Bài giảng Điều khiển số - Các ví dụ - Nguyễn Phùng Quang
Điều khiển số
(Digital Control Systems)
Các ví dụ: Đánh số thứ tự theo
chương của giáo trình cùng tên
(Version 5, 8/2011)
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
1
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.1
Một tín hiệu gián đoạn về
thời gian được mô tả bởi:
1
z
U z =
=
( )
1− z−1
z−1
Hãy đi tìm ảnh U(z) và miền hội tụ của tín hiệu !
Lời giải:
Dễ dàng tìm ảnh z của tín hiệu kể trên bằng cách tính tổng
Laurent:
k
∞
∞
⎛ ⎞
a
⎟
⎟
⎜
⎜
U z =
ak z−k
=
( )
(
)
∑
∑
⎟
⎟
⎜
⎝ ⎠
z
k=0
k=0
a z <1
Chuỗi trên chỉ hội tụ khi
, tức là ở vùng phía ngoài đường tròn có bán kính a.
Hãy đi tìm ảnh z của hàm bước nhẩy đơn vị 1(t) !
Ví dụ 1.2.2
∞
∞
⎧
⎪
⎩
⎧
k
1 khi t ≥ 0
1 khi k = 0,1, 2, …
⎪
⎪
⇒ U z = 1⋅ z−k =
z−1
⎪
⎪
⎨
⎪
u t =1 1 =
⇒ u =
( )
( )
( )
⎨
⎪
(
)
∑
∑
k
0 khi t < 0
0 khi k < 0
k=0
k=0
⎪
⎩
∞
r
r qs =
Khi thay vào chuỗi:
các giá trị q = z-1 và r = 1 ta thu được:
(
)
∑
1−q
s=0
1
z
U z =
=
( )
1− z−1
z−1
Kết quả trên đúng với mọi giá trị trên toàn miền z, trừ điểm z = 1.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
2
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Hãy tìm ảnh z của hàm e mũ (hàm exponent) !
Ví dụ 1.2.3
∞
∞
k
f t = eat ; t ≥ 0 ⇒ f kT = f = eakT ; k = 0,1, 2, … ⇒ F z =
eakT z−k =
eaT z−1
( )
( )
( )
(
)
∑
∑
k
k=0
k=0
1
e−aT z
Kết quả tính tổng của chuỗi là:
F z =
=
( )
1−eaT z−1 e−aT z−1
Ví dụ 1.2.4
f t = at; t ≥ 0; a = const
( )
Hãy tìm ảnh z của hàm dốc tuyến tính !
∞
F z = a kTz−k
( )
Dễ dàng viết được ảnh F(z) dưới dạng chuỗi như sau:
∑
k=0
−3
−1
−2
Để tính tổng trên ta phải áp
dụng nguyên lý tịnh tiến và
sử dụng ảnh z của hàm bước
nhẩy 1(t) và viết lại công
thức trên:
⎡
⎤
Tz +Tz +Tz +ꢀ
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎥
−2
−3
⎥
Tz +Tz +ꢀ
⎥
F z = a
( )
⎥
Tz−3 +ꢀ
⎥
⎥
ꢁ
⎢
⎣
⎥
⎦
⎡
⎢
⎤
z
z−1
z
z
z
−2
−1
−2
= aT
= aT
z−1 +
z +ꢀ = aT
z + z +ꢀ
⎡
⎤
⎥
⎢
⎥
⎦
⎣
⎢
⎣
⎥
⎦
z−1
z−1 =
z−1
z
aTz
z−1 2
z−1 z−1
(
)
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
3
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Ví dụ 1.2.5
Bổ xung lý thuyết:
Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tách phân thức hữu tỷ thành
các phân thức tối giản. Sau đó lần lượt tìm hàm gốc của các phân thức tối giản.
