daïng theo phöông cuûa ñöôøng thaúng y=mx+b.

8. Chöùng minh raèng ma traän cuûa pheùp laáy ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng y  x töông ñöông

vôùi keát hôïp cuûa pheùp laáy ñoái xöùng qua truïc hoaønh vaø pheùp quay quanh goác toïa ñoä moät

goùc 90⁰.

9. Chöùng minh raèng ma traän cuûa pheùp laáy ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng y  x töông

ñöông vôùi keát hôïp cuûa pheùp laáy ñoái xöùng qua truïc tung vaø pheùp quay quanh goác toïa ñoä

moät goùc 90⁰.

10. Trong pheùp bieán ñoåi tæ leä, s_x,s_yñöôïc goïi laø caùc heä soá tæ leä theo phöông cuûa truïc hoaønh

vaø phöông cuûa truïc tung. Haõy cho bieát coâng thöùc cuûa pheùp bieán ñoåi tæ leä theo phöông

cuûa caùc truïc nghieâng so vôùi truïc hoaønh (caùc truïc naøy tröïc giao vôùi nhau) moät goùc

 vôùi

caùc heä soá tæ leä theo caùc phöông treân laø s_x,s_y

.

11. Chöùng minh raèng caëp hai pheùp tæ leä laø giao hoaùn, nghóa laø

M_S1M_S2 M_S2M_S1. Töông

töï cho caëp hai pheùp quay.

12. Chöùng minh raèng pheùp ñoàng daïng vaø pheùp quay taïo thaønh moät caëp thao taùc coù tính

giao hoaùn, nhöng pheùp bieán ñoåi tæ leä thöôøng vaø pheùp quay thì khoâng vaäy.

13. Trình baøy ma traän cuûa pheùp bieán daïng döôùi daïng tích ma traän cuûa caùc pheùp quay vaø

caùc pheùp tæ leä.

14. Trình baøy ma traän cuûa pheùp quay döôùi daïng tích ma traän cuûa caùc pheùp bieán daïng vaø tæ

leä.

15. Chöùng minh raèng pheùp quay quanh goác toïa ñoä coù theå ñöôïc phaân tích thaønh ba pheùp

bieán daïng. Ñaây laø caùch ñeå quay moät aûnh nhanh vì pheùp bieán daïng thöôøng ñöôïc thöïc

hieän baèng caùch di chuyeån toaøn boä caùc khoái ñieåm aûnh (block pixels).

16. Chöùng minh moät pheùp bieán ñoåi affine baát kì coù theå ñöôïc phaân tích thaønh tích cuûa caùc

pheùp tònh tieán, tæ leä vaø quay.

17. Chöùng minh coâng thöùc tính toïa ñoä cuûa moät ñieåm khi thöïc hieän pheùp bieán ñoåi giöõa caùc

heä toïa ñoä

18. Heä toïa ñoä x'O' y' nhaän ñöôïc baèng caùch quay quanh goác toïa ñoä moät goùc

theo vector tònh tieán tr_x,tr_yheä toïa ñoä xOy . Haõy cho bieát coâng thöùc toïa ñoä cuûa ñieåm

P trong heä toïa ñoä x'O' y' neáu P x, y laø toïa ñoä cuûa P trong heä toïa ñoä xOy .

 roài tònh tieán









19. Vieát chöông trình minh hoïa caùc böôùc keát hôïp caùc pheùp bieán ñoåi cô sôû ñeå taïo thaønh

pheùp quay moät ñieåm quanh taâm baát kì. Thöïc hieän töông töï cho pheùp tæ leä coù taâm tæ leä

laø ñieåm baát kì.

20. Vieát chöông trình cho pheùp ngöôøi duøng söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi ñaõ hoïc thao taùc leân

moät ñoái töôïng cho tröôùc.