Giáo trình Thủy lực môi trường - Chương 3: Đông học

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

CHÖÔNG

I. HAI PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT

(J.L de Lagrange, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Phaùp,1736-1883)

1. Phöông phaùp Lagrange

2

⎧

d x

dx

dt

dy

dt

dz

dt

⎧

a =

⎪

x

u_x=

2

⎪

dt

x = x(x ,y ,z ,t)

⎧

⎪

G

0

G

2

G

⎪

2

G

dr

⎪

G

d y

du d r

u = ⇔ u =

r =f(r ,t) ⇔ y = x(x ,y ,z ,t)

a =

=

⇔ a =

⎨

y

0

y

2

dt

⎪

z = x(x₀,y₀,z₀,t)

⎩

⎪

2

d z

u_z=

⎪

⎩

a =

z

2

⎪

dt

⎩

Quyõ ñaïo

r(x, y, z)

z

¾Trong phöông phaùp Lagrage , caùc yeáu toá chuyeån

ñoäng chæ phuï thuoäc vaøo thôøi gian , VD: u = at²+b

y

2. Phöông phaùp Euler

(L. Euler, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Thuïy Só, 1707-1783)

r₀(x₀, y₀, z₀)

x

⎧

u_x= u_x(x,y,z,t)

G G

u = u(x,y,z,t) ⇔

⎪

⎨

u = u (x,y,z,t)

⎪

y

Caùc ñöôøng doøng taïi thôøi ñieåm t

u = u_z(x,y,z,t)

⎩ ^z

dx

u _x

dy

u _y

dz

u _z

=

¾Phöông trình ñöôøng doøng:

(x,y,z)

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 1

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 1a: u_x=3x²; u_y=-6xy; u_z=0

dx

dy

Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng:

=

3x²− 6xy

Chuyeån caùc soá haïng coù bieán x veà veá traùi, bieán y veà veá phaûi:

2xdx

x²

dy

2dx

x

dy

=

⇔

=

− y

2dx

dy

=

Tích phaân hai veá:

∫

x

− y

⇔ 2 ln( x) = − ln( y) + ln C ⇔ x²y = C

Vaäy phöông trình ñöôøng doøng coù daïng: x²y = C

u_x=x²y+2x; u_y=-(y²x+2y);

Ví duï 1b:

dx

x ²y + 2x

dy

=

Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng:

2

− (xy + 2y )

Trong tröôøng hôïp naøy ta khoâng theå chuyeån caùc soá haïng coù cuøng bieán x, y veà

cuøng moät phía, neân khoâng theå laáy tích phaân hai veá ñöôïc, ta seõ giaûi baøi toaùn naøy

sau trong chöông theá löu

II. CAÙC KHAÙI NIEÄM THÖÔØNG DUØNG

oáng doøng

dA

1. Ñöôøng doøng, doøng nguyeân toá

P

2. Dieän tích maët caét öôùt A,

Chu vi öôùt P,

A

Baùn kính thuûy löïc R=A/P

Doøng tia

Doøng khoâng

aùp

Doøng coù aùp

3. Löu löôïng Q,

Vaän toác trung bình m/ caét

öôùt V:

u

Q = u_ndA =

udA

Am/c.uot

A_{baát kyø}

∫

Abatky

A_{m/c öôùtø}

Q

V =

A

Nhận xeùt: Löu löôïng chính laø theå tích

cuûa bieåu ñoà phaân boá vaän toác :

Bieåu ñoà phaân boá vaän toác

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 2

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

III. PHAÂN LOAÏI CHUYEÅN ÑOÄNG:

1. Theo ma saùt nhôùt:

Chuyeån ñoäng chaát loûng lyù töôûng, : khoâng coù ma saùt

F_quantinh

Chuyeån ñoäng chaát loûng thöïc: coù ma saùt -Re =

F_masat

Re=VD/ν=V4R/ν:taàng(Re<2300) - roái (Re>2300)

2. Theo thôøi gian:

3 Theo khoâng gian:

oån ñònh-khoâng oån ñònh.

ñeàu-khoâng ñeàu.