⎛
⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
⎟
k
z
•Điểm cực đơn:
•Điểm cực lặp lại m lần:
⇔
⇔
a
k−m+1; m =1, 2, ꢀ
m
⎜
⎜
⎝
⎟
⎠
m−1
z−a
(
)
z
⇔ ak
⎛
⎞
k −1
z−a
−m
k−m
⎟
⎟
⎟
⎜
z−a
a
(
)
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
m−1
⎠
Ví dụ:
Cho trước ảnh z có dạng phân thức:
0,9z
z
z
F z =
=
−
( )
z2 −0,1z−0, 2
z−0,5 z +0, 4
Áp dụng công thức để tìm hàm gốc:
k
f = 0,5k − −0, 4
k
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
4
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.2 Mô hình tín hiệu trên miền ảnh z
Bổ xung lý thuyết: Tìm hàm gốc của ảnh z cho trước bằng phương pháp tính
Ví dụ 1.2.6
Residuum. Khi z = zν là điểm cực
1
dm−1
m
k−1
Res F z z
=
lim
F z z− z
zk−1
⎡
⎤
⎡
⎤
- lặp lại m lần:
( )
( )(
)
ν
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
dzm−1
z→zν
zν
m−1 !
(
)
k−1
k−1
⎡
⎤
⎡
⎤
- đơn:
Res F z z
= lim F z z− z z
( )
( )(
)
ν
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
z→zν
zν
n
k−1
⎡
⎤
f =
Res F z z
Hàm gốc có dạng:
( )
∑
k
⎢
⎥
⎦
⎣
ν=1
0,9z
F z =
( )
Xét hàm ảnh cho ở ví dụ 1.2.5:
Có hai điểm cực z1, z2, vậy khi:
z−0,5 z +0, 4
)
⎤
k−1
⎧
⎪
⎡
⎢
⎤
⎥
⎥
0,9z z−0,5 z
(
)
⎪
k−1
k
⎡
⎪
⎪
⎪
⎪
z = 0,5 ⇒ Res F z z
= lim
= 0,5
( )
1
⎢
⎥
⎦
⎢
⎣
z→0,5
z1
z−0,5 z +0, 4
(
)(
(
)
⎢
⎣
⎥
⎦
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
k−1
⎡
⎢
⎢
⎤
0,9z z +0, 4 z
)
k
k−1
⎥
⎡
⎤
z = −0, 4 ⇒ Res F z z
= lim
= − −0, 4
( )
(
)
2
⎢
⎥
⎦
⎥
⎣
z→−0,4
z2
z−0,5 z +0, 4
(
)(
)
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩
⎪
k
f = 0,5k − −0, 4
Hàm gốc có dạng sau:
k
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
5
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.1 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng phương trình sai phân
Hãy tìm giá trị trung bình [xk], tính từ 4 giá trị mới nhất của dãy [uk] !
Chú ý: Còn gọi là phép tính trung bình trượt.
1
x = u +u +uk−2 +uk−3
(
)
k
k
k−1
4
Có thể giảm nhu cầu tính toán bằng cách sử dụng giá trị vừa tính trước đó:
1
1
x = u +uk−2 +uk−3 +uk−4
Phép tính trên được gọi là thuật toán tính giá trị trung bình trượt, đặc trưng cho một khâu có
x = x + u −u
(
)
(
)
Vậy:
k−1
k−1
k
k−1
k
k−4
4
4
bản chất gián đoạn.
Ví dụ 1.3.2 Mô tả khâu có bản chất gián đoạn bằng hàm truyền đạt
Tiếp ví dụ 1.3.1:
1
1
1 1− z−4
−1
−4
⎡
⎤
x = x + u −u
⇒ X z = z X z + U z − z U z =
U z
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
k
k−1
k
k−4
⎢
⎥
⎦
−1
⎣
4
4
4
1− z
Thuật toán tính giá trung bình trượt có thể được mô tả bởi hàm truyền đạt sau:
1 1− z−4
X z
( )
G z =
=
( )
−1
U z
4
1− z
( )
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
6
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.3 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
1
G s =
Hãy tìm hàm truyền đạt của khâu tỷ lệ có quán tính bậc nhất (khâu PT1):
( )
1+ sT
1
•Từ ảnh G(s) ta tìm ảnh H(s) để sau đó tìm hàm gốc h(t)
Cách 1:
t
⎛
⎞
⎟
1
1
T
⎜
1
G s =
⇒ H s =
⇒ h t = 1−e ⎟1 t
( )
( )
( )
( )
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎠
1+ sT
s 1+ sT
(
)
1
1
−kT
z
z
T
hk =1kT −e
⇒ H z =
−
1
•Sau khi gián đoạn hóa hàm gốc h(t),
ta tìm ảnh z của tín hiệu gián đoạn hk:
( )
z−e−T T
1
z−1
1−e−T T
1
z−1
G z = 1− z−1 H z =1−
=
•Vậy hàm truyền đạt có dạng:
( )
( )
(
)
z−e−T T
z−e−T T
1
1
1
T
1
1
Cách 2:
•Có thể tách ảnh H(s) thành 2
phân thức tối giản:
1
H s =
= −
( )
1
s
s +
1
s s +
T
(
)
1
T
1
z
z
•Dễ dàng tìm ảnh z của H(s) bằng
cách tìm ảnh của từng phân thức
tối giản:
Ζ H s = H z =
−
( )
( )
{
}
z−e−T T
1
z−1
1−e−T T
1
⇒ G z = 1− z−1 H z =
( )
( )
(
)
z−e−T T
1
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
7
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Hãy tìm hàm truyền đạt trên miền ảnh z cho đối tượng sau:
x s
( )
K
G s =
=
T ≠ T2 …≠ Tm
S ( )
1
u s
1+ sT 1+ sT … 1+ sT
( ) (
1 )(
)
(
)
2
m
•Tách HS(s) thành các phân thức tối giản:
1 1
1
K
ꢀ
G s
S ( )
T T2 Tm
A
Am
A
A2
1
0
1
H s =
=
=
+
+
+ꢀ+
S ( )
⎛
⎞
⎛
⎜
⎞⎛
⎞
1
1
1
s
s
1
1
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜
s +
s +
s +
s s +
s +
… s +
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎜
⎜
⎝
⎜
⎜
T
T2
Tm
T
T2
Tm
1
1 ⎠⎝
m
m
⎛ ⎞
⎛
⎞
1
1
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
A = K; A = −K
− +
i =1, 2, …, m
∏
∏
0
i
⎜
⎟
⎟
T ⎟
T T ⎟
⎜
⎝
j=1; j≠i
j=1; j≠i
⎝ ⎠
⎠
j
i
j
•Chuyển HS(s) sang miền ảnh z:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
⎟
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
m
m
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
A
A
A
A
i
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
0
i
0
H s =
+
⇒ Ζ H s =
+
S ( )
( )
{
}
∑
∑
S
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1− z−1
T
1
−
s
i=1
i=1
⎜
⎜
⎝
T
−1
s +
i
1− z e
⎟
⎠
⎜
⎝
T
i
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
8
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.4 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
T
T
⎛
⎜
⎜
⎞
⎛
⎜
⎜
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
•Quy đồng mẫu số:
m
m
m
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Tj
T
−1
−1
A
1− z e
+
1− z−1 A
1− z e
i
(
)
⎜
⎜
∏
∑
∏
0
i
⎜
⎜
⎝
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎠
i=1
j=1; j≠i
i=1
G z = 1− z−1 Ζ H s =
S ( )
( )
{
}
(
)
S
T
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
m
−
⎜
T
−1
i
⎜
1− z e
⎜
∏
Nhận xét: Khi tăng dần T
•Giá trị các tham số ai nhỏ
dần.
⎟
⎟
⎠
i=1
•Ví dụ bằng số cụ thể: m = 3; K = 1; T1 = 10s; T2 = 7,5s; T3 = 5s
Bảng: Hệ số của GS(z) với các chu kỳ trích mẫu T khác nhau
•Giá trị các tham số bi tăng
dần.
T [s]
2
4
6
8
10
0,15867
12
0,22608
•Tổng ∑bi=1+∑ai tăng dần.
•Khi T lớn, ta có:
b1
0,00269
0,0186
0,05108
0,09896
b2
0,00926
0,00186
0,0486
0,0078
0,1086
0,17182
0,01746
0,22570
0,01813
0,26433
0,01672
a ꢂ1+ a ; b ꢂ b
và vì vậy có thể bỏ qua a3,
b3. Mô hình ban đầu thực
tế chỉ còn là mô hình bậc 2.
∑
∑
3
i
3
i
b3
0,01391
a1
-2,25498 -1,7063 -1,2993
1,68932 0,958 0,54723
-0,42035 -0,1767 -0,07427 -0,03122 -0,01312 -0,00552
0,01399 0,0750 0,17362 0,28824 0,40250 0,50712
-0,99538 -0,76681 -0,59381
a2
0,31484 0,18243 0,10645
a3
∑bi=1+∑ai
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
9
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng hàm
truyền đạt
Ví dụ xét khâu tỷ lệ có quán tính bậc 2 (khâu PT2), được điều khiển bởi tín hiệu vào có dạng
bậc thang. Đây là khâu liên tục mang tính điển hình. Để dễ so sánh, ta chọn đối tượng là động
cơ một chiều (ĐCMC), được điều khiển bởi điện áp nuôi ở phần ứng.
