Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 4+5

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Chương 4+5

TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ THUYÊT BỀN

I. NHỮNG KHÁI NIÊM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT.

1. Trạng thái ứng suất (TTƢS) tại một điểm.

y

P₁

P₂

Xét một điểm K trong một vật thể cân bằng và các

mặt cắt qua K, trên các mặt cắt ấy có các ứng suất

pháp  và ứng suất tiếp.Các ứng suất này thay đổi

tùy vị trí mặt cắt (H.4.1).







K

P₃

P₄

x

Định nghĩa TTỨS: TTƯS tại một điểm bao gồm tất

cả những thành phần ứng suất trên các mặt đi qua

điểm ấy.

z

H.4.1. Ứng suất tại một điểm

TTƢS tại một điểm đặc trƣng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại điểm đó.

Nghiên cứu TTƯS là tìm đặc điểm và liên hệ giữa các ứng suất ,, xác định ứng suất

lớn nhất, nhỏ nhất để tính toán độ bền hay giải thích, đoán biết dạng phá hỏng của vật

thể chịu lực.

2.Biểu diễn TTƯS tại một điểm

Tưởng tượng tách một phân tố hình hộp vô cùng bé bao

quanh điểm K. Các mặt phân tố song song với các trục tọa

độ.

_y

_yz

_yx

_xz

Trên các mặt của phân tố sẽ có 9 thành phần ứng suất:

_x

+Ba ứng suất pháp: _x, _y, _z

 _zy

_zx

_z

+Sáu ứng suất tiếp. _xy, _yx, _xz, _zx, _yz, _zy,

Ứng suất pháp  có 1 chỉ số chỉ phương pháp tuyến mặt có 

.

 _zx

_xy

_zy

Ứng suất tiếp  có hai chỉ số:

Chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt co ,

chỉ số thứ hai chỉ phương tiếp tuyến của .

3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp Trên hai mặt vuông góc, nếu mặt nầy có ứng

suất tiếp hướng vào cạnh (hướng ra khỏi cạnh)thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp hướng

vào cạnh (hướng ra khỏi cạnh), trị số hai ứng suất bằng nhau ( H.4.3)

_xy = _yx; _xz=_zx ; _yz =_zy

TTỨS tại một điểm còn 6 thành phần ứng suất.

(4.1)

Ứng suất tiếp trên hai mặt vuông góc

H. 4.3

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

1

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

4.Mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại TTƯS

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng tại một điểm bất kỳ của vật thể chịu lực

luôn tìm được một phân tố hình hộp vuông góc mà trên các mặt của phân tố đó chỉ có

ứng suất pháp, mà không có ứng suất tiếp (H4.4a).

-Mặt chính tại một diểm là mặt cắt qua điểm đó không có ứng suất tiếp

-Phương chính là phương pháp tuyến của mặt chính.

-Ứng suất chính là ứng suất pháp trên mặt chính (có thể dương, âm, hoặc bằng

không)và ký hiệu là: ₁, ₂và ₃. Quy ước: ₁> ₂> ₃.

Thí dụ :

₁= 200 N/cm²;

₂= 400 N/cm²;

₃= 500 N/cm²

Phân loại TTƯS:

- TTƯS khối : Ba ứng suất chính

khác không (H.4.4a).

- TTƯS phẳng: Hai ứng suất chính

khác không (H.4.4b).

a

b)

c)

Các loại trạng thái ứng

H. 4.4

suất

- TTƯS đơn: Một ứng suất chính khác không (H.4.4c).

- TTƯS khối và TTƯS phẳng gọi là TTƯS phức tạp.

II. TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

1. Cách biểu diễn – quy ưóc dấu

Cách biểu diển:

y

_y

_yx

u

_yx

u

_xy

_u

_uv



_x

_xy

_x

_xy

x

_yx

b)

v

_y

z

H. 4.5 TTỨS trong bài toán phẳng

Xét một phân tố (H.4.5a).Giả thiết mặt vuông góc với trục z là mặt chính có ứng suất

pháp bằng không. (ứng suất tiếp bằng không).

Để dễ hình dung, ta biểu diễn phân tố đang xét bằng hình chiếu của toàn phân tố lên

mặt phẳng Kxy (H.4.5b).

Quy ước dấu: +   0 khi gây kéo (hướng ra ngoài mặt cắt)

+   0 khi làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS

2

Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

(qui ước nầy tiện lợi khi giải bài toán ở TTƯS phẳng thường dùng trong kỹ thuật và dễ

tham khảo các tài liệu khác).

2.Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ

Vấn đề: Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với trục z và có pháp tuyến

u tạo với trục x một góc  ( > 0 khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x )

(H.4.6a). Giả thiết đã biết các ứng suất _x, _yvà _xy.

 Tính _uvà _uv: Tưởng tượng cắt phân tố bằng mặt cắt nghiêng đã nêu, mặt cắt

chia phân tố ra làm hai phần, xét cân bằng của một phần phân tố (H.4.6b).

