Giáo trình Sức bền vật liệu 2 - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh thẳng
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu2
Chöông 9
XOAÉN THUAÀN TUÙY THANH THAÚNG.
. KHAÙI NIEÄM
1-Ñònh nghóa: Thanh chòu xoaén thuaàn tuùy khi treân caùc maët caét ngang chæ coù moät
thaønh phaàn noäi löïc laø moâmen xoaén Mz (H.9.1).
y
Daáu cuûa noäi löïc Mz: Mz 0 khi töø ngoaøi nhìn vaøo maët caét thaáy
Mz
Mz quay cuøng kim ñoàng hoà vaø ngöôïc laïi.
z
O
Ngoaïi löïc: Goàm caùc ngaãu löïc moâmen xoaén Mo, naèm trong maët
phaúng vuoâng goùc truïc thanh.
x
H. 9.1
Thöïc teá thöôøng gaëp: truïc truyeàn ñoäng,thanh chòu löïc khoâng
gian, daàm ñôõ oâvaêng...
2- Bieåu ñoà noäi löïc moâmen xoaén Mz
Bieåu ñoà moâmen xoaén ñöôïc veõ baèng phöông phaùp maët caét.Ñieàu kieän caân baèng
tónh hoïc: M/OZ = 0 cho ta noäi löïc Mz
Thí duï 1: Veõ bieåu ñoà Mz
M A =20N-m
m=20Nm/m
MC =10N-m
C
M A =30N-m
A
Mc=20N-m
M B =40N-m
B
D
B
C
A
L
0,5m
0,5m
0,5m
L
20N-m
30N-m
10N-m
+
_
_
10N-m
10N-m
Thöïc hieän maët caét ngang trong töøng ñoaïn, xeùt caân baèng phaàn beân traùi ( hay phaûi cuûa
maët caét), ngoaïi löïc laø ngaãu löïc xoaén M0,treân tieát dieän ñang xeùt phaûi coù noäi löïc laø
moâmen xoaén Mz ta veõ theo chieàu döông qui uôùc.(taïi maët caét coù Mo taäp trung treân
bieåu ñoà seõ coù böôùc nhaûy)
Laäp phöông trình caân baèng tænh hoïc:
M / z = 0 Mz
Thí duï3:Cho truïc coù tieát dieän thay ñoåi chòu löïc nhö hình veõ: Veõ bieåu ñoà noäi löïc
d2=10cm
d1=6cm
m=20Nm/m
40Nm
K
D
C
a
B
a
a=50cm
a
Chöông 9: Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
10Nm
m
z
0 < z < a
Mz-mz=0 Mz= mz
+
Mz
-
30Nm
3- Coâng thöùc chuyeån ñoåi coâng suaát ñoäng cô W(N-m/s) ra ngaãu löïc xoaén (moâmen xoaén ngoaïi
löïc M0(N.m) treân truïc.
Khi tính toaùn caùc truïc truyeàn ñoäng, thöôøng ta bieát coâng suaát truyeàn cuûa moâtô tính baèng maõ
löïc(CV) hay kiloâoùat(kW) vaø toác ñoä truïc quay baèng n (voøng/phuùt), do ñoù caàn chuyeån ñoåi coâng suaát
truyeàn ra ngaãu löïc xoaén taùc duïng leân truïc.
Giaû söû coù moät ngaãu löïc xoaén Mo(N.m) taùc duïng laøm truïc quay moät goùc (radian) trong thôøi
gian t, coâng sinh ra laø:
A = Mo.
A
t
Mo
t
t
W
Mo
Mo
Coâng suaát laø:
trong ñoù: - laø vaän toác goùc (rad/s), ñôn vò cuûa coâng suaát laø N.m/s.