4 Theo tính neùn ñöôïc: soá Mach M=u/a

a: vaän toác truyeàn aâm; u:vaän toác phaàn töû löu chaát

döôùi aâm thanh (M<1)

treân aâm thanh (M>1)

-

ngang aâm thanh (M=1)

sieâu aâm thanh (M>>1)

¾Thí nghieäm Reynolds

IV. GIA TOÁC PHAÀN TÖÛ LÖU CHAÁT :

du_x∂u_x

∂u_x

∂x

∂u_x

∂y

∂u_x

∂z

•Theo Euler:

a_x=

a_y=

a_z=

=

+ u_x

+ u_y

+ u_z

dt

∂t

du_y∂u_y

∂u_y

∂x

∂u_y

∂y

∂u_y

∂z

=

dt

du_z

dt

∂t

∂u_z

∂t

∂u_z

=

+ u_x

+ u_y

+ u_z

∂x

∂y

∂z

N

ꢂꢀꢀꢀꢀ ꢀꢀꢀꢀꢁ

t.ph.cuïc-boä

thaønhphaànñoáilöu

•Theo Lagrange:

G

d u

∂u

u = u ( x ₀, y ₀, z ₀, t ) ⇒ a =

=

dt

∂t

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 3

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

V. PHAÂN TÍCH CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT:

Trong heä truïc toaï ñoä O(x,y,z), xeùt vaän toác cuûa hai ñieåm M(x,y,z) vaø

M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai ñieåm raát saùt nhau, neân ta coù:

∂u _x

∂x

∂u _x

∂y

∂u _x

∂z

u _x1= u _x+

u _y1= u _y+

u _z1= u _z+

dx +

dy +

dz

∂u _y

∂x

∂u _y

∂y

∂u _y

∂z

∂u _z

∂x

∂u _z

∂y

∂u _z

∂z

dz

vaän toác chuyeån

ñoäng tònh tieán

vaän toác bieán

daïng daøi

vaän toác bieán daïng goùc

vaø vaän toác quay

¾Ñònh lyù Hemholtz

1. Tònh tieán

2. Quay

G

⎛

⎜

⎞

⎟

i

j

k

Chuyeån

ñoäng

G

1

G

1

∂

Vaän toác

quay:

⎜

⎟

=

ω = Rotu

2

2 ∂x ∂y ∂z

⎜

⎟

⎠

u_xu_yu_z

⎝

3. Bieán daïng

Bieán daïng goùc

Bieán daïng daøi

Suaát bieán daïng goùc

Suaát bieán daïng daøi

∂u_y

∂z

⎛

⎞

1 ∂u_z

∂u _y

∂z

⎛

⎞

1 ∂u _z

∂ u

∂ x

∂ u

⎜

⎟

ω_x=

−

x

⎜

⎟

ε _zy= ε _yz

=

+

ε

=

2

∂y

xx

yy

⎝

⎠

2

∂y

⎝

⎠

1 ∂u

∂u_z

∂x

⎛

⎞

⎟

x

y

ω_y=

ω_z=

−

⎜

1 ∂u

∂u _z

∂x

⎛

⎞

x

2

∂z

ε _xz= ε _zx

+

⎜

⎟

⎠

⎝

⎠

⎞

∂ y

∂ u

∂ z

2

∂z

⎝

∂u

⎛

1

∂u_x

∂y

y

⎜

⎟

z

∂u

⎛

⎞

1

∂u _x

∂y

y

ε

=

2

∂x

⎝

⎠

zz

⎜

⎟

ε _xy= ε _yx

=

2

∂x

⎝

⎠

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 4

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

•Chuyeån ñoäng quay cuûa phaàn töû löu chaát:

x

∂u_x/∂ydyΔ

t

∂u

∂y

⎛

⎜

∂u_y

∂x

⎞

⎟

^xdyΔt

−

dxΔt

α+β 1

2 Δt

1

u_xΔt

⎜

⎟

ω=−

=−

+

2Δt

dy

dx

α

∂u_y/∂xdxΔ

⎜

⎟

⎝

⎠

t

β

∂u

⎛

⎞

1

∂u_x

1

y

⎜

⎟

=

−

= rotu

u_yΔt

z

dy

2 ∂x ∂y

2

+

⎝

⎠

y

dx

G

chuyeån ñoäng khoâng quay (theá)

chuyeån ñoäng quay

rot (u ) = 0

G

rot(u) ≠ 0

Ví duï 2: Xaùc ñònh ñöôøng doøng cuûa moät doøng chaûy coù : u_x= 2y vaø u_y= 4x

dx dy

=

u_xu_y

dx dy

=

2y 4x

4xdx = 2ydy

2xdx = ydy

2

⎛

⎞

x

y²

⎜

⎟

2

=

+ C

⎜

2

⎝

⎠

2x²− y²= C

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 5

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 3:

Doøng chaûy qua moät ñoaïn oáng thu heïp daàn vôùi vaän

toác doøng vaøo vaø ra laàn löôït laø 10 m/s vaø 50 m/s.