Trên mặt nghiêng có ứng suất _uvà _uv, chúng được xác định từ phương trình cân

bằng tĩnh học.

y

u

_u

_xy

_u

_xy



_x

x

_uv

ds

_uv

dz

H. 4.6 Ứng suất trên mặt nghiêng

dy

z

_yx

dx

v

_yx

v

_y

* U=0 

* V=0 

_udsdz _xdzdycos _xydzdysin _ydzdxsin _xydzdxcos  0

_uvdsdz _xdzdysin _xydzdycos _ydzdxcos _xydzdxsin  0

Kể đến: _xy=_yx;dx =ds sin ;dy =dscos,

_x _y_x _y

_u



cos 2 _xysin 2

2

1

cos²  (1 cos2); sin²  (1cos2),sin cos  sìn



(4.2a)

2

_x

_uv 

^ysin2 _xycos2

(4.2b)

2

u

+90⁰

 Tính _v: Xét mặt nghiêng có pháp tuyến v,

vuông góc mặt có pháp tuyến u (H.4.7). Thay thế

 bằng ( - 90) vào (4.2a),ứng suất pháp tác

dụng trên mặt có pháp tuyến v:

v

_u

_v



_vu

_uv

_u

_x _y_x

_v



^ycos2  _xysin2

(4.3)

_v

2

H. 4.7 Ứng suất trên 2 mặt vuông góc nhau

Tổng (4.2a) và (4.3), 

_u_v _x _y

(4.4)

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

3

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Biểu thức trên cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng trên hai mặt vuông góc cuả

phân tố ứng suất phẳng tại một điểm là hằng số và không phụ thuộc vào góc .

Đó là Bất Biến Thứ Nhất của ứng suất pháp

Thí dụ 1:Thanh có diện tích 5cm², chịu kéo với lực P=40kN.Xác định ứng suất trên

mặt cắt nghiêng một góc 30^ovới mặt cắt ngang (H.4.8).

Giải

Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang (Chương 3)

u

P

40

 _x



 8 kN/cm²

_u

_uv

A

5

30⁰

Tách phân tố hình hộp bao điểm K nằm trên mặt cắt

K

P=40kN

P

ngang.

Tacó:

 _x 8kN/cm², _y 0

v

u

_u

Mặt cắt nghiêng có pháp tuyến hợp với trục với trục

x (trục thanh) một góc 30^o.

30

Từ(4.2)

_x

 _x _x

8

2

1 cos 2.30^o 6 kN/cm²



_uv

_u



cos 2 



v

2

H4.8

 _x

2

8

_uv 

sin 2   sin 2.30^o 3,46 kN/cm²

2

4kN/cm²

Nhận xét: Với mặt cắt ngang cho ứng suất pháp lớn nhất.

Tương tự :Tính ứng suất trên mặt nghiêng như

hình vẽ

u

2kN/cm²

3kN/cm²

4kN/cm²

 2  4  2  4

cos 2x30⁰ (3)sin 2.30⁰1,1kN/cm²

60

_u



2

 2  4

2

0

_uv



sin 60⁰ (3)cos60⁰  4,1kN/cm²

3. Ứng suất chính - Phương chính - Ứng suất pháp cực trị

a) Ứng suất chính - phƣơng chính

₀⁽²⁾= ₀⁽¹⁾+90⁰

Ngoài mặt chính là mặt đã biết vuông góc với trục z,

hai mặt chính còn lại là những mặt song song với trục z (vì

phải vuông góc với mặt chính đã có).

₂

₁

₀¹

Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp = 0  Tìm hai mặt

_o

_uv

chính còn lại bằng cách cho

của trục x hợp với phương chính thì điều kiện để tìm

_uv

= 0.Nếu gọi

là góc

₁

₂

H. 4.9 Ứng suất chính

phương chính là:

_x

=0

^ysin2 _xycos2  0





2

2_xy

tan2_o 

 Phương trình xác định ₀:

(4.5)

_x _y

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

4

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

(4.5) cho thấy có hai giá trị ₀sai biệt nhau 90.Vì vậy, có hai mặt chính vuông

góc với nhau song song với trục z. Trên mỗi mặt chính có một ứng suất chính tác dụng.

Hai ứng suất chính này cũng là ứng suất pháp cực trị (ký hiệu là _maxhay _min) thật

vậy

 

2 _xy





d_u

d

x

y





 0  2

sin 2  _xycos2  0  tan2  

giống với (4.5)





2

 _x _y





Giá trị ứng suất chính là ứng suất pháp cực trị có thể tính được bằng cách thế

ngược trị số của  trong (4.5) vào (4.2a).

tan2_o

1 tan²2_o

1

Để ý rằng: ^{sin 2}_o 

; cos2_o 

1 tan²2_o

_x _y

 



²

x

 _x²_y

(4.6)



^y





_max _1,3



2

min





Ta lại thấy  _max+  _min=  ₁+  ₃=  _x+  _y

Thí dụ 2 Tìm ứng suất chính và phương chính của TTƯS (H.4.10a). Đơn vị của

ứng suất là kN/cm².

Giải

₂

₁

Theo quy ước dấu, ta có:

_x 4 kN/cm²; _y 2 kN/cm²_xy 1kN/cm²

67⁰30^/

22⁰30^/

2

1

Phương chính xác định từ (4.5):

₁

4

₂

2_xy

 2

tan2_o 



 1



_x _y4  2

2

o

2_o  45^o k180

_o⁽¹⁾  22^o30'; _o⁽²⁾ 67^o30'



(i)

Có 2 phương chính ( 2 mặt chính ) vuông góc nhau

Các ứng suất chính được xác định từ (4.6):

2





4,41 kN/cm

4  2

2

4  2

2









_max





1  3  2 



(ii)

2

min



1,58 kN/cm







Để xác định mặt chính nào từ (i) có ứng suất chính (ii) tác dụng, ta dùng (4.2b), chẳng

⁽¹⁾  22^o30'

hạn với

, ta có:

o

4  2 4  2

_u



cos2



 22^o30'



1sin2



 22^o30'  4,41 kN/cm²



2

⁽¹⁾  22^o30'

2

Vậy : ₁=4,41kN/cm ứng với góc nghiêng

,

o

⁽²⁾  67^o30'

2

₂=1,58kN/cm tác dụng trên mặt có

.

o

Các mặt và ứng suất chính biểu diễn trên phân tố ở H.4.10b.