Goïi n laø soá voøng quay cuûa truïc trong moät phuùt (voøng/phuùt), ta coù:
2n n
60
30
a)Neáu W tính baèng maõ löïc (CV, HP) ;1maõ löïc = 750N.m/s = 0,736 kW:
30W 30.750.W
W
Mo
7162 (Nm)
n
n
n
b) Neáu W tính baèng kiloâwat (KW), 1 KW 1020 N.m/s:
30W 30.1020.W
W
Mo
9740 (Nm)
.n
n
n
. XOAÉN THUAÀN TUYÙ THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN TROØN
Mz
Mz
b)
a)
H.9.2
dz
1- Thí nghieäm - Nhaän xeùt
Xeùt moät thanh thaúng tieát dieän troøn, treân maët ngoaøi vaïch nhöõng ñöôøng song song
vaø nhöõng ñöôøng troøn thaúng goùc vôùi truïc, taïo thaønh löôùi oâ vuoâng (H.9.2.a). Taùc duïng
leân hai ñaàu thanh ngaãu löïc xoaén Mz ngöôïc chieàu, ta thaáy truïc thanh vaãn thaúng, chieàu
daøi thanh khoâng ñoåi, nhöõng ñöôøng troøn thaúng goùc vôùi truïc vaãn troøn vaø thaúng goùc vôùi
truïc, nhöõng ñöôøng song song vôùi truïc thaønh nhöõng ñöôøng xoaén oác, löôùi oâ vuoâng
thaønh löôùi bình haønh (H.9.2.b).
2- Caùc giaû thieát : Trong quaù trình bieán daïng :
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
a) Maët caét ngang vaãn phaúng, thaúng goùc vôùi truïc thanh vaø khoaûng caùch khoâng ñoåi
b) Caùc baùn kính vaãn thaúng vaø khoâng ñoåi
Mz
c) caùc thôù doïc khoâng eùp vaø ñaåy laån nhau
3- Coâng thöùc öùng suaát tieáp
Ta tính öùng suaát taïi moät ñieåm baát kyø treân maët caét
ngang coù baùn kính ñeán taâm 0 (H.9.3).Theo thí nghieäm
z
z
O
H. 9.3
treân ta nhaän thaáy, bieán daïng cuûa thanh chòu xoaén thuaàn
tuùy chæ laø söï xoay töông ñoái giöõa caùc maët caét ngang quanh truïc z. Ñeå xeùt bieán daïng
xoaén cuûa moät phaân toá taïi moät ñieåm baát kyø coù baùn kính ta taùch phaân toá nhö sau :
Mz
d
A
A/
z
O
z
H. 9.4
z
dz
H. 9.3
Phaân toá tröôït thuaàn tuùy
Töø (H.9.3), ta coù:
AA
d
dz
tan =
(a)
AB
Theo giaû thieát a) khoâng coù bieán daïng daøi theo phöông doïc truïc, theo giaû thieát c)
caùc thôù doïc khoâng taùc duïng vôùi nhau neân khoâng coù öùng suaát phaùp taùc duïng leân caùc
maët cuûa phaân toá.
Do giaû thieát b),moïi baùn kính vaãn thaúng neân khoâng coù öùng suaát tieáp höôùng taâm
Nhö vaäy, treân maët caét ngang cuûa thanh chòu xoaén thuaàn tuùy chæ toàn taïi öùng suaát
tieáp theo phöông vuoâng goùc baùn kính vaø cuøng chieàu vôùi Mz goïi laø vaø phaân toá
ñang xeùt ôû traïng thaùi tröôït öùng suaát thuaàn tuùy (H.9.4).
AÙp duïng ñònh luaät Hooke veà tröôït cho phaân toá naøy, ta coù:
= G
(b)
d
dz
G
(a) vaøo (b)
(c)
p
Goïi dA laø moät dieän tích voâ cuøng beù bao quanh ñieåm ñang xeùt, thì .dA laø löïc tieáp
tuyeán taùc duïng treân dieän tích ño,ù vaø .dA. laø moâmen cuûa löïc dA ñoái vôùi taâm O.
