Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp - Lê Đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Chương 10
THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
I. KHÁI NIỆM
Định nghĩa: Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt
cắt ngang có nhiều thành phần nội lực tác dụng như lực dọc
Nz, mômen uốn Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1).
Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt
đến sự chịu lực của thanh rất nhỏ so với các thành phần nội
lực khác nên trong tính toán không xét đến lực cắt.
Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp
Mx
Mz
0
z
Nz
x
My
y
Áp dụng Nguyên lý cộng tác dụng:
“Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra
H.10.1
sẽ bằng tổng các đại lượng của từng nguyên nhân riêng lẽ gây ra“(Chương 1)
Thí dụ các dạng sơ đồ chịu lực như sau:
A
q
x
q
B
z
A
l
P=ql
P=qL
y
L
q
B
C
l
P=ql
P
B
A
L
L
x
z
C
A
L
D
B
P=qL
2P
2l
C
y
l
l
Nhắc lại: Mx là momen xoay quanh trục x,lực tác dụng tác dụng trong mp(yoz)
My là momen xoay quanh trục y lực tác dụng tác dụng trong mp(xoz)
Mz là momen xoay quanh trục z lực tác dụng tác dụng trong mp(xoy)
Chú ý khi vẽ các biểu đố nội lực: Momen uốn luôn vẽ về phía chịu kéo của thanh.
II. THANH CHỊU UỐN XIÊN
1) Định nghĩa – Nội lực
Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành
phần nội lực là mômen uốn Mx và mômen uốn My tác dụng trong
các mặt phẳng yoz và xoz (Hình 10.2)
Mx
0
z
x
Dấu của Mx , My (hệ trục được mặc định như hình vẽ)
My
Mx 0 khi căng (kéo) phía dương của trục y
My 0 khi căng (kéo) phía dương của trục x.
y
H.10.2
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
1
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Mx tác động trong mp(yoz)
My tác động trong mp(xoz)
x
Mx
My
z
z
Mx
z
My
x
z
y
x
x
y
y
y
Theo Cơ học lý thuyết, ta có thể biểu diễn mômen Mx và My bằng các véctơ mômen Mx
và My (nằm trên hai trục theo qui tắc vặn nút chai của bàn
tay phải (H.10.2); Hợp hai véctơ mômen Mx và My nầy có
vectơ mômen tổng Mu.Chuyển vectơ Mu thành momen Mu
nằm trong mặt phẳng v chứa trục z, và thẳng góc với
phương u (H.10.3).
Mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng chứa Mu.
Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang là
Đường tải trọng
Mu
x
Mx
z
0
My
Mu
y
Ký hiệu : Góc hợp bởi trục x và đường tải trọng;
Mx
M Mx2 My2
tan
Hinh10.3
Ta có:
và
(10.1)
u
M y
Định nghĩa khác của uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên khi trên các mặt cắt ngang chỉ
có một mômen uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt
phẳng quán tính chính trung tâm y0z hay x0z.
Đặc biệt, đối với thanh tiết diện tròn, mọi đường kính đều là trục chính trung tâm
(trục đối xứng), nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng quán tính
chính trung tâm. Do đó, mặt cắt ngang thanh tròn luôn luôn chỉ chịu uốn phẳng.
2- Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
Theo nguyên lý cộng tác dụng, tại một điểm C(x,y) bất kỳ trên
tiết diện, ứng suất do hai mơmen Mx , My gây ra tính theo công
thức sau (H10.4)
Mx
0
My
Iy
Mx
Ix
z
z
y
x
x
(10.2)
My
.
Trong (10.2), số hạng thứ nhất là ứng suất pháp do Mx gây ra,
số hạng thứ hai là ứng suất pháp do My gây ra.
C(x,y)
y
Công thức (10.2) là công thức đại số, vì các mômen uốn Mx,
My và tọa độ điểm C(x,y) có dấu đại số.
H.10.4
Trong tính toán thực hành, dùng công thức kỹ thuật như sau:
My
Iy
Mx
Ix
z
y
x
(10.3)
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
2
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Lấy dấu (+) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu kéo .
Lấy dấu (–) khi điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu nén.
H.10.5 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen
_
_
_
_
uốn Mx (+) ,(- ) và My
Thí dụ1.
x
+
_
Tiết diện chữ nhật bxh =2040cm2 chịu uốn xiên (H.10.6), Tính
ứng suất tại B. Cho
y
Mx = 8kNm và My = 5kNm. Chiều hệ trục chọn như vẽ.
Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB = - 20 cm)
+ Tính theo (10.2) như sau:
H.10.5
800
20(40)3
12
500
40(20)3
12
B
(20)
(10) 0,0375kN /cm2
B
Mx
+ Tính theo (10.3) công thức kỹ thuật như sau:
Mx gây kéo những điểm nằm dưới 0y và gây nén những điểm
trên oy;
0
z
x
My
.