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

5

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Tương tự tính ứng suất chính cho phân tố TTỨS (hvẽ)đơn vị(kN/cm²).Ở bài cho đã có

một mặt chính,hai mặt còn lại là những mặt nghiêng vuông gócvới mặt chính đã cho

2



3kN/cm

15

2

15

2

5











_max





 4²



2

min









7 kN/cm

4

Theo qui ước

1

₁=3kN/cm², ₂=1kN/cm²,₃=-7kN/cm²

b) Ứng suất tiếp cực trị và phương

1

5

Tìm ứng suất tiếp cực trị và mặt nghiêng trên đó có

d_uv

d

ứng suất tiếp cực trị bằng cách cho

 0

₁= ₀⁽²⁾+45⁰

(2)

d_uv

d

 (_x _y)cos2  2_xysin2  0

₁⁽¹⁾= ₀⁽¹⁾+45⁰

_x _y

tan2 

(4.7)

2_xy

_ma

1

So sánh (4.7) với (4.5)  ^{tan2  }

tan2_o

    k45^o

2  2_o k90^o



hay

o

Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với những mặt chính một góc 45.

Thế (4.8) vào (4.2b), ta được :

 



²

x



^y

_x²_y

_max

(4.9)





2

min







4. Các trường hợp đặc biệt

a) TTƯS phẳng đặc biệt



H.4.12 TTƯS phẳng đặc biệt

  ;  0;  

Phân tố trên có:

x

y

xy



 1

_max _{1, 3}





 ² 4 ²

Từ (4.6) 

2 2

min

Phân tố có 2 ứng suất chính ( sẽ gặp ở trường hợp

thanh chịu uốn ).

b) TTƯS trượt thuần túy (H.4.13)



H. 4.13 TTƯS trược thuần tuý

₃

   0; 

Ởđây,

; Thay vào (4.6)

x

y

xy

_max_{1, 3}

₁₃



hay

(4.11)

min

₁

Hai phương chính được xác định theo (4.5):



_o  k

4



2

tan 2_o 



(4.12)

₃

Những phương chính xiên góc 45^ovới trục x và y.

c) Trường hợp phân tố chính (H.4.14)

Phân tố chính chỉ có  ₁,  ₃, = 0;

H. 4.14

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

6

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

₁₃

_max,min 

Thay vào (4.9), ta được:

2

III. TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ (Tự đọc thêm)

1- Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất .

Công thức xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng (4.2) có thể biểu diễn dưới dạng hình học

bằng vòng tròn Mohr. Để vẽ vòng tròn Mohr, ta sắp xếp lại(4.2) như sau:

_x _y_x

^ycos2 _xysin2

(4.14)

t

_u



2

R

_x

_uv

^ysin2 _xycos2

(4.14)’

s

C

O

2

Bình phương cả hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng lại, ta được:

C

 _x _y

 



²



²

x

y

2









_u

_uv

 _x²_y

(4.15)

2









Vong tron ứng suất Morh

 _x _y

 



²

H. 4.15

x

y

2

_x²_y





c 

; R 

Đặt:

(4.16)

(4.17)

2





2



_u c



_u²_v R²

(4.15) thành:

Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành  và trục tung , (4.17) là phương trình của một đường tròn có

tâm nằm trên trục hoành với hoành độ là c và có bán kính R . Như vậy, các giá trị ứng suất pháp và

ứng suất tiếp trên tất cả các mặt song song với trục z của phân tố đều biểu thị bằng tọa độ những

điểm trên vòng tròn. Ta gọi vòng tròn biểu thị TTƯS phẳng của phân tố là vòng tròn ứng suất hay

vòng tròn Mohr ứng suất của phân tố.

2.Cách vẽ vòng tròn Mohr: (H.4.16):

O

- Định hệ trục tọa độ

: trục hoành  // trục x, trục tung 

// trục y của phân tố và hướng lên trên.

-Trên trục  định điểm E(_x, 0) và điểm F(_y, 0) giả thiết _x

p

>_y.

_xy



Tâm C là trung điểm của EF.Đặt điểm P(_y, _xy) gọi là điểm

cực .

E

C

F

- Vòng tròn tâm C, qua P là vòng tròn Mohr cần vẽ

_y

 _x _y

_x

OE  OF

Chứng minh: C là trung điểm của EF  OC 

OE  OF



 c

2

H. 4.16 Cách vẽ vòng

; FP   _xy

 _x _y

Trong tam giác vuông CPF:

FC 



tròn ứng suất

2



²

^y

 

2

x



Do đó  CP  FC  FP 

_x²_y R²



2





3-Tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng của phân tố có pháp tuyến u hợp với trục

x một góc .

Cách tìm _u; _uv

Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng của phân tố có pháp tuyến u hợp với trục

x một góc .

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS

7

Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

_max

_u

_uv



_uv

_xy

p

_y

u

2

A

_yx

F

2

c

1



0

E

B



_x

_u

_x

M

_u

_max

_xy

_min

_y

_min

v

_y

_min



_x

_max

H4.6 Xác định ứng suất trên mặt nghiêng

Cách tìm _u; _uv

Vẽ vòng tròn Mohr như H.4.17.