Toång caùc moâmen naøy phaûi baèng Mz, neân ta coù theå vieát:
M dA
(d)
z
p
A
d
dz
dA
(e)
(c) vaøo (d) M G
z
A
Vì : d/dz laø haèng soá ñoái vôùi moïi ñieåm thuoäc maët caét A, neân ta coù theå
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
ñöa ra ngoaøi daáu tích phaân, khi ñoù tích phaân 2. .dA chính laø moâmen quaùn tính cöïc
A
d
dz
d
dz
Ip cuûa maët caét ngang ñoái vôùi taâm O, ta ñöôïc: Mz G
2dA G
I p (f)
A
d
dz
Mz
dz GI
d
töø (f) ta coù:
(g) Coù theå thaáy raèng,
chính laø goùc xoaén treân moät ñôn vò
Mz
GI
d
dz
chieàu daøi ( coøn goïi laø goùc xoaén tæ ñoái ) (rad/m). Ñaët:
, ta coù:
Mz
thay (g) vaøo (c) ta ñöôïc coâng thöùc tính öùng suaát tieáp:
I
Nhaän xeùt :ÖÙng suaát tieáp thay ñoåi theo quy luaät baäc nhaát, baèng khoâng taïi taâm O vaø
cöïc ñaïi taïi nhöõng ñieåm treân chu vi, cuøng chieàu vôùi Mz
Bieåu ñoà phaân boá öùng suaát tieáp taïi moïi ñieåm treân maët caét ngang theå hieän treân hình
Treân H.9.7.b, theå hieän öùng suaát tieáp ñoái öùng treân caùc maët caét chöùa truïc.
M z
M z
0
0
Hình 9.5a
mmaaxx
max
Hình 9.5b
ÖÙùng suaát tieáp cöïc ñaïi ôû caùc ñieåm treân chu vi ( = baùn kính R)
I
Mz
I
max
R
W
ñaët:
; Wp goïi laø moâmen choáng xoaén cuûa maët caét ngang
R
Mz
max
W
R3 D3
I
* Vôùi tieát dieän troøn ñaëc vaø D laø ñöôøng kính tieát dieän: W
0,2D3
R
2
16
D4 (1 4 ) 1 D3
I
* Vôùi tieát dieän troøn roãng: W
(1 4 ) 0,2D3 (1 4 )
R
32
R
16
trong ñoù: laø tyû soá giöõa ñöôøng kính trong vaø ñöôøng kính ngoaøi ( = d/D).
4- Coâng thöùc tính bieán daïng khi xoaén
Mz
GI
Goùc xoaén töông ñoái giöõa hai maët caét caùch nhau dz laø d
dz
(g)
Goùc xoaén töông ñoái giöõa hai maët caét caùch nhau moät ñoaïn daøi L laø:
L
L
d GMIz
dz
o
o
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Mz L
* Khi ñoaïn thanh coù Mz/GIp laø haèng soá
GIp
Mz L
GI
(
)
* Khi thanh goàm nhieàu ñoaïn, moãi ñoaïn coù Mz/GIp laø haèng soá:
i
i
Goùc xoaén ñöôïc quy öôùc döông theo chieàu döông cuûa Mz .
5- Tính toaùn thanh troøn chòu xoaén thuaàn tuyù:
M
W
n
z
0
° Ñieàu kieän beàn:
max
p
vôùi: o - laø öùng suaát tieáp nguy hieåm cuûa vaät lieäu, xaùc ñònh töø thí nghieäm
n : laø heä soá an toaøn.
[ ]
2
max
+ Theo thuyeát beàn öùng suaát tieáp(TB3):
[ ]
max
+ Theo thuyeát beàn theá naêng bieán ñoåi hình daïng(TB4):
° Ñieàu kieän cöùng: max [ ]
3
[ ]: Goùc xoaén tyû ñoái cho pheùp, ñöôïc cho töø caùc soå tay kyõ thuaät, ñôn vò cuûa [ ]
laø (radian/ ñôn vò chieàu daøi ).