My gây kéo những điểm bên phải 0x và gây nén những điểm
bên trái 0x.
C(x,y)
y
Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu
(–) trên tiết diện (H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; Mx gây
H.10.6
800
20(40)3
12
500
40(20)3
12
B
20
10 0,0375kN / cm2
nén; My gây kéo.
3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất
Công thức(10.3) là một hàm hai biến, đồ thị là một mặt phẳng trong hệ trục Oxyz. Nếu
biểu diễn giá trị ứng suất pháp z
cho ở (10.3) bằng các đoạn thẳng
Đường trung hòa
đại số theo trục z định hướng
x
dương ra ngoài mặt cắt và ngược
lại.(H.10.7)Ta được một mặt phẳng
chứa đầu mút các véctơ ứng suất
pháp tại mọi điểm trên tiết diện,
gọi là mặt ứng suất
x
min
0
0
-
y
Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và
mặt cắt ngang là đường trung hòa,
vì vậy:
y
+
H.10.7
max
Biểu đồ ứng suất phẳng
Mặt phẳng ứng suất
Cho biểu thức z = 0, ta được
phương trình đường trung hòa: đường trung hòa là một đường thẳng và là quỹ tích
của những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp bằng không.
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
3
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
My
Iy
My
I
Mx
Ix
z
y
x 0 y (
x )x
Mx Iy
(10.4)
Phương trình (10.4) có dạng y = ax, đường trung hòa là một đường thẳng qua gốc tọa
độ, và có hệ số góc tính theo công thức:
My
Ix
Mx Iy
tg
(Mx, My mang dấu đại số)
Nhận xét:
- Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo và miền chịu nén.
-Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung hòa có cùng giá
trị ứng suất.
- Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất của các điểm trên một đường thẳng vuông
góc đường trung hòa tăng theo luật bậc nhất.
Dựa trên các tính chất nầy, có thể biểu diễn sự phân bố bằng biểu đồ ứng suất phẳng
như sau.
Kéo dài đường trung hòa, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung hòa tại K, ứng
suất tại mọi điểm trên đường trung hòa (z = 0) biểu diễn bằng điểm K trên đường
chuẩn.Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm nào có chân hình chiếu xa K nhất là những
điểm chịu ứng suất pháp lớn nhất.
- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max.
- Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min
Tính max, min và biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía của đường chuẩn rồi nối
lại bằng đường thẳng, đó là biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng suất tại mọi điểm của tiết
diện trên đường thẳng song song với đường trung hòa chính là một tung độ trên biểu đồ
ứng suất xác định như ở (H.10.7).
4- Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền
- Ứng suất pháp cực trị:
Gọi B(xkmax, ykmax) và C(xnmax, ynmax) là hai điểm xa đường trung hòa nhất về phía chịu
kéo và chịu nén, công thức (10.4) cho:
M y
Iy
xmk ax
M y
Wxk Wyk
M x
Ix
ymk ax
M x
M y
Iy
Mx
Ix
ymk ax
xmk ax
B max
M y
Wxn Wyn
M y
xmnax
Mx
Mx
C min
ymnax
Ix
Iy
Đặt:
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
4
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
M y
xmk ax
M y
xmnax
Mx
ymk ax
Mx
ymnax
k
y
n
y
W
k
,W
W
n
,W
x
x
Trường hợp thường dùng:
†Đối với thanh có tiết diện chữ nhật bxh (hay nội tiếp trong hình chữ nhật) điểm xa
đường trung hòa nhất luôn luôn là các điểm góc của tiết diện, khi đó:
b
h
Wxk Wxn Wx ,Wyk Wyn Wy
b
/
h
2
xB= xB = ; yC = yB =
2
2
2
C/
My
My
Mx
Mx
Wx
hb2
C
min
max
;
(10,5)
Wx
Wy
Wy
B/
bh2
B
Ix
Ix
Wx
; Wy
với:
h/2
6
b/ 2
6
† Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai mômen uốn
Mx, My trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng là Mu tác dụng trong mặt
phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm , Như vậy tiết diện tròn: chỉ
chịu uốn phẳng, do đó:
.D3
32
Mu
max,min
; Mu Mx2 My2 ; Wu Wx
0,1D3
(10.6)
Wu
Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp,
không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai điểm nguy hiểm là hai điểm
chịu max, min, tiết diện bền khi hai điểm nguy hiểm thỏa điều kiện bền:
Đối với vật liệu dòn: [ ]k # [ ]n
max []k; min []n
Đối với vật liệu dẻo: [ ]k = [ ]n = [ ], điều kiện bền được thỏa khi:
max max,min []
Thí dụ2.