Từ cực P vẽ tia Pu // với phương u cắt vòng tròn tại điểm M.

Hoành độ của M = _u; Tung độ của M = _uv

Chứng minh:

Ký hiệu 2₁là góc (CA,CD), 2 là góc (CD,CM).

Hình 4.17 cho:

_x _y

OG  OC  CG 

 Rcos



2₁ 2



2

_x _y



 Rcos2₁cos2  Rsin2₁sin2

2

_x _y

nhưng:

Rcos2₁ CE 

;

Rsin 2₁ ED  _xy

2

_x _y_x

nên:

OG 



^ycos2 _xysin2  _u

2

Tương tự, ta có:

GM  Rsin



2₁ 2  Rcos2₁sin2  Rsin2₁cos2



 





x



^y



sin2  _xycos2  _uv



2





Ta nhận lại được phương trình (4.2)

4- Tìm ứng suất chính- phƣơng chính- Ứng suất pháp cực trị

Trên vòng tròn ứng suất ( H.4.17)

Điểm A có hoành độ lớn nhất, tung độ = 0 _max

=

OA ;  =0

Tia PA biểu diễn một phương chính.

Điểm B có hoành độ nhỏ nhất, tung độ = 0 _min

=

OB ;  =0

Tia PB biểu diễn phương chính thứ hai.

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

8

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

5- Tìm ứng suất tiếp cực trị



Trên vòng tròn (H.4.17): hai điểm I và J là

P

những điểm có tung độ  lớn và nhỏ nhất. Do đó, tia

PI và PJ xác định pháp tuyến của những mặt trên đó

có ứng suất tiếp cực đại và cực tiểu. Những mặt này

tạo với những mặt chính một góc 45^o.

Ứng suất tiếp cực trị có trị số bằng bán kính đường

tròn.



B

E

0 c



_min

_max



b)

a)



Ứng suất pháp trên mặt có ứng suất tiếp cực trị có giá trị

bằng hoành độ điểm C, tức là giá trị trung bình của ứng suất

pháp:

P



 _x _y

c

_tb





2

_max

6- Các trường hợp đặc biệt

_min

a)

b)

- TTƯS phẳng đặc biệt

Phân tố có hai ứng suất chính ₁và ₃(H.4.18).

- TTƯS trượt thuần túy

Phân tố có 2 ứng suất chính:

₁ ₃ | |

Các phương chính xiên góc 45^ovới trục x và y (H.4.19)

- TTƯS chính ( H.4.20)



161⁰36

₁₃

_max,min 

_ma

2

71⁰36

A

Thí dụ 3: Phân tố

D

p

v

u

ở TTƯS phẳng

(H.4.21),các ứng

suất tính theo

_u

2

45⁰

_uv

₀= 26⁰36



c

E

1

5

kN/cm².

Dùng

vòng tròn Mohr,

xác định:

0

₀= -67⁰24

1

-5

-2

-7

₃

4

3

5

M

1

₁

4

D^/

_u

a)

Ứng suất trên mặt

_min

cắt

nghiêng

  45^o

b) Ứng suất chính và phương chính

c) Ứng suất tiếp cực trị.

Giải.

Theo quy ước ta có:

_x 5 kN/cm²; _y1 kN/cm²; _xy  4 kN/cm²

 5 1









Tâm vòng tròn ở C

,0

.

2





 Cực P(1, + 4). Từ P vẽ tia song song với trục u cắt vòng tròn Mohr tại M. Tọa độ điểm

M biểu thị ứng suất trên mặt cắt nghiêng với   45^o

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS Lê Đức Thanh

:

9

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

_u 6 kN/cm²; _uv3 kN/cm²

Hoành độ A và B biểu thị ứng suất chính có giá trị bằng:

₁ _A 3 kN/cm²; ₃ _B 7 kN/cm²

Hai phương chính xác định bởi góc _o:

_o⁽¹⁾ 67^o42'; _o⁽³⁾ 26^o36'

Tung độ I và J có giá trị bằng ứng suất tiếp cực trị:

_max 5 kN/cm²; _min 5 kN/cm²

Các ứng suất này tác dụng lên các mặt, tương ứng với các góc nghiêng:

₁⁽¹⁾ 71^o36'; ₁⁽²⁾ 161^o36'

IV. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC TTƢS KHỐI

Tổng quát, TTƯS tại một điểm là TTƯS khối (H.4.22).

s₂

y

II

s₂

s₃

₂

x

s

t

s

s₁

s

1



s₁

z

1

t

I

s₃

₃



s

s₂

III

H.4.22. TTƯS khối với mặt cắt

nghiêng bất kỳ

H. 4.23

TTỨS khối và các mặt // trục chính



_max,

2

Xét những mặt // một phương chính (thí dụ phương

III), ứng suất chính ₃không ảnh hưởng đến ,  trên các

mặt này (H.4.23).  có thể nghiên cứu ứng suất trên

những mặt này tương tự TTƯS phẳng.

_max

,1

_max,

3

s

Vẽ vòng tròn ứng suất biểu diển các ứng suất trên

mặt nghiêng này (vòng tròn số 3 trên H.4.24) .

Từ vòng tròn này, ta thấy trên những mặt song song

với phương chính III có mặt có ứng suất tiếp cực đại (ký

s

O

1

2

3

1

2

₁₂

_max,3



H.4.24

hiệu _max,3

)

2

Ba vòng tròn Mohr ứng suất

 Tương tự, đối với những mặt song song với phương chính

thứ I và thứ II, ta cũng vẽ được các vòng tròn ứng suất (Vòng tròn số

1 và vòng tròn số 2) (H.4.24).

 Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng giá trị của  và  trên

một mặt bất kỳ của một phân tố trong TTƯS khối có thể biểu thị

bằng tọa độ của một điểm nằm trong miền gạch chéo (H.4.24).

 Qua hình vẽ, ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố biểu thị

bằng bán kính của vòng tròn lớn nhất, (H.4.24).

Y

II

X

₂

Z

₁

I

₃

₁₃

III

_max,2



(18)

H.4.25. TTƯS khối

2

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 10 Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

V. LIÊN HỆ ỬNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

1.Định luật Hooke tổng quát

a) Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng dài

TTƯS đơn: trong chương 3, đã có:

Định luật Hooke liên hệ giữa ứng suất pháp và



E

 

biến dạng dài:

(4.19)

 :biến dạng dài tương đối theo phương 

Theo phương vuông góc với  cũng có biến dạng dài

tương đối ngược dấu với :



E

'      

 TTƯS khối: với các ứng suất chính ₁,₂,₃theo ba phương chính I, II, III (H.4.25). Tìm

biến dạng dài tương đối ₁theo phương I .

₁

E

₁(₁) 

Biến dạng dài theo phương I do ₁gây ra:

₂

E

₁(₂)   

Biến dạng dài theo phương I do ₂gây ra:

₃

E

Biến dạng dài theo phương I do ₃gây ra: ₁(₃)   

Biến dạng dài tương đối theo phương I do cả ba ứng suất ₁,₂,₃

sinh ra sẽ là tổng của ba biến dạng trên:

1

₁ ₁(₁) ₁(₂)  ₁(₃) 



₁ (₂₃)



(4.21)

E

Tương tự, biến dạng dài tương đối theo hai phương chính II,III còn lại:

1

₂

₃



₂ 



₃₁





(4.22)

(4.23)

E

1



₃ 



₁₂



E

 TTƯS tổng quát:

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đối với vật liệu đàn hồi đẳng hướng,  chỉ sinh ra biến dạng

dài mà không sinh ra biến dạng góc,  chỉ sinh ra biến dạng góc mà

y

không sinh ra biến dạng dài.

 Trong trường hợp phân tố ở TTƯS tổng quát, vẫn có thể viết

như sau:

II

x

₂

z

1

E

1

_x

 _y

_z



 _x 



 _y _z

 _z _x

 _x _y







I



 _y 







₃

E

1

E

III

H.4.27. TTƯS khối



 _z 







b) Liên hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng góc

(Định luật Hooke về trượt)

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 11 Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Phân tố ở TTƯS trượt thuần tuý (H.4.26).Biến dạng góc (góc trượt)  biểu thị độ thay đổi góc vuông.

Định luật Hooke về trượt:

t





 

G

(4.25)

trong đó: G : là môđun đàn hồi trượt. Thứ nguyên của G là

t

[lực/(chiều dài)²] và đơn vị thường dùng là N/m²hay MN/m².

E

H.4.26. Biến dạng trượt

Liên hệ giữa E,  và G như sau: G 

(4.26)

2(1 )

2. Định luật Hooke khối

Tính độ biến đổi thể tích của một phân tố hình hộp có các cạnh bằng da₁, da₂và da₃.

Thể tích của phân tố trước biến dạng là:

V_o da₁da₂da₃

Sau biến dạng, phân tố có thể tích là:

V₁ (da₁ da₁)(da₂ da₂)(da₃ da₃)

Gọi biến dạng thể tích tương đối là , ta có:

V₁V_o

 

 ₁₂₃

(4.27)

V_o

Thế (4.21),(4.22),(4.23) vào (4.27) 

1 2

  ₁ ₂ ₃



₁₂₃



(4.28)

E

  ₁ ₂ ₃

đặt tổng ứng suất pháp là:

1 2

(4.28) thành:

 



(4.29)

E

công thức (4.29) được gọi là định luật Hooke khối biểu thị quan hệ tuyến tính giữa biến dạng thể tích

tương đối và tổng ứng suất pháp.

Thí dụ: Người ta đo được biến dạng dài theo phương nghiêng u tại một điểm trên bề mặt của thanh

chịu kéo là _u=10^-2. Biết A=2cm², =30⁰, E=10³kN/cm², =0,3.

Xác định trị số lực tác dụng.

Giải

Thanh chịu kéo ở TTỨ S đơn, Gọi : _x= =P/A, và _y=0



2



2



2



2

1



4

_v



cos2.60⁰  ( ) 

2

u

Gọi v là phương vuông góc với u

P

30⁰



4

3

K

Bất biến: _u  _v    

4

v

60⁰

u

Biến dạng ở TTỨS phẳng

3 

4

3  P

E_u



_u _v





 



4

A



4

P 

EA_u

10³ 2.10^2 29,63kN

3 

Nhận xét :

3 0,3

Từ (4.29), nếu vật liệu có hệ số Poisson  = 0,5 ( cao su), thì  luôn luôn bằng không tức là

thể tích không đổi dưới tác dụng của ngoại lực.

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS

12

Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

 Công thức trên cho thấy  phụ thuộc vào tổng ứng suất pháp chứ không phụ thuộc vào riêng

từng ứng suất pháp. Như vậy, nếu cũng với phân tố ấy ta thay các ứng suất chính bằng một ứng suất

trung bình _tbcó giá trị bằng trung bình cộng của ba ứng suất chính nói trên:

₁₂₃



3

_tb



3

thì biến dạng thể tích tương đối của phân tố trên vẫn không thay đổi.