Gọi uA(t) là điện áp nuôi và n(t) là tốc độ quay, ĐCMC có mô hình trên miền ảnh Laplace sau:
N s
J
Mômen quán tính của các
khối gắn vào trục ĐCMC
( )
K
G s =
=
( )
1+ sTmech + s2TmechTel
U s
A ( )
ψ0 Từ thông (coi là const)
RA Điện trở mạch phần ứng
LA Điện cảm mạch phần ứng
c, k Các hằng số của ĐCMC
J RA
LA
RA
6
1
1
1
8
−1
Tmech
=
= sec; Tel =
= sec; K =
=
V sec
(
)
Với:
2
5
6
cψ0
ckψ0
1
•Sau khi thay số cụ thể, ta biết rằng khâu PT2
trên có thể được thay thế bởi 2 khâu PT1, với
T1 = 1sec và T2 = 0,2sec:
K
8
G s =
=
( )
6
1
1+ sT 1+ sT
1+ s + s2
(
1)(
)
2
5
5
G z = Ζ G s G s
⇔ G z = 1− z−1 Ζ H s
•Ta đã biết công thức:
S ( )
( ) ( )
S ( )
( )
{
}
{
}
(
)
H
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
10
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.5 (tiếp)
⎧
⎪
⎫
⎪
⎪
⎭
1
1
−1
⎪
⎨
⎪
⎪
⎬
⎪
G z = K 1− z Ζ
; K =
•Thay H(s) vào ta có:
S ( )
(
)
s 1+ sT 1+ sT
8
(
1)(
)
2
⎪
⎩
•Sau khi tách phân thức trong ngoặc {…} thành các phân thức tối giản và áp dụng công
thức (trang 17, mục 1.3.2b của giáo trình) ta có:
⎛
⎞
⎟
⎟
⎛
⎞
⎟
⎟
5
1
1
5
−5T
4
−T
−5T
−1
−T
−2
z + e − e +e−6T
z
⎜
⎜
1− e + e
⎜
⎜
⎟
⎠
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
⎝
1
8
4
4
4
G z = K
; K =
S ( )
1− e−T +e−5T z−1 +e−6T z−2
(
)
•Nếu chọn chu kỳ trích mẫu là T = 0,2 sec ta có hàm truyền đạt của ĐCMC trên miền
ảnh z sau đây:
0,00857z−1 +0,00575z−2
G z =
S ( )
1−1,18661z−1 +0,30119z−2
Dễ dàng kiểm tra kết quả trên bằng cách chọn tín hiệu vào U(z) = z/(z-1) để tìm đáp ứng
ra X(z) = GS(z) U(z). Sau đó, chuyển X(z) sang chuỗi số tại các thời điểm t = 0,2k (với
k = 0, 1, 2, …). Bằng cách đó có thể so sánh với tín hiệu x(t) trên miền gốc.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
11
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 Mô tả khâu có bản chất liên tục với tín hiệu vào bậc thang bằng mô
hình trạng thái gián đoạn
Ví dụ này sử dụng ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 để
minh họa phương thức mô tả bằng mô hình
trạng thái gián đoạn. Vì ĐCMC là đối tượng
SISO, mô hình có cấu trúc như hình bên.