Một dầm tiết diện chữ nhật (12x20) cm chịu lực như trên H.10.8.a.
a) Vẽ biểu đồ nội lực,
b) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại mặt cắt ngàm.
c) Xác định đường trung hòa và tính ứng suất max, min tại tiết diện ngàm.
Cho: P =5,0kN(tác dụng trong mp(xoy) , L= 2m , =300 .
Giải.
Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x :mp(xoz) và y:mp(yoz), (chọn như
hình vẽ)và tính mômen đối với ngàm ta được:
Py = P.cos300 Mx = Py.L = 8,66kNm
Px = P.sin300 My = Px.L = 5kNm
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
5
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ.
Trong mặt phẳng (yOz), thanh chịu lực Py, biểu đồ mômen Mx ; Tương tự, trong
mặt phẳng (xOz), thanh chịu lực Px ,biểu đồ mômen My ; Biểu đồ mômen uốn vẽ chung
trên H.10.8.b.
8,66kNm
Mx
L=2m
5, 0kNm
12cm
M x
20cm
x
My
MY
z
y
Px
x
x
P
H.10.8b
z
H.10.8a
y
Py
y
My
Ix
Phương trình đường trung hòa:
y
.x
(a)
Mx Iy
Tại tiết diện ngàm: Mx = 8,66 kNm ; My = 5,0kNm
Chiều Mx và My biểu diễn ở H.10.8.b, nếu chọn chiều dương của trục x và y như trên
H.10.9.a thì trong (a), mômen uốn Mx có dấu - và My có dấu +.
500 12x203 /12
Ta có:
y
.
x 1,61.x
(b)
20x123 /12
866
Suy ra = 580
A
+
+
+
+
-
+
+
Mx
-
x
x
x
-
-
-
-
-
-
+
+
My
B
y
y
z
b) +, - do Mx
do My
y
c)Đường trung hòa
a)
+
-
H.10.9
Đường trung hòa vẽ trên H10.9.c.
Điểm chịu kéo lớn nhất là điểm A(xA=6cm,yA=10cm), điểm chịu nén nhiều nhất
là điểm B đối xứng với A qua trọng tâm mặt cắt.
Áp dụng công thức (10.6), ta có:
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
6
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
866
500
kN
A max
0,342
12x202 20x122
cm 2
6
6
kN
B min 0,342
cm 2
Nếu thay tiết diện chữ nhật bằng hình tròn d=10cm. Tính lại max
,
min
Mu
Wu
1
32
103
max,min
Mx2 M y2
(866)2 (500)2 2,56kN /cm2
d3
32
Thí dụ3.
Cho dầm có gối tựa đơn bằng gỗ, tiết diện tròn đường kính D =16cm, chịu lưc như
hình vẽ. Xác định trị số [P] theo điều kiện bền .
Cho L = 50cm, [ ] =1,2kN/cm2.
Giải
4PL
3
2PL
3
5PL
3
Tại mặt cắt B: Mx =
Tại mặt cắt C: Mx =
và My =
Mu Mx2 My2 1,49PL
PL
3
và My =
Mu Mx2 My2 1,7PL
Mu
W
1,7PL
D3
32
Vậy mặt cắt nguy hiểm tại C có :max min
1,2
P
5,67KN
P
P
x
C
D
A
z
D
B
x
2P
y
2
L
3L
2L
y
2PL
3
5PL
3
Hinh 10.10
PL
3
4PL
3
Thí dụ 4. (Tự đọc)
Một dầm tiết diện tròn chịu lực như
hình vẽ.
300
P
2P
P
2P
300
x
a) Vẽ biểu đồ nội lực,
K
A
b)Tính max, min. tại mặt cắt nguy hiểm
theo P, L. (với L=1m).Từ đó có thể:
- Kiểm tra bền
B
C
2m
1m
1m
y
D
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
7
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
-Chọn tiết diện tròn, hay vành khăn.
Giải.
Phân tích lực theo hai phương và biểu đồ momen như hình bên
MuB Mx2 M y2 0,925PL
,
Muc Mx2 M y2 1,525PL
Trường hợp nầy có thể làm như sau:
Nếu xoay hệ trục theo phương lực
tác dụng thì không cần phân tích lực
và biểu đồ như hình bên dưới (uốn
thuần túy)
P 3
P
p 3
x
y
2
B
A
z
K
C
P
2
MuB Mx2 M y2 0,925PL
PL 3
PL
1
2
3
3 3
4 2
Muc Mx2 M y2 1,525PL
4
B
C
Nhận xét:
PL
3
3
PL
3
1
4
2
P
P
2P
4
2
X
Y
B
A
2P
z
K
X
C
Nội lực tại mặt cắt B và C như
nhau cho hai trường hợp tính.