Chieàu daøi cuûa oáng laø 0,5m

Giaû thieát doøng moät chieàu, vaø vaän toác bieán ñoåi

tuyeán tính doïc theo truïc ngang cuûa oáng.

Haõy tìm quy luaät bieán thieân cuûa vaän toác vaø gia toác theo

truïc oáng. Töø ñoù suy ra gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra cuûa

voøi

Lôøi Giaûi:

Quy luaät bieán thieân vaän toác tuyeán tính doïc theo truïc oáng:

u = ax + b.

a, b laø haèng soá

Choïn truïc x nhö hình veõ, vôùi goác “0” ôû ñaàu oáng, ta coù

taïi x=0, u =10 m/s; taïi x=0,5m, u = 50 m/s. Theá caù ñieàu

kieän treân vaøo ta suy ra ñöôïc a=80; b=10. Suy ra quy

luaät bieán thieân vaän toác doïc theo truïc x laø:

u = (80x + 10) m/s

Töø ñoù suy ra quy luaät bieán thieân gia toác nhö sau:

Theá giaù trò x=0 vaø x=0,5 vaøo ta suy ra ñöôïc gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra

cuûa oáng laàn löôït laø: 800 m/s²vaø 4000m/s².

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 6

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

VI ÑÒNH LYÙ VAÄN TAÛI REYNOLDS- PHÖÔNG PHAÙP THEÅ TÍCH KIEÅM SOAÙT

1. Theå tích kieåm soaùt, vaø ñaïi löôïng nghieân cöùu:

Xeùt theå tích W trong khoâng gian löu chaát chuyeån ñoäng. W coù dieän tích bao

quanh laø A. Ta nghieân cöùu ñaïi löôïng X naøo ñoù cuûa doøng löu chaát chuyeån

ñoäng qua khoâng gian naøy. Ñaïi löôïng X cuûa löu chaát trong khoâng gian W

CV

ñöôïc tính baèng:

A

kρdW

^{X =}∫∫∫_W

u

dw

W

W: theå tích kieåm soaùt

X : Ñaïi löôïng caàn nghieân cöùu

k : Ñaïi löôïng ñôn vò ( ñaïi löôïng X treân 1 ñôn vò khoái löôïng)

^{X =}∫∫∫^ρdW

Ví duï: X laø khoái löôïng: k=1 ;

W

G

K

k = u

X laø ñoäng naêng: k=u²/2 ;

uρdW

^{X =}∫∫∫

X laø ñoäng löôïng:

W

u ²

ρdW

^{X =}∫∫∫

2

W

. Ñònh lyù vaän taûi Reynolds- phöông phaùp theå tích kieåm soaùt:

¾Nghieân cöùu söï bieán thieân cuûa ñaïi löôïng X theo thôøi gian khi doøng chaûy qua W

Dieän tích

dX ∂X

=

kρu_ndA

⁺∫∫

Dieän tích

A₂

dt

∂t

W

A

A₁

C

A

B

n

Taïi t: löu chaát vaøo chieám ñaày theå tích

kieåm soaùt W.

Taïi t+Δt: löu chaát töø W chuyeån ñoäng

ñeán vaø chieám khoaûng khoâng gian W1.

W₁

W

t+Δt

t

X −X

W

dX

dt

ΔX

Δt

X

−X

(X

+ X

)−(X + X )

Δt

1

t+Δt

t

B

C

A

B

= lim

Δt

Δt→0

t+Δt

t

t+Δt

(X

+ X

) −(X + X )

X

− X

A

Δt

B

A

B

C

= lim

+ lim

Δt

Δt→0

t+Δt

t

t+Δt

X

− X

X

− X

Δt

W

C

A

= lim

+ lim

Δt

Δt→0

Δ t kρu _ndA + Δ t kρu _ndA

∫∫

∂X

∂t

A ₂

A ₁

=

+ lim

Δ t → 0

Δt

W

∂X

∂t

=

kρu _ndA

⁺∫∫

W

A

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 7

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

dX ∂X

VII AÙP DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TTKS

1. PHÖÔNG TRÌNH LIEÂN TUÏC

X laø khoái löôïng: theo ñ. luaät baûo toaøn khoái löôïng:

^∂∫∫∫ ^ρdW

=

⁺∫∫^{kρu dA}

n

dt

∂t

W

A

dX

= 0

dt

dX

dt

∂ρ

W

=

div (ρu)dW = 0

⁺∫∫ ^{ρu dA}

∫∫∫ ^{dW +}∫∫∫

∂t

W W

n

∂t

b.d.Gauss

A

∂ρ

∂t

+ div (ρu) = 0

: daïng vi phaân cuûa ptr lieân tuïc

Hay:

•Neáu ρ=const→ ptr vi phaân lieân tuïc cuûa löu chaát khoâng neùn ñöôïc:

∂u _y

∂y

∂u _x

∂x

∂u _z

∂z

div (u) = 0 ⇔

+

= 0

Doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh: → ptr lieân tuïc cuûa doøng nguyeân toá

chuyeån ñoäng oån ñònh:

u₁

dA₁

∫∫^{ρu dA = 0 ⇔ ρ u dA = ρ u dA}

dA₂

u₂

n

1 1

1

2

A

•Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra) → ptr lieân

tuïc cho toaøn doøng löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh daïng khoái löôïng:

ρ₁u₁dA₁= ρ₂u₂dA₂⇔ M₁= M₂

∫

A₁

A2

M1: khoái löôïng löu chaát vaøo m/c A1 trong 1 ñv t.gian

M2: khoái löôïng löu chaát ra m/c A2 trong 1 ñv t.gian

•Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra), löu chaát

khoâng neùn ñöôïc: → ptr lieân tuïc cho toaøn doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc

chuyeån ñoäng oån ñònh:

Q₁= Q₂

hay Q = const

•Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu maët caét vaøo vaø ra, c. ñoäng oån ñònh, löu

chaát khoâng neùn ñöôïc, taïi moät nuùt, ta coù: → ptr lieân tuïc taïi moät nuùt cho toaøn

doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh:

Q_ñeán= Q_ñi

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 8

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

dX

dt

∂X

∂t

2. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG

=

⁺∫∫ ^{kρu dA}

n

Khi X laø naêng löôïng cuûa doøng chaûy coù khoái lö^Wôïng^Am (kyù hieäu laø E, bao goàm noäi

naêng, ñoäng naêng vaø theá naêng (theá naêng bao goàm vò naêng laãn aùp naêng), ta coù:

X = E = Eu + 1/2mu²+ mgZ

Nhö vaäy, naêng löôïng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng löu chaát k baèng:

trong ñoù: e_ulaø noäi naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.

vôùi Z=z+p/γ

1

p

ρ

k = e + u²+ gz +

u

2

1/2u²laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.

gz

laø vò naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.

laø aùp naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng.

p/ρ

Ñònh luaät I Nhieät ñoäng löïc hoïc: soá gia naêng löôïng ñöôïc truyeàn vaøo chaát loûng

trong moät ñôn vò thôøi gian (dE/dt) , baèng suaát bieán ñoåi trong moät ñôn vò thôøi gian

cuûa nhieät löôïng (dQ/dt) truyeàn vaøo khoái chaát loûng ñang xeùt, tröø ñi suaát bieán ñoåi

coâng (dW/dt) trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa khoái chaát loûng ñoù thöïc hieân ñoái vôùi

moâi tröôøng ngoaøi (ví duï coâng cuûa löïc ma saùt):

dE dQ dW

=

−

Nhö vaäy

dt

dQ dW ∂

dt dt

1

p

ρ

1

p

ρ

(e_u+ u²+gz+ )ρdw+ (e_u+ u²+gz+ )ρu_ndA

Daïng toång quaùt

cuûa P. tr NL

−

=

_∂t∫∫∫

∫∫

A

2

w

3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG

K

G

K

Khi X laø ñoäng löôïng:

k = u

uρdW

^{X =}∫∫∫

W

Ñònh bieán thieân ñoäng löôïng: bieán thieân ñoäng löôïng cuûa löu chaát qua theå tích

W (ñöôïc bao quanh bôûi dieän tích A) trong moät ñôn vò thôøi gian baèng toång

ngoaïi löïc taùc duïng leân khoái löu chaát ñoù:

dX

=

F

ngoaïilöïc

∑

dt

dX ∂X

=

⁺∫∫^{kρu dA}

Nhö vaäy, töø keát quaû cuûa pp TTKS:

; ta coù:

n

dt

∂t

W

A

∂

F

=

Daïmg

toång

_∂t∫∫∫^{(u)ρdw +}∫∫^{(u)ρu dA}

∑

n

ngoaïilöïc

w

A

quaùt cuûa p.tr

ÑL

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 9

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Moät doøng chaûy ra khoûi oáng coù vaän toác phaân boá daïng nhö hình

veõ, vôùi vaän toác lôùn nhaát xuaát hieän ôû taâm vaø coù giaù trò U_max= 12

cm/s . Tìm vaän toác trung bình cuûa doøng chaûy

Ví duï 4:

Giaûi:

dA=2πrdr

Taïi taâm oáng, u=u_max; taïi thaønh oáng, u=0.

r

U_max

Ta coù treân phöông r,; vaän toác doøng

chaûy phaân boá theo quy luaät tuyeán tính:

dr

u_max

u =

(R − r)

R

Löu löôïng :

^Ru

2πu_maxRr r³

πu_maxR²

2

⎡

⎤

Q = ^max(R −r)2πrdr =

−

⎢

=

⎥

⎦

∫

R

2

3

⎣

0

r=R

Q u_max

V =

=

A

3

V = 4cm /s

Ví duï 5:

Löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh trong ñöôøng oáng coù ñöôøng kính D. ÔÛ ñaàu vaøo cuûa

ñoaïn oáng, löu chaát chuyeån ñoäng taàng, vaän toác phaân boá theo quy luaät :

r²

⎡

⎤

u₁: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy taàng.

u = u₁1−

⎢

⎥

2

r : ñöôïc tính töø taâm oáng (0 ≤ r ≤ D/2)

( )

R

⎣

⎦

Khi löu chaát chuyeån ñoäng vaøo saâu trong oáng thì chuyeån sang chaûy roái, vôùi phaân

1/7

boá vaän toác nhö sau :

y

⎛ ⎞

u₂: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy roái

y : ñöôïc tính töø thaønh oáng (0 ≤ y ≤ D/2)

u = u

₂⎜ ⎟

R

⎝ ⎠

Tìm quan heä giöõa u₁vaø u₂

Giaûi:

Theo phöông trình lieân tuïc:

r

dA=2π

rdr

R

u₁

u₂

o

dr

Q₁= Q₂

o

1

R

r²

y

7

⎡

⎤

⎡ ⎤

Q₁= u₁1−

2πrdr;

Q₂= u₂

2π(R − y)dy

⎢

⎥

R²

R

∫

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣

⎦

0

R

πu₁R²

2

r²

r

r⁴

⎡

⎤

⎥

⎡

⎤

Q₁= u₁1−

2πrdr = 2πu₁

−

=

⎥

⎢

⎣

2

4(R)²

2

∫

2

(

R

)

⎦

⎣

⎦

0

r=R

1

8

7y¹⁵

15

49

60

R

⎡

⎤

⎥

7

⎡

⎤

⎥

7

6

Q₂= −2πu₂

R

dy− y

dy = 2πu₂

R −

R⁻¹

=

πu₂R²

y

7y

⎡ ⎤

7

⎢

∫

⎢ ⎥

R

8

⎢

⎥

⎦

⎣ ⎦

⎢

⎣

⎥

⎦

0

⎣

y=R

49

⇒ u₁= u₂

30

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 10

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Chaát loûng lyù ltöôûng quay quanh truïc thaúng ñöùng (oz). Giaû söû vaän toác

quay cuûa caùc phaân toá chaát loûng tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch töø truïc

quay treân phöông baùn kính (V=a/r; a>0 laø haèng soá. Chuùng minh raèng

Ví duï 5:

Giaûi:

ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá. Tìm phöông trình caùc ñöôøng doøng

G

∂u

⎛

⎞

∂u_x

y

rot ( u ) _z= 0

chuyeån ñoäng khoâng quay (theá)

⎜

⎟

−

= 0

∂x ∂y

a − y −ay

−ay

⎝

⎠

u_x= ucos(u,ox) =

=

;

r r

r²

x²+ y²

u

a x

ax

⎛ ⎞

u_y= ucos(u,oy) =

=

⎜ ⎟

r r

r²x²+ y²

⎝ ⎠

Suy ra:

y

r

∂u_y

⎛

⎞

∂

ax

a(x²+ y²)−ax(2x) a(y²− x²)

⎜

⎟

=

;

2

∂x ∂x x + y

(x²+ y²)²

O

⎝

⎠

⎞

x

−a(x²+ y²)+ay(2y) a(y²− x²)

⎛

∂u_x

∂

−ay

⎜

⎟

=

2

(x²+ y²)²

⎜

∂y ∂y x + y

⎝

⎠

∂u_y

∂x

∂u_x

∂y

Vaäy:

−

= 0 ⇔ rot(u)_z= 0

Ñaây laø chuyeån ñoäng Moät chuyeån ñoäng theá treân maët phaúng xOy

− ay

ax

x²+ y²

u_xdy = u_ydx ⇔

dy =

dx

x²+ y²

Phöông trình caùc ñöôøng doøng:

⇔ (x²+ y²) = C

CH. 3 - ÑOÄNG HOÏC - trang 11