•ĐCMC có thể được mô tả bởi phương trình vi phân bậc 2 (xuất phát điểm của khâu PT2 ở
••
•
ví dụ 1.3.5) sau đây:
a2 n+a1 n+a0n = uA
LA J
RA J
8
48
5
a2 =
= V sec3; a1 =
=
V sec2 ; a0 = cψ0 = 8V sec
Với:
kψ0
5
kψ0
•
⎧
⎪
•Các biến điều khiển và biến
trạng thái được chọn như sau:
•Mô hình trạng thái
có dạng bên:
⎪
q1 = q2
⎪
⎪
⎪
•
a0
a1
⎪
1
⎪
⎪
q = − q − q + u
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
2
1
2
⎧
q = n = x
⎪
a2
a2
a2
1
⎪
⎪
u = uA;
⎨
⎪
•
x = q
1
⎪q2 = n
⎪
⎩
⎩
⎪
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
12
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
•Có thể viết lại mô hình trạng thái dưới dạng ma trận:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎡ ⎤
0
1
0
⎢ ⎥
1
⎡ ⎤
•
0
⎧
⎪
⎢ ⎥
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎢ ⎥
0
1
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
q t = Aq t +bu t
T
( )
( )
( )
⎢ ⎥
với:
A =
=
; b =
= ; c = 1 0 ; d = 0
a0
a1
[
]
5
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
⎦
⎢ ⎥
−
−
a2
−5 −6
T
⎣
⎢
x t = c q t
⎢ ⎥
( )
( )
a2
a
8
⎢
⎥
⎦
⎢ ⎥
2
⎣ ⎦
⎪
⎩
⎣ ⎦
•Để tìm được phương trình chuyển trạng thái:
t
q t = Φ t −t q t + Φ t −ν b dν u t ; k = 0,1, 2, ꢀ
( )
(
k ) ( k )
(
)
( k )
∫
tk
ꢃꢄꢄꢄꢄꢄꢄꢄꢅꢄꢄꢄꢄꢄꢄꢄꢆ
h t−t
(
)
k
ta cần phải tìm được Φ(t) và h(t):
−1
Φ t = eAt = L−1 sI−A
•Có thể tìm ma trận chuyển trạng thái
bằng biến đổi Laplace ngược:
(
{
}
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
s −1
s +6 1
−5 s
1
−1
sI−A =
⇒ sI−A
=
(
)
(
)
•Từ:
5+6s + s2
5 s +6
5e−t −e−5t
e−t −e−5t
⎡
⎤
1
⎢
⎥
Φ t =
ta thu được:
( )
−t
−5t
⎢
⎥
−5e +5e
−e−t +5e−5t
4
⎢
⎥
⎦
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
13
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
ν=t
Ví dụ 1.3.6 (tiếp)
h t =
Φ t −ν b dν
( )
(
)
•Có thể tính tích phân
theo từng bước như sau:
∫
ν=0
−ϑ
t
⎡
⎤
⎡
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
1
4
5
1
−e−t + e−5t
5
−5ϑ
0
⎢
⎥
⎥
⎥
−e + e
1 5
4 8
5
⎢
thay ϑ = t −ν ⇒ h t = − Φ ϑ b dϑ =
=
( )
( )
5
∫
t
⎢
32
e−ϑ −e−5ϑ
e−t −e−5t
⎢
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
0
•Với T = tk+1 - tk ta có:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎤
4
5
1
5e−T −e−5T
e−T −e−5T
−e−T + e−5T
e−T −e−5T
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎡
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎡
⎤
⎥
⎥
q k +1
q k
⎥
⎥
⎥
(
)
1 ( )
1
4
5
1
⎢
⎢
=
+
u k
( )
5
−T
−5T
−5e +5e
−e−T +5e−5T
q k +1
q k
32
(
)
2 ( )
2
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎢
⎥
⎦
Ví dụ 1.3.7 Tìm hàm truyền đạt từ mô hình trạng thái gián đoạn cho trước
•Với mô hình:
Theo giáo trình (mục 1.3.2d) ta có:
⎧
⎪q = Φ T q +h T u
adj zI−Φ
k+1
xk = cT qk
k
k
(
G z = cT
h
⎪
⎨
⎪
( )
det zI−Φ
(
⎪
⎪
⎩
Giả sử, ĐCMC có mô hình trạng thái gián đoạn cho trước như kết quả của ví dụ 1.3.5. Hãy
tìm hàm truyền đạt gián đoạn của động cơ !
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
14
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
Bổ sung công thức: Ký hiệu adj(A) được gọi là ma trận bù của ma trận A. Ma trận bù adj(A)
có kích cỡ giống A, với các phần tử được tính theo công thức det(Aik) nhân với (-1)i+k. Trong
đó, Aik là ma trận thu được từ A sau khi bỏ hàng thứ i và cột thứ k của A.