Mặt cắt C có nội lực lớn nhất
Tính ứng suất như thí dụ 3.
Y
PL
3PL
M y
B
M y
C
2
2
D
PL
M x
3PL
4
M x
4
Thí dụ 5 : Tìm D, d .
d
2
0,9
Cho [ ]=16kN/cm P=10kN,
,
D
P
P
P
P
P
x
D
B
C
L
P
y
d
L=1m
L
L
PL
1,5PL
1,5PL
2PL
Thí dụ 6:
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
8
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Vẽ Mx, My ,Tìm b. Cho q=2kN/m, L=1m, [ ]=10kN/cm2
q
x
q
q
1,5b
y
30o
2L
L
2L
b
III. THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN )
1- Định nghĩa
Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng thời khi trên
các mặt cắt ngang có các thành phần nội lực là mômen
uốn Mu và lực dọc Nz.
Mx
0
Mu là mômen uốn tác dụng trong mặt phẳng chứa trục z,
luôn luôn có thể phân thành hai mômen uốn Mx và My trong
mặt phẳng đối xứng yOz và xOz (H.10.13).
z
Nz
x
.
My
z
C(x,y)
Dấu Mx và My qui ước giống uốn xiên.
Nz > 0 gây kéo (hướng ra ngoài mặt cắt).
Nz < 0 gây nén. (hướng vào mặt cắt).
y
H.10.13
2- Công thức ứng suất pháp
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy bài tóan đang
xét là tổ hợp của thanh chịu uốn xiên và kéo (hay nén) đúng
tâm. Do đó, tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có tọa độ
(x,y) chịu tác dụng của ứng suất pháp
-
-
Mx
+
0
y
z
+
x
My
Iy
Nz
A
Mx
Ix
-
y
x
tính theo công thức sau:
(10.7)
z
+
My
Các số hạng trong công thức (10.7) là số đại số, ứng suất do Nz
lấy (+) khi lực dọc là kéo và ngược lại lực nén lấy dấu (-).
Ứng suất do Mx, My lấy dấu như trong công thức (10.1) của
uốn xiên,
H.10.4
Do My
Do Mx
+
-
Khi tính toán thực hành, ta cũng có công thức kỹ thuật:
+
Do Nz
+
Nz
A
My
Iy
Mx
Ix
Z
y
x
(10.8)
Trong công thức trên ứng với mỗi số hạng Mx, My ta lấy dấu (+) nếu đại lượng đó
gây kéo và ngược lại. Còn Nz > 0 (+) khi kéo, Nz< 0 (-) khi nén
Thí dụ 7:
Cho cột chịu lực như hình vẽ P1=120kN, P2=20kN
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
9
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
a) Vẽ hình chỉ rõ nội lực tại chân cột.
b) Tính ứng suất tại K,B,C.
(Bỏ qua trọng lượng bản thân cột)
Giải
P1 = gây nén , P2 gây uốn Mx ,q gây uốn My, tại chân cột
Nz = P1 = 120 kN (gây nén)
Mx = P2.H = 20.4 =80kNm
H 2
My = q
= 2.8 =16kNm
z
2
P1
P2
z
x
h=20cm
N z
0
C
My
+
Mx
_
+
+
y
o
x
x
_
q = 2kN/m
_
+
_
H =4m
K
B
y
y
b =15cm
C
_
Mx(+,-) My
Nz (-)
Để áp dụng công thức (10.12), có thể biểu diễn tác
dụng gây kéo, nén của các thnh phần nội lực như ở
hình vẽ với điểm K,B,C có:
K
B
xK =7,5cm, yK =10cm.
Nz
A
My
Iy
Mx
Ix
Z
y
x
120
8000
15 203
12
1600
120
8000
1600
c
(10)
(7,5)
K
(10)
(7,5)
20153
15 203
20153
20.15
20.15
,
12
12
12
c 0,4 8 2,13 9,73 kN/cm2
K 0,4 8 2,13 10,53 kN/cm2
120
8000
15 203
12
1600
B
(10)
(7,5)
20153
20.40
12
B 0,4 8 2,13 6,27 kN/cm2
3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp
Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (10.7) là một hàm hai
biến z = f(x,y), nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và z định
hướng dương ra ngòai mặt cắt, thì hàm (10.11) biểu diễn một mặt phẳng, gọi là mặt ứng
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
10
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa. Dễ thấy rằng, đường
trung hòa là một đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có ứng suất
pháp bằng không. Từ đó, cho z = 0, ta có phương trình đường trung hòa:
My
Nz
A Mx
Ix
Ix
y
x
(10.9)
Mx Iy
Phương trình (10.13) có dạng y = ax + b, đó là một đường thẳng không qua gốc
Nz .Ix
A.Mx
b
tọa độ, cắt trục y tại tung độ
.
Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường song
song đường trung hòa có cùng giá trị ứng suất, những điểm xa đường trung hòa nhất có
giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất trên một đường vuông góc với đường trung hòa thay
đổi theo quy luật bậc nhất.
- Đường trung hòa chia
Đường trung hồ
tiết diện thành hai miền,
miền chịu ứng suất kéo và
miền chịu ứng suất
nén.Nhờ các tính chất
nầy, có thể biểu diễn sự
phân bố của ứng suất
pháp trên mặt cắt ngang
bằng biểu đồ ứng suất
phẳng như sau.
min
x
x
-
0
0
y
z
N/A
y
+
-Kéo dài đường trung hòa
ra ngòai tiết diện, vẽ
đường chuẩn vuông góc
với đường kéo dài tại
max
Biểu đồ ứng suất phẳng
H.10.14
Mặt phẳng ứng suất
điểm O, đó cũng là điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp tại mọi điểm trên đường trung
hòa. Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu mọi điểm trên những đường song song
đường trung hòa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O nhất chịu ứng suất
pháp lớn nhất.
-Điểm xa nhất về miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là max,
-Điểm xa nhất về miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là min.
Biểu diễn giá trị max, min bằng các tung độ về hai phía đường chuẩn rồi nối chúng lại
bằng đường thẳng, ta được biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.14)
4. Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền
Gọi xmKax ,và ymKax là điểm chịu kéo xa đường trung hòa nhất.
Và xmNax và ymNax là điểm chịu nén xa đường trung hòa nhất.
Theo (10.14), ta nhận xét, khi ứng suất có lực dọc trái dấu với ứng suất do Mx, My
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
11
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
và trị số lực dọc lớn hơn tổng trị số tuyệt đối các ứng suất do Mx, My, lúc đó đường
trung hồ nằm ngoài mặt cắt, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất một dấu (chỉ chịu kéo
hoặc chỉ chịu nén).
- Với thanh có tiết diện chữ nhật, các điểm nguy hiểm C,B luôn luôn là các điểm
M y
Wy
Nz M x
c max
B min
A
Wx
góc của tiết diện:
(10.10)
M y
Wy
Nz M x
A
b
Wx
h
Wxk Wxn Wx ,Wyk Wyn Wy
Lúc đó :
2
2
- Thanh có tiết diện tròn, mômen tổng của Mx, My là Mu gây uốn thuần túy phẳng,
khi đó ta có công thức tính ứng suất pháp cực trị:
Nz Mu
c max
A
Wu
Nz Mu
(10.11)
B min
A
Wu
D3
32
Mu Mx2 My2
,
Wu Wx
Áp dụng thí dụ trên 10.10
M y
Wy
Nz M x
120
8000 1600
c max
B min
9,73kN /cm2
10,53kN /cm2
A
Wx
15x20 1000 750
M y
Wy
Nz M x
120 8000 1600
A
Wx
15x20 1000 750
Thanh chịu uốn cộng kéo hay nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt cắt
ngang, tại điểm nguy hiểm, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiện bền của
thanh là:
[]k; min []n
Vật liệu dòn :
Vật liệu dẻo:
max
max max ,min []
max ,
min ,
Chú ý :Nếu lực dọc chịu kéo thì
Nếu lực dọc chịu nén thì
là lớn nhất
là lớn nhất
Cho thanh gãy khúc ABC tiết diện tròn và chịu lực như hình vẽ
a. Vẽ các biển đồ Mx,My,Nz
b. Tính ứng suất max, min tại ngàm A
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
12
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Cho q=2kN/m, a=2m
D=10cm
2qa2
x
A
x
y
P1=2qa
y A
a
-
2P
B
B
qa2
qa
a
a
(2qL2 )2 (qL2 )2
Nz Mu
qa
102
4
max
18,18kN /cm2
103
32
A Wu
(2qL2 )2 (qL2 )2
Nz Mu
qa
102
4
min
(
18,28kN /cm2
103
32
A Wu
5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm
Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm khi trên mặt cắt ngang chỉ có một lực P song
song trục thanh và không trùng với trục thanh. (H.10.14.a).
Mx
xk
K
x
x
0
0
z
z
Nz
yk
P
My
K(xk,yk)
y
y
H.10.14a
H.10.14b
Trong thực tế, bài toán nén lệch tâm rất thường gặp trong tính toán cột, móng nhà công
nghiệp hay dân dụng, trong tính toán trụ, móng cẩu tháp...
