Bài giảng Sức bền vật liệu 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN CƠ KHÍ

Tài liệu tham khảo

Bộ môn Sức bền vật liệu

1.

2.

3.

4.

5.

Sức bền vật liệu, tập 1&2.

Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng.

Sức bền vật liệu, tập 1&2.

Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng, Nhữ Phương Mai.

Lý thuyết và bài tập sức bền vật liệu.

Nhữ Phương Mai.

SỨC BỀN VẬT LIỆU II

TS. HOÀNG SỸ TUẤN

Bài tập Sức bền vật liệu.

Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng.

Bài tập Sức bền vật liệu.

Thái Thế Hùng, Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng,

Nhữ Phương Mai, Hoàng Thị Bích Thủy, Trần Đình Long

Edited by Hoang Sy Tuan

Nội dung

Chương 1. Sức chịu phức tạp

Chương 2. Ổn định

Chương I

SỨC CHỊU PHỨC TẠP

Chương 3. Tính chuyển vị của hệ thanh

Chương 4. Giải hệ siêu tĩnh

Chương 5. Tải trọng động

Edited by Hoang Sy Tuan

1

z

Điểm nguy hiểm tại A₁và A₂có:

M_x

+

A₂

1. Uốn xiên



M _y

I_y

M_x

I_x



M_y

_z^max



y_k



x_k

y



+

Nội lực: Mô men uốn M_x(Q_y) và M_y(Q_x).

A₁

M _y

Đường

trung hòa

M_x

I_x

_z^min 

y_n



x_n

x

Ứng suất pháp tại M(x,y):

I_y

z

M_y

I_y

M_x

I_x

_z

y 

x

Mặt cắt ngang đối xứng:

M_x

+

M _y



M_x

_z^max _z^min







M_y

Phương trình đường trung hòa:

y



W_x

W_y

+

Điều kiện bền:

M _y

I_y

M _x

I_x

y 

x  0

 _z^min 

_z^max 





Đường

trung hòa

- Dòn:





_k

x

n

- Dẻo:

_z

max

 

Góc nghiêng giữa đường trung hòa và trục x:





Chuyển vị:

M _y

I_x

với

tg  

y  

x  tg.x

f  f_x² f_y²

  _x²_y²

I_yM_x

I_yM _x

Ví dụ: Dầm công-xôn chịu tác dụng của lực theo phương thẳng đứng

và ngang như hình vẽ.

2. Kéo và uốn đồng thời (kéo-nén lệch tâm)

Xác định vị trí đường trung hòa tại mặt cắt nguy hiểm, _maxvà độ võng

toàn phần tại đầu tự do của dầm. Cho E = 2.10⁴kN/cm².

Nội lực: Lực dọc N_z, mô men uốn M_xvà M_y.

z

P

P=2,4kN

z

b

N_z

y

M_x

x

z

M_y

P

y

Pa/2

a

x

Pb/2

x

y

2a

a=0,5m

2

2. Kéo và uốn đồng thời (kéo-nén lệch tâm)

Mặt cắt ngang hình tròn

z

v

N_z

M_u

M_x

M_y

A

B

M_u

y

Ứng suất pháp tại M(x,y):

z

u

M_u

u

B

A

M _y

I_y

N_zM_x

N_z

x

_z



y 

x

F

I_x

M_x

N_zM_u

_z^min







M_x² M _y²

M_y

_z^max





Phương trình đường trung hòa:

M_u

F

W_x

F

W_x

y

M _y

I_y

N_zM_x



y 

x  0

x

Điểm A là điểm nguy hiểm có

F

I_x

N_z

M_u

_z





max

F

W_x

P₁=16kN

y

Ví dụ 1: Cột có mặt cắt ngang hình

chữ nhật b=12 cm, h=16cm, chiều

cao l=2 m, chịu tác dụng của lực

P₁=16 kN, P₂=4 kN và tải trọng

phân bố đều q=2kN/m.

Mặt cắt ngang hình chữ nhật

z

x

z

N_z

M_x

A

B

+

M_y

+

Tính _max, _minvà xác định vị trí

đường trung hòa ở chân cột.



l/2



M_y

y



A

B

q

P₂=4kN

x

M _y

W_y

M _y

W_y

M_x

W_x

M _x

W_x

N_z

F

N_z

F

_z^max





_z^min





h

Điểm A là điểm nguy hiểm có

M _y

W_y

N_z

M_x

W_x

_z





max

F

b

3

Ví dụ 2: Trục mặt cắt ngang hình tròn đường kính d=10 cm, chịu lực

như hình vẽ.

3. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt tròn

Tính _max, _min

?

Nội lực: Mô men uốn M_x, M_yvà mô men xoắn M_z.

M_u



M_x² M _y²

z

P=3,14kN

v

Điểm nguy hiểm tại 2 điểm A₁và A₂có:

4P

x

z

A₂

M_u

W_x

M_z

W_p

_max



_max

M_z

M_u

d

P

Theo thuyết bền ƯSTLN:

u

1

max

td

_m²_ax 4_m²_ax



M_x² M_y² M_z²

A₁

d

3d

d

y





W_x

Theo thuyết bền TNBĐHD:

1

max

td





_m²_ax3_m²_ax



M_x² M_y² 0.75M_z²

W_x

P

Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ mô men

xoắn, mô men uốn M_x, M_y.

M=30 kNm

4. Kéo, uốn và xoắn đồng thời

d=10cm

0,2 m

TĐC

Tính ứng suất tương

đương lớn nhất theo thuyết

bền ƯSTLN.

Nội lực: Lực dọc N_z, mô men uốn M_x, M_yvà mô men xoắn M_z.

2P

v

z

M_u



M_x² M _y²

0,5 m

N_z

M_z

u

0,125 m

Điểm A là điểm nguy hiểm có:

M_u

M_z

W_p

N_z

F

M_u

W_x

_max



_max





2P

A

Ví dụ 2: Trục AB mặt cắt ngang

hình tròn đường kính d. Thanh

CD cứng tuyệt đối hàn vuông

góc với AB.

M=Pa

Theo thuyết bền ƯSTLN:

D

v

z

a

N_z

M_z

u

_td

_m²_ax 4_m²_ax

d

a

A

K

C

B

Xác định đường kính cho

phép của trục. Biết []. Tính góc

xoay tại K. Cho biết E và G.

P

a

M_u

Theo thuyết bền TNBĐHD:

a

_td



_m²_ax 3_m²_ax

4

1. Khái niệm

P

R

P_th

Chương II

ỔN ĐỊNH



Edited by Hoang Sy Tuan

3. Các trường hợp liên kết khác

2. Bài toán Ơle

M_x

Lực tới hạn theo Ơle:

 ²EJ_x

P_th



y  

M  P y z

 

y

x

th

h

EJ_x

P

P 

 là hệ số phụ thuộc liên kết ở hai đầu thanh.

²



th

z ²y z  0

b

th

2



y

 

x

l





EJ_x

P_th

l

P_th

y z  C sinz C cosz

 

y(z)

1

2

P_th

z

Các điều kiện biên:

/4

z  0, y  0  C₂ 0

/2

P_th

0,7

y

z  l, y  0  sinl  0

k

x



/2

l  k hay  

k² ²EJ_x

,k 1,2,3,...

l

/2

P 

=2

th

=0,5

=1

/4

l²

=0,7

 ²EJ_x

l²

Thanh bị mất ổn định khi k=1:

P 

th

P_th

5

4. Ứng suất tới hạn, giới hạn áp dụng công

thức Ơle

P

 ²EJ_min ²E

l

i_min

J_min

F

th

_th



 

i_min

l ²F

F

²





Chương III

_th

k_od

  



Điều kiện ổn định:

 

od

TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA

HỆ THANH

 Điều kiện áp dụng công thức Ơle: _th _tl

 ²E

_th

 

 ₀

_tl

Đường Iaxinxki

_ch

_tl

   ₀áp dụng công thức Iaxinxki:

_th a  b

Hypecbôn Ơle



     a 

b



_ch





1

0

₁

₀



_th _ch

_th _B

(dẻo)

(giòn)

Edited by Hoang Sy Tuan

1. Xác định chuyển vị theo nguyên lý bảo

toàn năng lượng

Giới thiệu

A_ng A_n 0

A_ng A U

n

P

a) Công ngoại lực

Tính chuyển vị của các thanh có dạng bất kỳ, như khung, hệ

thanh, … chịu lực bất kỳ.

1

2

P

A_ng



P.

A_ng

1

₂

1

A



P 

M 

i i

hoặc

₂

ng

i

Các giả thiết:

b) Công của nội lực, thế năng biến dạng đàn hồi

- Thanh chịu kéo (nén) đúng tâm:

 Tải trọng tác dụng tĩnh.