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
a11 a12 ꢀ a1n
a21 a22 ꢀ a2n
A
A21 ꢀ An1
A22 ꢀ An2
ꢁ ꢇ ꢁ
11
A
12
A =
⇒ adj A =
( )
ꢁ
ꢁ ꢇ ꢁ
ꢁ
a
an2 ꢀ ann
A
A2n ꢀ Ann
⎢
⎣
⎥
⎦
⎢
⎣
⎥
⎦
n1
1n
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
a11 a12 ꢀ a1n
a21 a22 ꢀ a2n
A bỏ hàng thứ i
A = −1 i+k det A
Aik =
với:
( )
( )
ik
ik
ꢁ
n1
ꢁ ꢇ ꢁ
a
an2 ꢀ ann
⎢
⎥
⎦
A bỏ
cột thứ k
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
15
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
5
1
1
1
−T
−5T
Ví dụ 1.3.7 (tiếp)
z− e + e
− e−T + e−5T
4
4
4
4
5
zI−Φ =
•Với:
5
4
5
1
e−T − e−5T
z + e−T − e−5T
4
4
4
⎢
⎥
⎦
2
−T
−5T
+e−6T = z−e−T z−e−5T
⎧
⎪
det zI−Φ = z − e +e
⎪
ta tính được:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1
5
1
4
1
−T
−5T
e−T − e−5T
⎪
⎪
z + e − e
⇒
⎨
⎪
4
4
4
adj zI−Φ =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(
)
5
5
5
1
− e−T + e−5T
z− e−T + e−5T
4
4
4
4
⎢
⎥
⎦
⎪
⎩
•Với:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
4
5
1
−e−T + e−5T
e−T −e−5T
5
cT = 1 0 ; h T =
[
] ( )
5
32
Dễ dàng kiểm tra sau khi thay vào:
⎢
⎥
⎦
T
⎡
⎤
ta tính đa thức tử số của hàm truyền đạt:
c adj zI−Φ h
⎣
⎦
T
⎡
⎤
c adj zI−Φ h =
det zI−Φ
⎣
⎦
⎡
⎤
⎥
Ta sẽ thu được hàm truyền đạt GS(z)
đúng như ví dụ 1.3.5.
⎛
⎞
1
5
1
1
5
−T
−5T
−T
−5T
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜
⎢
1− e + e
z + e − e
4 4
+e−6T
⎜
⎜
⎢
⎥
⎦
⎝
8
4
4
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
16
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 Mô tả hệ trong khoảng giữa 2 thời điểm trích mẫu bằng
phép biến đổi z mở rộng
•ĐCMC ở ví dụ 1.3.5 được nuôi bởi điện áp dạng bậc thang với ảnh Laplace:
5 8
G s = G s G s = 1−e−sT
S ( )
H ( ) ( )
(
s s +1 s +5
(
)(
•Tra bảng biến đổi z mở rộng ta có công thức:
⎡
⎢
⎤
⎥
⎥
⎦
1
1
z
b z e−aTε
a z e−bTε
⇔
+
−
−aT
−bT
⎢
s s + a s +b
ab z−1 a−b
a−b
z−e
z−e
)
•Áp dụng vào trường hợp ĐCMC ta thu được kết quả:
2
z 1−1,25e−0,2ε +0,25e−ε − z 1,18661−1,70985e−0,2ε +0,45468e−ε
⎡
⎢
⎢
⎢
⎤
⎥
⎥
⎥
+ 0,30119−0,45985e−0,2ε +0,20468e−ε
(
)
1
8
⎢
⎥
⎦
⎣
G z,ε =
S ( )
z−0,81873 z−0,36788
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
17
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.8 (tiếp)
•Để kiểm tra ta thay giá trị biên ε = 0 vào và thu được hàm truyền đạt ở ví dụ 1.3.5
0,00857z +0,00575
G z =
S ( )
z−0,81873 z−0,36788
•Với ảnh z mở rộng của hàm truyền đạt tổng quát:
X z,ε = G z,ε U z
S
ta có một công cụ để khảo sát các giá trị nằm trong khoảng giữa hai thời điểm trích mẫu
•Ví dụ: Khi tín hiệu vào có dạng bước nhẩy U z = z z−1 và ε = 0,5 (chính giữa k và k+1)
( )
(
)
2
⎡
⎤
0,002573z −0,010595z +0,001156
z
⎢
⎥
⎦
⎣
X z, 1 =
ta có:
( )
2
z−1
z−0,81873 z−0,36788
•Khi áp dụng phép biến đổi z ngược ta thu được tín hiệu số, cho phép tính giá trị của
chuỗi [xk+½], trùng với các giá trị của x(t) ở chính giữa hai thời điểm trích mẫu.