Áp dụng nguyên lý dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm về tâm tiết diện, ta có
thể chứng minh trường hợp nầy thực chất là bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời.
Trên H.10.14.a, gọi K(xK, yK) là tọa độ điểm đặt lực lệch tâm P, dời về tâm O, ta có:
N P
,lấy (+) khi P là lực kéo, ngược lại, lấy (–).
z
Mx = P.yK ,v My = P.xK
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
13
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Chiều của mômen lấy theo nguyên lý dời lực.
Do đó, tất cả công thức đã được thiết lập cho bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời
đều áp dụng được cho bài toán kéo hay nén lệch tâm.
Đối với thanh chịu kéo hay nén lệch tâm, phương trình đường trung hòa có thể viết ở
dạng khác. Cho biểu thức z trong (10.9) bằng không, ta được phương trình đường
trung hòa
M y
Iy
Nz Mx
z
y
x0
Thay: Mx Nz yK ;M y Nz xK
A
Ix
N
yK .A
xK .A
z [1
y
x] 0
A
Ix
Iy
Iy
A
I
Nz Nz .yK
Nz xK
Iy
ix
x ; iy
với :
y
x 0
A
A
Ix
yK .y xK .x
1
0
ix2
iy2
iy2
a ; b
xK
ix2
yK
Đặt:
Ta thu được dạng khác của phương trình đường trung hòa :
x
a
y
b
1
(10.12)
Từ (10.12) ta thấy đường trung hòa có các tính chất sau:
- Đường trung hòa cắt trục x tại a và trục y tại b.
- Đường trung hòa không bao giờ qua phần tư chứa điểm đặt lực K vì a và b luôn trái
dấu với xK, yK.
- Điểm đặt lực tiến gần tâm O của tiết diện thì đường trung hòa rời xa tâm vì xK, yK
giảm thì a, b tăng.
-Điểm đặt lực K nằm trên một trục đường trung hòa song song với trục kia.
- Khi đường trung hòa nằm ngòai tiết diện, trên tiết diện chỉ chịu ứng suất một dấu: kéo
hoặc
nén.
y
2
y2
y
k
k1
y1
k
k1
x1
a3
a2
x
x
a2
0
0
a1
k
x2
b1
b3
b2
b1
3
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
14
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Lỏi tiết diện( Ngành XD tự đọc)
Gọi lõi tiết diện là một miền kín bao quanh tâm của tiết diện và thoả mãn tính chất:
-Nếu lực lệch tâm đặt trong miền kín đó thì đường trung hòa hoàn toàn nằm ngoài tiết
diện.
-Nếu lực lệch tâm đặt trên chu vi của miền kín thì đường trung hòa tiếp tuyến với chu
vi của tiết diện. Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chỉ chịu nén tốt như gạch, đá, gang,
bêtông không thép..., nếu chúng chịu nén lệch tâm mà lực nén đặt ngoài lỏi tiết diện,
ứng suất kéo phát sinh có thể lớn hơn khả năng chịu kéo của chúng, khi đó vật liệu sẽ
bị phá hoại, để tận dụng tốt khả năng chịu lực của vật liệu cần thiết kế đặt lực nén trong
lỏi tiết diện.
Có thể xác định lỏi tiết diện theo cách sau:
- Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của tiết diện.
- Cho đường trung hòa tiếp xúc một cạnh tiết diện, từ đó ta viết được phương
trình đường trung hòa,( biết ai,bi )rồi suy ra tọa độ điểm đặt lực Ki tương ứng
với vị trí đường trung hòa. Áp dụng cách tương tự đối với tất cả các cạnh còn
lại, nối vị trí các điểm đặt lực, ta được lỏi tiết diện. Để ý rằng, dù tiết diện là
đa giác lõm thì lỏi tiết diện luôn là một đa giác lồi.
Ví dụ: tiết diện chữ nhật (H.10.15).
Khi đường trung hòa trùng cạnh AB:
Đường trung hịa
y
x
y
h / 2
1
A
B
iy2
xK
ix2
yK
x
O
h
xK 0
h
2
h2
h
6
yK
C
h
12.
D
Đường trung hịa
2
b
Khi đường trung hòa trùng cạnh BC:
x
y
1
Li tiết diện chữ nhật
b / 2
iy2
b
2
b2
12.b / 2
b
6
Hình 10.15
xK
xK
ix2
yK
yK 0
Do tính đối xứng của tiết diện, khi đường trung hòa trùng cạnh CD, AD, ta xác định hai
điểm K tương ứng có tọa độ lần lượt là:
y
xK = 0; yK = và xK = 6b ; yK = 0
h
Đường trung hịa
6
Nối các điểm K, ta được lỏi tiết diện của tiết diện chữ
nhật là một hình thoi có đỉnh trên trục x,y (H.10.15).
