Tài liệu Phương trình Schrodinger và ứng dụng

PHÖÔNG TRÌNH SCHRODINGER VAØ ÖÙNG DUÏNG

Haøm soùng vaø yù nghóa thoáng keâ cuûa noù

• Vaän ñoäng cuûa haït vaø vi heä (taäp hôïp haït) luoân tuaân theo quy luaät thoáng keâ

• Traïng thaùi cuûa vi haït, vi heä ñöôïc moâ taû bôûi moät haøm soùng

cho pheùp xaùc ñònh xaùc xuaát tìm haït, vi heä taïi moät traïng thaùi xaùc ñònh

• Ñoái vôùi chuyeån ñoäng töï do (theá naêng baèng khoâng):

, haøm naøy

trong ñoù bieân ñoä ñöôïc xaùc ñònh:

chính laø maät ñoä xaùc xuaát (xaùc xuaát tìm thaáy haït, vi heä trong ñôn vò theå tích)

• Ñoái vôùi nhöõng heä chuyeån ñoäng trong tröôøng theá haøm

raát phöùc taïp phuï

thuoäc vaøo caùc bieán soá toaï ñoä vaø thôøi gian:

• Toùm laïi traïng thaùi cuûa vi heä, vi haït ñöôïc moâ taû bôûi haøm soùng

vaø

moâ maät ñoä xaùc xuaát tìm thaáy vi haït, vi heä ôû traïng thaùi ñoù

1

Phöông trình schrodinger vaø öùng duïng

• Ñoái vôùi vi heä (vi haït) chuyeån ñoäng trong moät tröôøng löïc theá

haøm soùng

coù daïng

W- laø naêng löôïng cuûa vi heä (vi haït);

laø phaàn phuï thuoäc toaï ñoä

khoâng gian cuûa haøm soùng vaø laø nghieäm cuûa phöông trình:

(*)

• phöông trình (*) chính laø phöông trình Schrodinger, trong ñoù

laø toaùn töû

Laplace

Nghieäm cuûa phöông trình Schrodinger:

• Neáu bieát daïng cuï theå cuûa haøm U(r) ta coù theå giaûi ñöôïc phöông trình treân

Nghieäm cuûa phöông trình laø haøm

vaø W: xaùc ñònh traïng thaùi vaø naêng löôïng

cuûa vi heä (vi haït) trong tröôøng theá naêng

Khi U(r)=0 ta thu ñöôïc nghieäm theå hieän traïng thaùi vaø naêng löôïng cuûa vi heä (vi

haït) chuyeån ñoäng töï do

2

Öùng duïng cuûa phöông trình Schrodinger:

Phöông trình Schrodinger ñöôïc öùng duïng roäng raûi ñeå xaùc ñònh traïng thaùi vaø naêng

löôïng cuûa vi heä vaø haït vi moâ: traïng thaùi vaø naêng löôïng cuûa ñieän töû töï do, ñieän töû

trong tröôøng tuaàn hoaøn cuûa maïng tinh theå, cuûa dao ñoäng töû, quay töû, ñeå giaûi thích

hieäu öùng ñöôøng haàm…. Xeùt moät vaøi ví duï öùng duïng trong caùc phöông phaùp phaân

tích vaät lyù vaø hoaù lyù

• Xaùc ñònh traïng thaùi vaø naêng löôïng cuûa dao töû ñieàu hoaø löôïng töû:

- dao töû chuyeån ñoäng theo phöông X trong tröôøng theá naêng

vaø do ñoù

ñöôïc goïi laø dao töû ñieàu hoaø (dao ñoäng cuûa ioân quanh nuùt maïng, dao ñoäng cuûa

nguyeân töû trong phaân töû…)

- phöông trình Schrodinger ñoái vôùi dao töû ñieàu hoaø coù daïng:

- giaûi phöông trình naøy ta thu ñöôïc:

n laø soá löôïng töû dao ñoäng

3

khi n=o

nghóa laø khi khoâng bò kích thích dao töû vaãn dao ñoäng

- ñöôïc öùng duïng ñeå giaûi baûi toaùn phoå hoàng ngoaïi dao ñoäng trong phaàn phoå

hoàng ngoaïi

-

Xaùc ñònh traïng thaùi vaø naêng löôïng cuûa quay töû:

-quay töû laø moät vi haït chuyeån ñoäng töï dotreân moät maët caàu xaùc ñònh

-theá naêng V(r)=V(a)=0 (a-baùn kính maët caàu) do maët caàu laø goác theá naêng

- phöông trình Schrodinger ñoái vôùi quay töû laø:

nghieäm cuûa phöông trình coù daïng:

l- laø soá löôïng töû quay. l=0 phaân töû khoâng bò kích thích quay do W=0

- nghieäm cuûa phöông trình ñöôïc öùng duïng tröïc tieáp vaøo nghieân cöùu phoå cuûa

nguyeân töû hai phaân töû, lyù thuyeát veà nguyeân töû hydro…

Giaûi baøi toaùn vaø giaûi thích hieän töôïng xuyeân haàm ñieän töû:

- xeùt moät raøo theá naêng nhö hình döoùi ñaây

4

haït mang naêng löôïng W chuyeån ñoäng theo phöông X töø traùi qua phaûi ñaäp vaøo

haøng raøo theá naêng

5

- heä soá truyeàn qua haøng raøo

- töø caùc ñieàu kieän bieân:

ta tìm ñöôïc

6

töø bieåu thöùc naøy ta thaáy raèng maëc duø W<U₀nhöng D vaãn luoân khaùc khoâng nghóa

laø haït vaãn coù theå xuyeân raøo.

- D caøng lôùn khi W caøng lôùn, khi cung caáp cho ñieän töû naêng löôïng (baèng moät ñieän

tröôøng chaúng haïn) D se caøng lôùn phuï thuoäc vaøo traïng thaùi tröôùc ñoù (W cuûa ñieän

töû). Ñaây laø nguyeân lyù chính trong kính hieån vi ñieän töû xuyeân haàm.

Toùm laïi, phöông trình Schrodinger giuùp ích raát nhieàu trong vieäc giaûi thích cuõng

nhö giaûi nhöõng baøi toaùn phöùc taïp cuûa moät vi heä (goàm moät hay nhieàu vi haït).

Nghieäm cuûa phöông trình cho bieát traïng thaùi vaø naêng löôïng cuûa vi heä.

7

PHAÂN LOAÏI PHOÅ THEO BÖÔÙC SOÙNG

- Vuøng tia X vaø tia

öùng vôùi phöông phaùp phaân tích phoå tia X vaø tia

- Vuøng Laiman: 50 – 1200 . Khoâng coù yù nghóa vôùi vaät lieäu höõu cô

- Vuøng Suman: 1200 – 1850 , duøng vaät lieäu quang hoïc laø CaF₂, öùng duïng ñeå

nghieân cöùu caùc hôïp chaát hoaù hoïc

- Vuøng UV- vuøng töû ngoaïi: 1850 – 4000 vuøng phoå töû ngoaïi (phoå UV), duøng

vaät lieäu quang hoïc la thaïch anh

8

- Vuøng khaû kieán: 4000 – 7000 (0,4-0,7

) : phoå khaû kieán, phoå phaùt xaï,

huyønh quang

- Vuøng hoàng ngoaïi gaàn: 0,8 – 50

phoå dao ñoäng

- Vuøng hoàng ngoaïi xa: 50

- 2mm: phoå quay

- Vuøng soùng radio vaø viba: phoå coäng höôûng töø

CAÙC KIEÅU CAÁU TRUÙC CÔ BAÛN

---

Döïa vaøo ñaëc ñieåm phaân boá khoaûng caùch caùc phaàn töû caáu truùc trong caáu truùc

ngöôøi ta chia tinh theå ra laøm caùc loaïi sau

- Caáu truùc khung: khoaûng caùch töông ñoái baèng nhau trong toaøn boä caáu truùc