Ba baøi toaùn cô baûn:
- Kieåm tra beàn, cöùng.
- Xaùc ñònh taûi troïng cho pheùp.
- Xaùc ñònh ñöôøng kính.
Thí du 3: Cho thanh coù tieát dieän troøn ñöôøng kính thay ñoåi. Ñoaïn BC coù d1=8cm, ñoaïn
CD coù d2 = 6 cm. (hình veõ)
a) Veõ bieâûu ñoà momen xoaén Mz
b) Tính goùc xoaén ñaàu D
c) Kieåm tra ñieàu kieän beàn vaø ñieàu kieâïn cöùng
Cho G = 8000kN/cm2, M0 =1kNm, [ ] = 0,560/m, [ ] =3,5kN/cm2
d1=8cm
d2=6cm
3M0
M0
z
B
C
D
40cm
-
60cm
M0
+
2M0
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
M z L
GI p
2100 60
100 40
BD
1,3473103 rad
32
8103 84 8103 64
i
i
32
200
100
BC
CD
max
1,99kN / cm2
,
2,36kN / cm2
max
100,48
42,39
M z
100
CD
max
[]
9,645105 radian / cm
GI p
8103 64
32
M z
200
BC
max
[]
6,104105 radian / cm
GI p
8103 84
32
0,563,14
Vôùi :
[]
9,769105 rdian / cm
180102
rad / m
0 / m
Coâng thöùc chuyeån ñoåi [ ]0/m sang [ ]rad/m
2
360
Coù theå tính BD baèng coäng taùc duïng:
100 40
100 60
300 60
BD
1,3473103 rad
32
8103 64 8103 84 8103 84
32
32
6- Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài
Theá naêng rieâng tích luõy trong moät ñôn vò theå tích laø:
1
u
[12 22 32 2(12 23 31 )]
2E
Thanh chòu xoaén thuaàn tuyù, TTÖS tröôït thuaàn tuyù vôùi öùng suaát tieáp , neân
1
u
2
1 = ; 2 = 0 vaø 3 = – , ta ñöôïc:
(a)
E
2
1
u
vôùi: E = 2 G/(1 + ), thay vaøo (a), ta ñöôïc:
(b)
2 G
dUudVudAdz
Theá naêng tích luõy trong moät ñoaïn dz laø:
(c) thay (b) vaøo (c)
V
A
2
M2
Mz2
Ip2
Mz2
1
dA.dz
1
12
p
2
dz 2dA
1
z
Ip2
dU
hay
dU
dz (d)
A 2 G
G
2G
2 GI p
A
A
Mz2
1 L
Vaäy theá naêng treân ñoaïn thanh coù chieàu daøi L laø:
U
dz
2 o GI p
M 2 L
1
z
+ Khi ñoaïn thanh coù Mz/GIp laø haèng soá U
2 GI p
Mz2 L
GI p
1
+ Khi thanh goàm nhieàu ñoaïn, moãi ñoaïn coù Mz/GJp laø haèng soá U
(
)
2
i
i
M 2dz
1
2 GI p
1
z
Hay coù theå tính TNBDÑH nhö sau : dA dU Mz .d
2
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
dz
Mz
Mz
GI p
d
dz
Mz
1 L
M z2
U A
dz
GI=hangso
2 o GI p
l
7- Daïng phaù hoûng cuûa caùc vaät lieäu
1
3
1
3
max
3
1
3
1
P
a)
b
H. 9.8 Traïng thaùi öùng suaát taïi moät ñieåm treân maët
ngoaøi cuûa thanh chòu xoaén
Nghieân cöùu traïng thaùi öùng suaát cuûa truïc troøn chòu xoaén, ta thaáy taïi moät ñieåm treân maët ngoaøi, phaân
toá ôû traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy chòu öùng suaát tieáp cöïc ñaïi max (H.9.a), ôû traïng thaùi naøy, theo hai
phöông nghieâng 45o so vôùi truïc coù öùng suaát keùo chính vaø öùng suaát neùn chính 1 = –3 =
(H.9.8.b).