Thật vậy, với những ứng suất chính là _tb, biến dạng thể tích bằng:

1 2

₁



_tb_tb_tb







E

Kết quả trên có ý nghĩa như sau: với phân tố ban đầu là hình lập phương, trong hai trường hợp trên

ta thấy thể tích phân tố đều biến đổi như nhau.

- Tuy nhiên, trong trường hợp đầu khi các ứng suất chính khác nhau, phân tố vừa biến đổi thể tích

vừa biến đổi hình dáng tức là trở thành phân tố hình hộp chữ nhật sau khi biến dạng.

- Còn trong trường hợp thứ hai, khi thay các ứng suất chính bằng ứng suất trung bình, phân tố chỉ

biến đổi về thể tích mà không biến đổi hình dáng, nghĩa là sau khi biến dạng phân tố vẫn giữ hình lập

phương.

- Về mặt lý luận, có thể phân phân tố ở TTUS khối chịu các ứng suất chính ₁, ₂, ₃thành 2 phân

tố (H. 4.28). Phân tố b) chỉ biến đổi thể tích, phân tố c) chỉ biến đổi hình dáng.

 ₂_TB

-

_TB

 ₂

₁ _TB

_TB

₁

_TB

₂ _TB

 ₂

_TB

VI. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI

 Ở chương 3, phân tố ở TTƯS đơn (thanh bị kéo hoặc nén):

u   2

Thế năng biến dạng đàn hồi riêng

 Trong TTƯS khối, sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng, ta có thế năng biến dạng đàn hồi

riêng bằng:

:

(4.30)

₁₁₂₂₃₃

u 



(4.31)

2

thaytheo định luật Hooke trong (4.21) - (4.23) vào , 

1

u 



₁



₁ 



₂₃



₂



₂ 



₃₁



₃



₃ 



₂₁



2E

1

u 



₁²₂²₃² 2



₁₂₂₃₃₁





hay

(4.32)

2E

Ta có thể phân tích thế năng biến dạng đàn hồi u thành hai thành phần:

-Thành phần làm đổi thể tích gọi là thế năng biến đổi thể tích u_tt

-Thành phần làm đổi hình dáng gọi là thế năng biến đổi hình dáng u_hd

Ta có:

u = u_tt+ u_hd

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 13 Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Để tính thế năng biến đổi hình dáng, ta thay các ứng suất ₁, ₂và ₃bằng ứng suất (₁-_tb), (₂-

_tb), (₃-_tb), tác dụng lên các mặt phân tố.

 ₂

-

_TB

 ₂

_TB

₁ _TB

_TB

₁

_TB

+

=

₂

 ₂

_TB

Thế vào (4.32) ta có thế năng biến đổi hình dáng bằng: u_hd=u-u_tt

1

1 2

6E

2

u_hd





₁²₂²₃² 2



₁₂₂₃₃₁









₁₂₃



2E

1 

3E

u 



₁²₂²₃²₁₂₂₃₁₃



hay :

(4.33)

hd

 TTƯS đơn, thay ₁=, ₂= 0 , ₃= 0 vào (4.32) và (4.33), ta được thế năng riêng và thế năng

biến đổi hình dáng như sau:

 ²

2E

1 

3E

u 

;

u_hd

 ²

(4.34)

VII. LÝ THUYẾT BỀN (ĐIỀU KIỆN BỀN TTỨS PHỨC TẠP)

A.Khái niệm về ly thuyết bền

 Điều kiện bền thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm (chương 3),

(TTỨS đơn) :

_max ₁



 _k



;

_min ₃

 _n

 

ÖÙng suaát nguy hiemå cuûa vaät lieäu (_o)

₀

n



ÖÙng suatá cho pheùp





trong đó,

;



 



Heä soá an toaøn

Ứng suất nguy hiểm ₀có được từ những thí nghiệm kéo (nén) đúng tâm:

- Đối với vật liệu dẻo là giới hạn chảy _ch

- Đối với vật liệu dòn là giới hạn bền _b.

 Để viết điều kiện bền ở một điểm của vật thể ở TTỨS phức tạp (phẳng hay khối), cần phải

có kết quả thí nghiệm phá hỏng những mẫu thử ở TTỨS tương tự. Việc thực hiện những thí

nghiệm như thế rất khó khăn vì:

- Ứng suất nguy hiểm phụ thuộc vào độ lớn của các ứng suất chính và phụ thuộc vào tỉ lệ giữa

những ứng suất này. Do đó phải thực hiện một số lượng rất lớn các thí nghiệm mới đáp ứng được tỉ lệ

giữa các ứng suất chính có thể gặp trong thực tế

- Thí nghiệm kéo, nén theo ba chiều cần những thiết bị phức tạp, không phổ biến rộng rãi

như thí nghiệm kéo nén một chiều

Vì vậy, không thể căn cứ vào thí nghiệm trực tiếp mà phải dựa trên các giả thiết về nguyên

nhân gây ra phá hỏng của vật liệu hay còn gọi là những thuyết bền để đánh giá độ bền của vật liệu.