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
18
1. Mô hình tín hiệu và hệ thống
1.3 Mô hình hệ thống trên miền ảnh z
Ví dụ 1.3.9 Mô tả hệ gián đoạn có trễ khi tín hiệu vào có dạng bậc thang
•Hãy tìm hàm truyền đạt Gd(z) của hệ có trễ ở hình dưới đây khi KS = 1, TS = 1sec:
⎧
⎪
⎪
⎩
⎫
⎪
1
e−sT
−sT
⎪
⎪
⎬
⎪
d
G z = Ζ 1−e
d ( )
•Công thức tổng quát tính Gd(z):
a) Khi d = Td/T là số nguyên lần:
⎨
(
)
⎪
s 1+ s
(
)
⎪
⎭
1−e−1 z−3
0,6321z−1
⎧
⎪
⎫
⎪
⎪
⎬
(
1
−1 −2
−1 −2
z−2
⎪
⎨
⎪
G z = 1− z z Ζ
= 1− z z H z =
=
d ( )
( )
(
)
(
)
1−e−1z−1
1−0,3679z−1
⎪
s 1+ s
)
⎪
⎪
⎩
⎭
b) Khi d = Td/T không phải là số nguyên lần: Phải sử dụng phép biến đổi z mở rộng. Giả sử ta
có T = 1sec và Td = 1,6 sec → Vậy: Td = (dT - εT) với d = 2 và ε = 0,4
1−e−0,4 z−2 + e−0,4 −e−1 z−3
0,3297+0,3024z−1
(
)
(
)
G z = 1− z−1 z−2H z;0,4 =
=
z−2
d ( )
(
)
(
)
1−e−1z−1
1−0,3679z−1
Chú ý: Việc tìm ảnh z (có hay không có mở rộng) được tiến hành với sự trợ giúp của bảng
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
19
2. ĐK có phản hồi đầu ra
2.1 Xét ổn định của hệ thống ĐK số
z−1
1+ w
Ví dụ 2.1.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương
Ví dụ a):
w =
→ z =
z +1
1−w
N z = z2 + a z + a
•Cho trước đa thức đặc tính bên:
1
2
2
⎛
⎜
⎜
⎞
⎛
⎜
⎜
⎞
1+ w
1+ w
1+ w
1− w
⎟
⎟
⎟
⎠
⎟
⎟
⎟
⎠
N w =
1( )
+ a
+ a
•Thay z =
vào N(z) thu được N1(w):
1
2
⎜
⎜
⎝
⎝
1−w
1−w
2
2
•Nhân N1(w) với (1-w)2 thu được N2(w):
2 ( ) (
)
(
)(
(
)
)
(
)
N w = 1+ w + a 1+ w 1− w + a 1− w
1
2
= 1−a + a w2 + 2 1−a w+ 1+ a + a
(
)
(
)
1
2
2
1
2
1−a1 + a 2 > 0; a2 <1;1+ a1 + a2 > 0
Tiêu chuẩn HURWITZ -Điều kiện 1:
-Điều kiện 2: Các định thức HURWITZ phải dương
B z−1
Ví dụ b): Dùng phép biến đổi ở trên
để xét ổn định cho vòng ĐC với:
b z−1 +b2z−2
)
)
1
G z =
=
; G z = K
S ( )
R ( )
1+ a1z−1 + a2z−2
A z−1
(
N z = A z−1 + K B z−1 = 0 ⇒ z2 + a +b K z + a +b K = 0
•Phương trình đặc tính:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
)
1
1
2
2
⎧
⎪
K < 1−a b2
(
)
2
•Sau khi tìm được N2(w) và
áp dụng cả 2 điều kiện:
⎪
⎪
⎪
⎨
Giả sử: b1=0,1087; b2=0,0729;
a1= -1,1197; a2=0,3012
Vậy: K<9,58; K<67,62; K>-1
K > a −a −1 b −b
(
) (
1
2
2
1
⎪
⎪
⎪
⎪
K >− 1+ a + a
b +b
2
1
2
1
⎪
⎩
21 August 2011
Hon.-Prof. Prof. Dr.-Ing. habil. Ng. Ph. Quang ĐHBK Hà Nội
20
Tải về để xem bản đầy đủ
48 trang
16700
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Điều khiển số - Các ví dụ - Nguyễn Phùng Quang", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_dieu_khien_so_cac_vi_du_nguyen_phung_quang.pdf