O



 Chuyển vị tuân theo nguyên lý cộng tác dụng.

N²

1

 ²

2E

u   



U 

dz



2

2EF

l

Các phương pháp:

- Thanh chịu uốn ngang phẳng:

Q_y²

M_x²

 Nguyên lý bảo toàn năng lượng.

 Nguyên lý công khả dĩ.

1



u 

 ²₃²₁₃

U 

dz

^{dz }^





1



2E

2EJ_x

2GF

l

- Thanh chịu xoắn thuần túy mặt cắt ngang tròn:

 ²

M _z²

u 



U 

dz



2G

2GJ _p

l

6

P₁

P₂

P_k

. . .

P_n

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng:

c) Định lý Castigliano

U

. . .

M_z²

N²

M ²

Q²

U 

dz 



dz 

dz



 _2EF

 _2EJ



2GF

2GJ _p

l

dU 

dP

k

P

k

N²

M ²

Q²

M_z²

₁

₂

_k

_n









2U

2

 



dz 



dz 

dz

dA  dP ._k



 _2EF

 _2EJ



 _2GJ

dP_k

k

P

2GF

P₁

P_n







p

P₂

l



P_k

dA  dU

. . .

Đối với bài toán phẳng:

N²

 _2EF

M ²

 _2EJ

Q²

U





2U

2

_k



đường đàn hồi

do dP_ktác dụng

đường đàn hồi do

P₁,…,P_ntác dụng

 



dz 



dz

_k







2GF



P

k

P

l





Kết luận: Đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi theo một

lực nào đó bằng chuyển vị theo phương tác dụng của lực tại điểm

đặt lực đó.

Nhược điểm: Chỉ sử dụng khi trên hệ có 1 lực tác dụng và tính

chuyển vị tại điểm đặt lực.

P

_B ?

Ví dụ 1:

Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

U

N

N

M

M

Q

Q

M ²

A

_k





dz 



dz 





dz

²





 _{EF P}

 _EJ

_B



dz

P

GF P

k

_2EJ

k

B

l

P

l

2

Pl³

U

M_k

N

N

M

M

Q

Q

z

Pz

_P¹ ^



_k





dz 





dz





l

_B



dz  _B



EF M_k

EJ M_k

GF M_k

EJ

3EJ

l



l

Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

_B ?

Ví dụ 2:

P

2. Xác định chuyển vị theo công khả dĩ

a

A

M M

M  Pz

_B

dz

^ _{EJ P}

B

0

z

a) Công khả dĩ của ngoại lực

Pa³

a

Pz²

P_k

dz

a



“k”

_B

dz

^ _EJ

Xét 2 trạng thái:

3EJ

0

+ Trạng thái thứ nhất gọi là

trạng thái “k” chịu lực P_k.

q

M_gt

_B ?

Ví dụ 3:

P_m

+ Trạng thái thứ hai gọi là

trạng thái “m” chịu lực P_m.

M_gt

a

M

^ _E^M_{J M}

qa

M 

2

qz²

“m”

z 



z

A

B

2

A^km P ._km

a

ng

k

z

U

M_gt

_km

_B

dz

A^km



P .

ik ikm

hoặc



ng

gt

0

i

^a







qa³

M_gt

a

M_gta

1

_EJ

qa

qz²

z

_B



z 



z

dz 



b) Nguyên lý công khả dĩ

A^km A^km 0



2

qa³

a

24EJ 3EJ

₀

P ^km A_n^km 0





ng

n

ik

i

M_gt 0  _B

24EJ

7

c) Công khả dĩ của nội lực

_tb

d

M_m

d) Các định lý tương hỗ

Q_k

M_k

N_m

Q_m

N_k

N_m

Q_m

- Định lý tương hỗ về công khả dĩ của ngoại lực:

M_m

N_k

M_k

P 



P 

jm mk

j



ik km

Q_k

i

dz

dz+dz

dz

ds

- Định lý tương hỗ về các chuyển vị đơn vị:

dz

_km _mk

dz M_mdz

N_mdz

EF

Q_mdz

GF

d 



dz  dz 

ds 



EJ

e) Công thức Maxwell-Morh

dA^km N_kdz  M_kd  Q_kds

ng

N_kN_mdz

EF

M_kM_mdz





EJ

Q_kQ_mdz

GF

Cho P_k= 1:

_km











N N dz M_kM_mdz

Q Q dz

k m







dA^km dA^km 





k

m

n

ng





EF

EJ

GF



- Để xác định chuyển vị thẳng (hoặc góc xoay) tại một vị trí nào

đó ta đặt lực (mô men) tập trung đơn vị tại đó.