- Tiết diện tròn (H.10.16)
x
O
D
/8
Khi đường trung hòa là một tiếp tuyến với đường tròn
D
Lỏi tiết diện trịn
Hình 10.16
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
15
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
x
y
1
D / 2
iy2
xK
ix2
yK
tại
:
xK 0;
.D4
D / 2
D
8
yK
.D2
4
D
2
64.
Do tính đối xứng của tiết diện, ta thấy lỏi tiết diện là một đường tròn đồng tâm
đường kính D/8.
Thí dụ 8 :
Một thanh tiết diện chữ nhật (bxh), chịu tác dụng của ngoại lực như H.10.17.a
a) Vẽ biểu đồ nội lực, và biểu diễn nội lực tại mặt cắt ngàm.
b) Tính max, min.và chỉ rõ các điểm trên mặt cắt.
c) Xác định đường trung hòa tại mặt cắt ngàm.
Cho: q =10kN/m, P =100kN, H = 4 m, h = 20 cm , b =15 cm.
Giải
Dời lực P về tâm 0 sẽ gây ra Mx, My tại đầu cột là hằng số theo H ,và q là bậc hai theo
H bằng không tại đầu cột và lớn nhất tại chân cột
Biểu đồ nội lực do từng nguyên nhân gây ra được vẽ trên H.10.17.b.
Tại ngàm, nội lực có giá trị lớn nhất (do P và q gây ra)
Nz = – P = -100 kN ,Mx = P.b/2 = 100.7,5 =750 kNcm
My = qH2/2 – P.h/2=10.4.400/2-100.10 = 7000kNcm
z
D
C
_
P
Mx(+,- )
h
2
-
P
x
_
0
x
b=15cm
H=4m
Mx
y
B
K
Nz
y
q=10kN/m
C
Mx
B
D
My
C
0
x
h=20cm
B
K
y
qH 2
b
2
M x = P
h
2
K
M y =
-p
y
2
x
y
Hình 17a,b,c
Đường trung hồ
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
16
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Áp dụng công thức (10.12):
100
750
7000
K
0,125 1,0 7,0 6,125kN / cm2
20.152 15.202
15.20
6
6
100
750
7000
max,min
20.152 15.202
15.20
6
6
7,875kN/cm 2 (taïiB)
8,125 kN/cm 2 (taïiD)
0.125 1,0 7,0
Phương trình đường trung hịa:
My
Nz
A Mx
Ix
Ix
y
.x
.
(a)
Mx Iy
Chọn hệ trục x,y như hình vẽ .(Mx,v My dương)
20153
20153
7000
750
100.
15.20
y (
)x
.
5,25x 2,5 = 790
12
12
750
15 203
12
Thí du 9:
Kiểm tra bền tại mặt cắt chân móng có mặt cắt ngang hình chữ nhật bxh,
[]k =60N/cm2,[]n =700N/cm2, P=6kN đặt lệch tâm 20cm so với trọng tâm mặt cắt
chân móng.
Cho b =18cm, h = 20cm, Q=12kN.
M y
Iy
Nz
A
Đường trung hòa
x
. 0 x 5cm
e=20cm
P
50
1800 120000
max,min
N / cm2
18.1202
18.20
150
6
z
z
My= 10x200kNcm
N=P
My= 6x20kNcm
N=P+Q
Q
x
0
x
0
K
x
y
b
y
h
Hình 1
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
17
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
2m
Thí dụ10:
Xác định tiết diện cột AB, cho []=16kN/cm2
B
K
P = 10kN
M y
Wy
Nz
A
10
b.2b
2000.6
b(2b)2
max
,max
16
Ở đây ta bỏ qua lực dọc để tìm b. Sau khi tìm được b phải kiểm tra
lại điều kiện bền với b vừa tìm. Nếu chưa thỏa ta tăng b lên và kiểm
tra lại.(chuyển bài tóan thiết kế sang bài toán kiểm tra)
b
2b
Thí dụ11 :
a) Vẽ biểu đồ Mx,My,Nz của thanh gẫy khúc KBC
b) Tìm [q].Cho [] =16kN/cm2, L=50cm
Mx =2 qL2
K
q
My =2,5 qL2
d=10cm
P = 2qL
-
L
Nz=2qL
b
C
B
L
P = 2qL
Điều kiện bền:
Nz Mu
min
max
A
Wu
(2qL2 )2 (2,5qL2 )
2qL
d2
4
16 q 19,3kN / m
d3
32
IV. UỐN CỘNG XOẮN
1- Định nghĩa
Thanh chịu uốn cộng xoắn khi trên các mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời
của mômen uốn Mu trong mặt phẳng chứa trục thanh và mômen xoắn Mz.