- Caáu truùc lôùp: khoaûng caùch baèng nhau trong töøng lôùp

- Caáu truùc maïch: khoaûng caùch baèng nhau trong töøng maïch

- Caáu truùc ñaûo: khoaûng caùch baèng nhau trong töøng nhoùm nguyeân töû

CAÁU TRUÙC KHUNG

- Ñaëc ñieåm chung: hình thaønh treân cô sôû quy luaät xeáp caàu, caùc phaàn töû caáu

truùc caùc nhau nhöõng khoaûng töông ñoái ñoàng ñeàu neân caùc hình phoái trí khaù

ñeàu ñaën

- Caùc kieåu caáu truùc laäp phöông A₁– fcc (Cu, Au, Ag, Pb, Al.. vaø moät soá hôïp

kim khaùc) hay A₃– hcp (Mg, Be, Zn, Cd, Y… moät soá hôïp kim khaùc) hay A₁–

bcc ( -Fe, K, Rb, Cs, Ba… moät soá hôïp kim khaùc)ö3

9

caáu truùc daïng hcp – A₃

10

caáu truùc daïng A₁- fcc

Caáu truùc daïng A₂

- Caáu truùc kim cöông: A₄- caùc nguyeân toá coù truùc kieåu kim cöông

, Si, Ge,

11

- Caáu truùc NaCl: B₁- caùc oxit nhu8 TiO, VO, MgO, NbO coù caáu truùc B₁

- Caáu truùc cuûa CsCl: kieåu B₂- caùc chaát coù caáu truùc B₂: CsBr, CsI, NH₄Cl,

CuZn, AnZn

- Caáu truùc Sfalerit

: kieåu B₃- caùc chaát coù caáu truùc kieåu B₃caùc

halogenid Cu, AgI…

12

- Caáu truùc Vuazit (Wurzit)

: caùc chaát coù daïng caáu

truùc naøy: BeO, NH₄F, CdS, ZnO, MgTe,CdSe

goàm hai maïng saùu phöông xeáp chaët loàng vaøo nhau vaø caùch nhau moät ñoaïn baèng

3/8 c

- Caáu truùc Nikelin-NiAs: thuoäc kieåu caáu truùc naøy coù MnAs, TiSb, CrSb, MnSb,

FeSb, NiSb, NiBi, MnBi…

coù theå hình dung caáu truùc nhö hai khoái laêng truï saùu phöông choàng leân nhau. Caùc

nguyeân töû kim loaïi name ôû ñænh laêng truï vaø taâm cuûa caùc maët ñaùy. Neáu chia oâ

13

maïng laøm 6 laêng truï 3 phöông thì caùc nguyeân töû aù kim naèm ôû taâm cuûa caùc laêng

truï 3 phöông ñoù, 3 nguyeân töû naèm ôû treân vaø 3 nguyeân töû naèm ôû döôùi.

Caáu truùc cuûa CaF₂– kieåu C₁: caùc florua cuûa Sn, Ba, Ra, Pb, Cd, Hg… ñeàu

-

thuoäc daïng C₁

goàm 3 oâ maïng laäp phöông loàng vaøo nhau. Maïng thöù nhaát cuûa Ca coù nuùt ñaàu laø

[[000]], maïng thöù hai vôùi toaï ñoä nuùt ñaàu

vaø maïng thöù 3 coù toaï ñoä nuùt ñaàu

laø

laø vò trí cuûa caùc nguyeân töû Cl

- Caáu truùc kieåu peroâpskit- CaTiO₃:

14

Ñaëc tröng cho moät soá hôïp chaát coù coâng thöùc ABX₃

X= oxy

Loaïi 1

A laø cation hoaù trò hai nhö: Ca, Sr, Ba, Cd, Pb

B laø caùc cation hoaù trò boán nhö: Ti, Th, Zr, Hf, Sn, Ge

Loaïi 2

Caùc cation ñeàu coù hoaù trò 3 nhö: LaAlO₃, La(Cr, Fe, Ga, Mn)O₃

Loaïi 3

A hoaù trò moät vaø B hoaù trò naêm: NaCrO₃, NaWO₃, NaTaO₃, (Li, Na,K)NbO₃

- Caáu truùc cuûa cristobalit:

caùc ioân Si taïo thaønh maïng kieåu kieu kim cöông vaø ñöôïc vaây quanh bôûi 4 ioân

oxy

15

- Caáu truùc spinel

-

CAÁU TRUÙC LÔÙP

16

- Ñoái vôùi daïng caáu truùc naøy quy luaät xeáp caàu chæ theå hieän trong töøng lôùp.