N_kN_mdz

EF

M_kM_mdz

EJ

Q Q dz

k m





^



A^km 





n







- Để xác định chuyển vị (hoặc góc xoay) tương đối giữa 2 mặt

cắt thì ta đặt 2 lực (hoặc mô men) tập trung đơn vị ngược chiều

nhau tại 2 mặt cắt đó.

GF



N_kN_mdz

EF

M_kM_mdz

Q_kQ_mdz

GF

P 











ik km



EJ

i

Bậc 2

3. Phương pháp nhân biểu đồ Vêrêsaghin

Bậc 2

h

^{I }^{F z G z dz}

   

G,F

z₁

z₂

z₁

z₂

G(z)

l

d



az b G z dz

 





1

3

4

2

3

5

8





C

  hl, z₁ l, z₂

l

  hl, z₁ l, z₂

l

3

4

3

8



az  b d



z



O



z

dz

Bậc 3

Bậc n

z_C

F(z)=az+b

h

^{ a}^{zd b d}





z₁

z₂

z₁

z₂

 az_C  b

F(z_C

)

l

z

  az b





O

C

1

4

5

1

n 1

n  2

L

  hl, z₁ l, z₂

l

 

hl, z₁

l, z₂

l

 I  F z

4

5

n 1

n  2



_C



8

1. Hệ siêu tĩnh

Nếu số liên kết nhiều hơn số phương trình cân bằng tĩnh học thì hệ

đó gọi là hệ siêu tĩnh.

Chương IV

P

GIẢI HỆ SIÊU TĨNH

P

Edited by Hoang Sy Tuan

- Bước 2: Xác định hệ tĩnh định tương đương bằng cách đưa vào

hệ cơ bản các phản lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã

Khử hệ siêu tĩnh:

- Bước 1: Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản tương đương của

hệ siêu tĩnh đã cho (sao cho phải đảm bảo tính bất biến hình của hệ).

bỏ đi.

X₂

- Bước 3: Thiết lập hệ phương trình chính tắc

X₁





₁₁X₁₁₂X₂..._1nX_n _{1 p} 0

₂₁X₁₂₂X₂..._2nX_n _{2 p} 0













........................................................





_n1X₁_n2X₂..._nnX_n _np 0



q

trong đó

1

_ij



M _i M

_ip



M _i M _p

j

EJ

Biểu đồ nội lực:

Q_y X₁Q₁ X₂Q₂... X_nQ_n Q_p

M_x X₁M₁ X₂M ₂... X_nM _n M _p

9

2. Hệ siêu tĩnh đối xứng

3. Dầm liên tục

P

a) Định nghĩa

q

M

M_i-1

M_iM_i

M_i=1

M_i+1

Là dầm đặt trên nhiều gối tựa đơn,

trong đó có một gối tựa cố định.

EJ

_i

_i+1

P

q

2EJ

M_i

EJ = const

1

M_i-1=1

M_i-1

Bậc siêu tĩnh = Số nhịp - 1

b) Phương trình 3 mô men

1

X₂

X₂=0

X₃

X₂=0

b) Tính chất

M_i+1=1

M_i+1

X₁=0

X₃

X₁X₁

X₃=0

P

q

1

P

_i

_i+1

M₀

M₁M₁

M₂M₂

M₃

M_P

a_i

b_i

a_i+1b_i+1

0

1

2

3













l_i

l_i1

M_i1



M 

M_i1



i

6EJ_i

3EJ_i3EJ_i1

6EJ_i1









_ia_i

l_iEJ_il_i1EJ_i1

_i1b

i1



 0





Nếu độ cứng EJ không đổi

Chương V







_i1

_ia_i_i1b

l_iM_i1 2 l l M l_i1M_i1 6

_i1



 0





i

l_i

l_i1



TẢI TRỌNG ĐỘNG

q

P=q

/2

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực.

Cho EJ = const.