Maët khaùc, qua thí nghieäm, ta
cuõng bieát raèng vaät lieäu deûo(nhö
theùp)chòu keùo, chòu neùn toát nhö
nhau, coøn chòu caét thì keùm hôn,
H. 9.10 Daïng nöùt gaõy cuûa vaät lieäu doøn
do ñoù, khi moät truïc theùp bò xoaén
seõ bò gaõy theo maët caét ngang, do
öùng suaát tieáp max treân maët caét
ngang (H.9.9).
H. 9.9 Daïng nöùt gaõy cuûa vaät lieäu deûo chòu xoaén
Vôùi vaät lieäu doøn nhö gang, chòu
neùn vaø chòu caét raát toát, coøn chòu keùo raát keùm neân khi xoaén seõ bò gaõy theo maët nghieâng 45o so vôùi
truïc do öùng suaát keùo chính 1 (H.9.10).
Vôùi vaät lieäu coù caáu taïo thôù nhö goã, chòu caét doïc thôù raát keùm neân khi xoaén seõ bò nöùt doïc theo
ñöôøng sinh do öùng suaát öùng suaát tieáp ñoái öùng vôùi öùng suaát tieáp treân maët
caét ngang (H.9.11).
Mz
Mz
H. 9.11 Daïng nöùt gaõy cuûa goã chòu xoaén
Thí duï 4. Moät ñoäng cô coù coâng suaát 50kW, truyeàn moät moâmen xoaén leân moät truïc
troøn hình vaønh khaên coù d=0,85D taïi tieát dieän K, vaän toác truïc n =3000 vg/phuùt. Giaû söû
hieäu suaát truyeàn laø100%.Khi ñoù taïi tieát dieän B,C nhaän ñöôïc coâng suaát truyeàn 30kW
vaø 20kW (H.9.12.a). Ñònh ñöôøng kính D, sau ñoù tính goùc xoaén BK .
Bieát: [ ]=16 kN/cm2; [ ] = 0,250/m; a = 50cm; G = 8.103 kN/cm2.
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Goïi ngaãu löïc xoaén taùc duïng taïi K, B, C laàn löôït laø M1, M2, M3. AÙp duïng coâng thöùc
chuyeån ñoåi, ta ñöôïc:
M1 = 9740 x 50 / 3000 = 162,37 N.m = 16,24 kNcm
M2 = 9740 x 30 / 3000 = 64,93N.m = 6,493kNcm
M3 = 9740 x 20/ 3000 = 97,4 N.m = 9,74kNcm
Sô ñoà tính cuûa truïc vaø bieåu ñoà moâmen veõ ôû hình döôùi ).
Ñònh ñöôøng kính D:
+ Theo ñieàu kieän beàn
50kW
30kW
20kW
D
C
K
B
2
M z
max []
[ ]
60cm
60cm
Wp
M z
9,74kN-cm
B
16,23kN-cm
K
3
d
D
6,49kN-cm
0,2.
1 (0,85)4
[ ]
vôùi: [] = [] = 8 kN/cm2 ;
2
C
9,74kN-cm
+
Mz = 9,74kNcm
_
D 4,7 cm
(a)
+ Theo ñieàu kieän cöùng:`
M z
6,49kN-cm
max []
[]
GI p
0,25
M z
4,36.105 rad /cm
=
9,53cm (b) vôùi: [ ]=0,250/m
;
4
D
G.0,1
1 (0,85)4
.
180
Ñeå thoûa caû hai yeâu caàu (a), (b), ta choïn D = 10 cm,d=8,5cm
Tính goùc xoaén KC: AÙp duïng coâng thöùc bieán daïng ta ñöôïc:
M z L
GI p
6,49 60
104
32
1,04.104 rad
BK
i
8103
1 (0,85)4
i
Baøøi toaùn sieâu tónh.