Khoaûng caùch giöõa nhöõng phaàn töû caáu truùc trong töøng lôùp nhoû hôn haún so

vôùi khoaûng caùch giöûa hai phaàn töû khaùc lôùp

- Moät soá chaát coù daïng caáu truùc lôùp ñieån hình: graphit, caáu truùc As, CaI₂,

CdCl₂, molipdenit MoS₂, moät soá khoaùng silicat nhö mica, pyrophyllit

- Caáu truùc cuûa graphit: caáu truùc daïng naøy: BN

- Caáu truùc cuûa As: caùc nguyeân töû As trong moãi lôùp phaân boá treân hai maët

phaúng song song nhau, laøm thaønh moät lôùp keùp, chöùa hai taàng, moãi nguyeân

töû coù 3 nguyeân töû naèm keà ôû taàng treân

CAÁU TRUÙC MAÏCH

17

Trong caáu truùc naøy löïc lieân keát caùc phaàn töû caáu truùc trong moät maïch maïnh hôn

haún so vôùi löïc gaén keát caùc maïch vôùi nhau

- Caáu truùc cuûa Se vaø Te:

Caùc ñôn chaát nhö selen vaø telua caáu taïo töø nhöõng maïch xoaén keùo daøi theo moät

höôùng

- Caáu truùc cuûa rutin TiO₂:

Caùc ioân Ti taïo thaønh oâ maïng boán phöông, caùc ioân Ti naèm ôû ñænh vaø taâm cuûa oâ

maïng. Moãi ioân Ti naèm giöõa 6 ioân oxy taïo hình phoái trí 8 maët. Qua caïnh chung caùc

hình 8 maët naøy keùo daøi theo truïc ñoái xöùng baäc 4. vì theá tinh theå rutin coù daïng

hình laêng truï hoaëc hình kim

18

- Caáu truùcWallatonite : moät khoaùng silicat cuõng coù daïng maïch, seõ ñöôïc xem

xeùt ôû phaàn sau.

CAÁU TRUÙC ÑAÛO

- Trong kieåu caáu truùc naøy , caùc nguyeân töû thöôøng taäp hôïp thaønh töøng nhoùm

bieät laäp goïi laø phaân töû. Löïc lieân keát caùc nguyeân töû aáy thaønh phaân töû

(thöôøng laø lieân keát ñoàng hoaù trò) thöôøng maïnh hôn raát nhieàu löïc lieân keát

caùc phaân töû thaønh tinh theå (thöôøng laø löïc van der Waals). Caùc nguyeân töû

trong phaân töû caùch nhau moät khoaûng ngaén hôn nhieàu so vôùi nhöõng phaân töû

- Caùc phaân töû coù theå goàm 2 nguyeân töû, 3 nguyeân töû: CO₂, H₂0, F₂O, H₂S, 4

nguyeân töû nhö NH₃, PH₃, BF₃, BCl₃, 5 nguyeân töû nhö CH₄, CCl₄, SiCl₄…,hoaëc

nhieàu hôn nhö S taïo thaønh phaân töû goàm 8 nguyeân töû…

- Caùc phaân töû coù xu höôùng taäp hôïp theo quy luaät xeáp caàu lyù töôûng

tinh theå I₂maïng tröïc thoi taâm dieän

19

Taùm nguyeân töû löu hình saép xeáp treân hai maët phaúng song song taïo thaønh phaân töû

S₈daïng voøng hai taàng. Nhöûng phaân töø naøy choàng thaønh daõy doïc ñöôøng cheùo , maët

ñaùy, caùc daõy laïi saép xeáp song song vôùi nhau taïo thaønh taàng.

tinh theå CO₂

20