Định nghĩa : Thuyết bền là những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật liệu, nhờ đó đánh giá

được độ bền của vật liệu ở mọi TTỨS khi chỉ biết độ bền của vật liệu ở TTỨS đơn ( do thí nghiệm

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS

14

Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

kéo, nén đúng tâm).Nghĩa là, với phân tố ở TTỨS bất kỳ có các ứng suất chính ₁,₂,₃ta phải tìm

ứng suất tính theo thuyết bền làmột hàm của₁,₂,₃rồi so sánh với

phức tạp và khó khăn)







_khay





_nở TTỨS đơn.(Rất



B. Các thuyết bền (tb) cơ bản

1-Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (TB1)

 Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất pháp lớn nhất của phân tố ở

TTỨS phức tạp đạt đến ứng suất nguy hiểm ở TTỨS đơn.

 Nếu ký hiệu:

₁, ₂,₃: ứng suất chính của TTỨS phức

II

tạp

₂

_0khay _0n: ứng suất nguy hiểm về kéo và

nén

_0k

₁

_0k

n : hệ số an toàn

 Điều kiện bền theo TB1:

I

₃

_0k

n

_t1 ₁

 []_k

III

H.5.1. TTỨS khối

H.5.2. Trạng thái nguy hiểm

_0n

n

_t1 ₃

 []_n

của TTỨS đơn

trong đó: _t1- là ứng suất tính hay ứng suất tương đương theo TB1

 Ƣu khuyết điểm: TB1, trong nhiều trường hợp, không phù hợp với thực tế. Thí dụ trong thí

nghiệm mẫu thử chịu áp lực giống nhau theo ba phương (áp lực thủy tĩnh), dù áp lực lớn, vật liệu hầu

như không bị phá hoại. Nhưng theo TB1 thì vật liệu sẽ bị phá hỏng khi áp lực đạt tới giới hạn bền

của trường hợp nén theo một phương.

TB1 không kể đến ảnh hưởng của các ứng suất khác cho nên TB này chỉ đúng đối với TTỨS

đơn.

2- Thuyết bền biến dạng dài tƣơng đối lớn

nhất (TB2)

II

 Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là

₂

do biến dạng dài tương đối lớn nhất của

phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến biến dạng

dài tương đối lớn nhất ở trạng thái nguy

hiểm của phân tố ở TTỨS đơn.

 Gọi ₁: biến dạng dài tương đối lớn nhất của

phân tố ở TTỨS phức tạp

_0k

₁

_0k

I

₃

III

H.5.1. TTỨS khối

H.5.2. Trạng thái nguy hiểm

_0k: biến dạng dài tương đối ở trạng thái

nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một phương (

TTỨS đơn).

của TTỨS đơn

Theo định luật Hooke, ta có:

1

₁



₁ 



₂₃



(a)

E

_0k

E

_0k



(b)

Kết hợp (a) và (b), kể đến hệ số an toàn n

 Điều kiện bền theo TB 2:

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 15 Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

1

1 _0k

n E



₁ 



₂₃





(c)

E

hay _t2 ₁ 



₂₃



 []_k

Đối với trường hợp biến dạng co ngắn, ta có

_t2 ₃  ₂₃ []_k





 Ƣu khuyết điểm: TB biến dạng dài tương đối tiến bộ hơn so với TB ứng suất pháp vì có kể

đến ảnh hưởng của cả ba ứng suất chính. Thực nghiệm cho thấy TB này chỉ phù hợp với vật liệu dòn

và ngày nay ít đƣợc dùng trong thực tế.

3- Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (TB3)

 Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở TTỨS phức

tạp đạt đến ứng suất tiếp lớn nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở TTỨS đơn.

 Gọi: _max: ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở TTỨS phức tạp ;

_0k: ứng suất tiếp lớn nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một phương ( TTỨS

đơn), n : Hệ số an toàn

_ok

n

_max





 



 Điều kiện bền theo TB 3:

(d)

trong đó, theo (4.18), chương 4, ta có:

II

₁₃



 

₂

_max



;



 



(e)

2

_0k

₁₃





2



₁

_0k



(e) vào (d), 

I

2

I

 Điều kiện bền theo TB 3:

₃

III

H.5.1. TTỨS khối

_t3 ₁ ₃ []_k

H.5.2. Trạng thái nguy hiểm

của TTỨS đơn

 Ƣu khuyết điểm:

TB ứng suất tiếp lớn nhất phù hợp với thực

nghiệm hơn nhiều so với hai TB1 và TB2 . Tuy không kể tới ảnh hưởng của ứng suất chính ₂song

TB này tỏ ra khá thích hợp với vật liệu dẻo và ngày nay được sử dụng nhiều trong tính toán cơ khí

và xây dựng. Nó cũng phù hợp với kết quả mẫu thử chịu áp lực theo ba phương.

4- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (TB4)

 Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở TTỨS

phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dáng ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở TTỨS đơn.

 Gọi: u_hd:Thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở TTỨS phức tạp

(u_hd)_o: Thế năng biến đổi hình dáng ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị kéo theo một

phương (ở TTỨS đơn).

n : Hệ số an toàn

 Điều kiện để phân tố ở TTỨS phức tạp không bị phá hỏng là bền theo TB 4 là:

u_hd (u_hd)_o

(g)

Theo 4.5 chương 4, ta đã có:

1

u_hd



₁²₂²₃²₁₂₂₃₃₁



3E

1

(h)



u_hd





₀²_k

o

3E

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 16 Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Thế (h) vào (g), lấy căn bậc hai của hai vế, kể đén hệ số an toàn n

 Điều kiện bền theo TB 4:

₁² ₂² ²₃ ₁₂ ₂₃ ₃₁ []_k

_t4 ₁² ₂² ²₃ ₁₂ ₂₃ ₃₁ []_k

hay là:

trong đó: _t4- là ứng suất tương đương theo thuyết bền thứ tư.