2- Tiết diện tròn
Thanh tiết diện tròn chịu uốn và xoắn đồng thời rất thường gặp khi tính trục truyền
động vì quá trình truyền tác dụng xoắn qua các puli luôn kèm theo tác dụng uốn do lực
căng dây đai, do trọng lượng bản thân trục, puli...
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
18
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Xét một thanh tiết diện tròn chịu tác dụng của mômen uốn Mu (chỉ là uốn đơn) và
mômen xoắn Mz(H.10.21.a).(Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng trong những mặt
phẳng khác nhau, ta luôn luôn có thể phân tích chíng thành các thành phần tác dụng
trong hai mặt phẳng vuơng góc, và mômen tổng Mu = Mx2 My2
)
max
Mz
min
A
A
o
o
B
max
Mu
B
Nz
max
H.21. a.b
Biểu đồ ứng suất (h.21-b)
Dưới tác dụng của mômen uốn Mu, hai điểm A,B chịu ứng suất pháp lớn nhất max, min,
ngòai ra, do tác dụng của mômen xoắn Mz tại hai điểm A, B còn chịu ứng suất tiếp max,
đó là hai điểm nguy hiểm nhất trên tiết diện.
Mu
Wu
max,min
; Mu Mx2 My2
Ta có:
(10.13)
Mz
Wp 2Wx
Mz
max
Phân tố đang xét tại A và B vừa chịu ứng suất pháp vừa chịu ứng suất tiếp, đó là phân
tố ở trạng thái ứng suất phẳng.
Điều kiện bền:
2 4 2 []
Theo thuyết bền thứ 3:
1
2
2
Mx M y2 Mz []
(10.14)
Wx
2 3 2 []
Theo thuyết bền thứ 4:
1
3
2
2
Mx M y2 Mz [ ]
Wx
4
2- Thanh tiết diện chữ nhật (Ngành CK không học)
Uốn xoắn thanh tiết diện chữ nhật thường gặp trong công trình dân dụng như lanh tô đỡ ô văng,
dầm chịu lực ngòai mặt phẳng đối xứng, thanh chịu uốn trong hệ không gian...Xét một tiết diện chữ
nhật bxh chịu uốn xoắn (H.22) trong đó mômen uốn Mu đã được phân tích thành hai mômen uốn Mx,
My trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm yOz, xOz.
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được các kết quả như sau (H.22):
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
19
GV: Lê đức Thanh
Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu
Tại các góc tiết diện (A,B,C,D), chỉ có ứng suất pháp lớn
nhất do Mx,My, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:
H2
My
Wy
Mx
Wx
C
max,min
max
B
Mz
My
Mx
k
;
min
n
Điều kiện bền:
x
Tại điểm giữa cạnh ngắn (H1,H2), chịu ứng suất
pháp lớn nhất do Mx gây ra và ứng suất tiếp 1=max do Mz
gây ra. Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
K2
K1
Mx
Wx
D
z
A
max,min
; 1 max
H1
y
Điều kiện bền:
H.22
2 42 []
2 32 []
Theo thuyết bền thứ 3:
Theo thuyết bền thứ 4:
Tại điểm giữa cạnh dài (K1,K2), chịu ứng suất pháp lớn nhất do My và ứng suất
tiếp max do Mz gây ra phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
My
Wy
Mz
max,min
;
max
.h.b2
Điều kiện bền:
2 42 []
2 32 []
Theo thuyết bền thứ 3:
Theo thuyết bền thứ 4:
Như vậy ở tiết diện chữ nhật cả 3 phân tố phải cùng thỏa điều kiện bền.
Từ đó muốn tìm tải trọng hay tiết diện thường xuất phát từ điều kiện bền của TTƯS
đơn ,sau đó kiểm tra cho 2 phân tố còn lại
Thí dụ 12: Thanh tròn AB đường kính D =10cm chịu tác dụng của tải trọng như hình
vẽ
a) Vẽ biểu đồ nội lực.
b) Chọn [q] theo TB3 của điều kiện bền. Cho: P = qL; [] =16kN/cm2.
c) Tính AB . Cho G =8000kN/cm2.
Giải
D
Dời Lực P và 2P về trọng tâm 0 ta được lực 3P tác dụng theo phương x và M z P.
2
Biểu đồ nội lực được vẽ trên H.10.22.b, tại tiết diện ngàm có nội lực lớn nhất
Mx = qL2/2 My = 3pL =3qL2
Mz = pD/2 =qlx0,05
Điều kiện bền (TB3):
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp
20
GV: Lê đức Thanh
Tải về để xem bản đầy đủ
25 trang
13780
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_10_thanh_chiu_luc_phuc_ta.pdf