/2

Chú ý:

P

q

M=P/2

₀=0



/2

EJ₀=∞

Edited by Hoang Sy Tuan

10

1. Khái niệm

2. Hệ chuyển động với gia tốc không đổi

Tải trọng tĩnh: Tải trọng tác động lên hệ tăng một cách từ từ, liên tục từ

0 đến trị số cuối cùng, không gây xuất hiện lực quán tính.

Nguyên lý Đa-lăm-be:





w

g

N_d P  F  P 1

qt







Tải trọng động: Tải trọng tác dụng một cách đột ngột (như khi hệ bị va

chạm) hoặc biến đổi theo thời gian (như hệ dao động, các chuyển

động có gia tốc).



 K_dP  K_dN_t

N_d

Hệ số động:

w

K_d1

g

w

Ứng suất động:

_d K_d._t

P

_d 





Điều kiện bền:

Dao động tự do không cản:

2

3. Dao động của hệ đàn hồi 1 bậc tự do

y  Asin t 







y  y  0

2





y  2 y   y  0

Dao động tự do có cản:

a) Bậc tự do:

y  Ae^tsin  t 

₁ ² ² 

Là thông số độc lập cần thiết để xác định vị trí của hệ.



₁



1

Dao động cưỡng bức với lực kích thích là hàm điều hòa:

P(t)

m₁

m₂

m

P t

 

P

2

y  2 y  y 



⁰sin t

y t  y t  y

t





 

₀

 

₁

 

m

z

y₀t  Ae^tsin  t 

y  A sin t 

y₁

y₂

y(z,t)

 



₁







1

.P









b) Phương trình vi phân dao động tuyến tính của hệ 1 bậc tự do:

0

² ²

² ² 4²²

A 

1

²

²

4²²

  arccos





y t   P t   y  my

 







2

1



















²

⁴





P t

 

P

2

y  2 y  y 



⁰sin t





m

sin t 





y_d y₁

.P

0

²



2m

1

g

_t^Q

²

4²²







với

 

 



1





²

⁴

m

mg



11

1

K_d



3. Bài toán tải trọng va chạm

y_t .P

0

²

4²²







²

1





²

⁴

a) Va chạm đứng của hệ 1 bậc tự do



y_d^max K_dy_t

_d K_d_t

Các giả thiết:

1

- Động năng của vật va chạm truyền hoàn toàn cho vật bị va chạm.

- Sau va chạm, vật va chạm chuyển động cùng vật bị va chạm.

Khi bỏ qua sức cản (=0):

K_d

²

1

²

Định luật bảo toàn động lượng:

Tổng quát:

S  S₀ K_dS_t

Q

g

Q  P

g

Q

⁰Q  P

v₀

v  v  v

h

Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men uốn và tính độ võng tại vị trí đặt vật.

P(t)=P₀sint

y_t

P

Q

P

Động năng:

y_đ

1 Q  P

1

Q

T 

.

v²

v₀²

EJ

m

2

g

2 g 1 P Q





Thế năng:

/2



  Q  P y





d

b) Va chạm ngang của hệ 1 bậc tự do

Thế năng biến dạng đàn hồi được tích lũy trong hệ:

Q²v₀²

1

Q

1 Q  P

1

v²

U  T   

v² Q  P y

0 d





v  v

 T 

.

⁰Q  P

2 g 1 P Q

Công của ngoại lực:





2

Q²

g

2 g Q  P





1

P .y_dy_d²

v₀²A 



d

U  T    T 

.

y_d²

v₀

Q

P .y_d

P

2 g Q  P

2

2





d

y  P .

 A 

 P.y_d





A 

 P.y_d

d

1 y_d²

2 

1

Qv₀²

2 g 1 P Q

2

2

U  A

y_d





Theo định luật bảo toàn năng lượng:





.Q.v₀²

Q



v₀^_t

U  A  y_d² 2.Q.y_d

Độ võng động của dầm:

 0

v₀

K_d



g 1 P Q





Q



g^_t1 P Q









Q



^_t.v₀²

y_d ^_t^ ^²

Q



Q

^_t Q.



Q

y_d K_dy_ty  ^

_d K_d_t



với





t





t

g 1 P Q





v₀

Khi P=0 thì:

K_d



2h

1 P Q .^

Q

 y_d K_d.^_t



Q

g^_t

v  2gh

K_d1 1





0

Q







t

12

Bài giảng Sức bền vật liệu 2 - Hoàng Sỹ Tuân