 Ƣu khuyết điểm:

TB thế năng biến đổi hình dáng được dùng phổ biến trong kỹ thuật vì khá phù hợp với vật liệu dẻo.

Ngày nay được sử dụng nhiều trong tính toán cơ khí và xây dựng.

CÁC KẾT QUẢ ĐẶC BIỆT (cần nhớ )

a) TTỨS phẳng đặc biệt





2



2



2

 

 

_1,3





 ²;

₂ 0

 

Các ứng suất chính:



Theo TB ứng suất tiếp TB3

_t3 ₁ ₃ ² 4² []

Theo TB thế năng biến đổi hình dáng TB4 :

_t4 ₁² ₂² ²₃ ₁₃ ₂₁ ₃₂ []

² 3² []



hay:

b) TTỨS trượt thuần túy (H.5.4):

    | |;   0

Các ứng suất chính :

1

3

2



H.5.4

Theo TB3 (ứng suất tiếp cực đại):

[ ]

2

     2 | |  []

hay: | | 

t3

1

3

Theo TB4 (thế năng biến đổi hình dáng):

[ ]

_t4 3 ² []

| | 

hay:

3

5- Thuyết bền về các TTỨS giới hạn (TB 5 hay là TB Mohr)

Như vậy, điều kiện bền theoTB Mohr (TB 5) được viết là:

₁₃ []_k

,

Với hệ số  =_K/ _N

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 17 Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Các bài tập đọc thêm

Bài tập1.

Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng như hình vẽ

a).Tìm giá trị ứng suất pháp



_uvà ứng suất tiếp _uv

b).Tìm gía trị ứng suất chính và phương chính của phân tố.

Giải:

u

1kN/cm ²

150⁰

 _x _y _x _y

_u



cos2  _xysin 2

x

2

6kN/cm ²

 6  6

6kN/cm ²





cos2.150  (1)sin 2.150  5,366kN /cm²

2

y

6

_uv  sin 2.150  (1)cos2.150^o 2,098 kN/cm²

1kN/cm ²

2

Ứng suất chính và phương chính

_x _y

 

 0,16

 6,16



²







 6

2

1

2

x

 _x²_y





(6)² 4(1)²

kN / cm²



^y

_max _1,3







2

min





18,4⁰

71,6⁰

2 _xy

 _x _y







 2(1)

 6

1

3

Phương chính tan2_o 



 

Suy ra ₀

Bài tập 2: Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng.

Tính _x _y

_u(phương u tạo với trục y một góc 30 ⁰.

Cho E=10⁴kN/cm²,

= 0,34 ,

Giải :

8kN/cm ²

,

30⁰

u



  6kN / cm²

 _y 8kN/cm²

6kN/cm ²

Ta có :

x

2kN/cm ²

y

  2kN / cm²  60⁰

2kN/cm ²

,

1

_x

_y



 _x _y







6(0,34)8



 3,2810^4

10⁴

1

10⁴

8kN/cm ²

E

x

1



_y _yõy



8(0,34)6



 5,9610^4

E

 _xõ_y _x_y

_u



cos2  _xysin2  9,232kN / cm²

2

1

_u



_u _v







_u ( _x_y_u

 7,611kN / cm²



E

Bài tập 3:

Một khối lập phương bằng bê tông đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A (tuyệt đối cứng) chịu áp

suất phân bố đều ở mặt trên P=1kN/cm²(H.4.11).

Xác định áp lực nén vào vách rãnh. Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng dài tương đối theo các

phương. Độ biến dạng thể tích tuyệt đối. Cho cạnh a = 5cm;

E = 8.10²kN/cm²;  = 0,36.

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS

18

Lê Đức Thanh

Bài giảng Sức Bền Vật Liệu

____________________________________________________________________

Giải

Chọn hệ trục như hình vẽ.

y

Ta có: phân tố ở TTỨS phẳng ,điều kiện bài toán cho ta được

a

_x 0; _y p (kN/cm²); _z 0

P

x

_z0; _y 0 ; _x 0

A

z

Định luật Hooke cho biến dạng dài:

H.4.11

1

_x



_x ( _y_z)



0

E

1

p

E

_z



_z (_x_y)







0-(-p-p)





(1 )

E

_x p  -(0,361)  0,36 kN/cm²

1

 p

E

 _y



 _y ( _x _z)





(1-²)

E

1 2

_vV 



 _x _y _z)



V

E

Biến dạng thể tích tuyệt đối:

1-(20,36)





 0,36 1

(555)  -0,0595cm³



800

H.4.5

Bài tập 4 : Một tấm mỏng có kích thước như trên h.4.5 chịu

tác dụng của ứng suất kéo  =30kN/cm²theo phương chiều dài

của tấm và ứng suất tiếp  =15 kN/cm².

N



25 MM

30⁰



a) Xác định ứng suất pháp theo phươngđường chéo mn và

M

phương vuông góc với đường chéo

b) Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn.

Cho E = 2.10⁴kN/cm²,  = 0,3

Giải:

1

_u _mm

_u



_u _v



Gọi:

, mà:

(bài toán phẳng)

E

30  0 30 0

_u



cos60⁰(15)sin60⁰ 35,5kN / cm²

2

1

E

_u _mm



_u (_x_u)

1,8575.10^3



l_u l_mm1,8575.10^350  0,093mm

______________________________________________________________

Chương 4: TTƯS 19 Lê Đức Thanh

Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 4+5 - Lê Đức Thanh