Thí duï 5 Moät thanh tieát dieän troøn ñöôøng kính thay ñoåi d vaø D=1,5d hai ñaàu ngaøm
chòu löïc nhö veõ.Veõ bieåu ñoà Mz vaø tính öùng suaát tieáp moãi ñoaïn.
Cho:M =10kNm , d=10cm.
M D
MK
IAB=5,0625JCD=4967,59cm4 ,ICD=981,25cm4
WCD=196,24cm3WAB=5,0625WCD=993,52cm3WCD=196,2
4cm3WAB=5, 0625WCD=993,52cm3
M
3M
B
K
D
C
d
L
L
L
M
M
3M
1,7kNm
_
K
D
+
1,5d
+
C
8,3kNm
L
L
28,3kNm
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Giaûi:
Ngoaïi löïc laø moâmen xoaén trong maët phaúng thaúng goùc vôùi truïc thanh thì phaûn löïc
phaùt sinh taïi caùc lieân keát ngaøm K vaø D laø caùc moâmen xoaén MK, MD trong caùc maët
phaúng thaúng goùc vôùi truïc thanh. Giaû söû MK, MD coù chieàu nhö treân hình veõ.
Ñeå xaùc ñònh moâmen phaûn löïc, vieát phöông trình caân baèng M/z = 0, ta coù:
MK - 3Mo - Mo + MD =0
(a)
Phöông trình (a) khoâng ñuû ñeå ñònh ñöôïc phaûn löïc MK,MD : Baøøi toaùn sieâu tónh.
Caàn boå sung moät (hay nhieàu) phöông trình thieát laäp töø ñieàu kieän bieán daïng cuûa
baøi toaùn (phöông trình ñieàu kieän bieán daïng).
Thöôøng caùch giaûi nhö sau:
+Töôûng töôïng boû ngaøm D, thay baèng phaûn löïc töông öùng MD
+Vieát phöông trình ñieàu kieän bieán daïng:
(Taïi D lieân keát ngaøm do ñoù goùc xoay KD = 0 )
+Tính AD : AÙp duïng nguyeân lyù coäng taùc duïng.
M z L
M D 2l M
2l M l M 2l 3Ml
D
KD
(
)
0
GI p
G.ICD
GIKB
GICD
GIKB
GIKB
i
+ Cho D = 0,
MD = 0,83M = 8,3kNm
830
2830
2,85kN / cm2
CD
max
KB
max
4,23kN / cm2
196,25
993,52
Keát quaû döông,MD ñuùng ñaõ chieàu choïn.
. XOAÉN THANH THAÚNG TIEÁT DIEÄN CHÖÕ NHAÄT
Thí nghieäm xoaén thanh tieát dieän chöõ nhaät,bieán daïng cuûa thanh nhö
(H.9.16).
a
b
Lyù thuyeát ñaøn hoài cho caùc keát quaû nhö sau:
ÖÙng suaát: Treân maët caét ngang chæ coù öùng suaát tieáp.
+ Taïi taâm vaø caùc goùc, öùng suaát tieáp baèng khoâng.
+ Taïi ñieåm giöõa caïnh daøi, öùng suaát tieáp ñaït giaù trò lôùn nhaát
Mz
H. 9.16
Söï veânh cuûa tieát
dieän chöõ nhaät khi xoaén
1
max
hb2
max
Mz
+ Taïi ñieåm giöõa caïnh ngaén, öùng suaát 1 beù hôn:
1 max
max
+Phaân boá öùng suaát tieáp taïi caùc ñieåm treân caùc truïc ñoái xöùng, caùc
caïnh tieát dieän vaø caùc ñöôøng cheùo ñöôïc bieåu dieãn ôû H.9.17.
h
1
Mz
Goùc xoaén töông ñoái
:
hb3
H. 9. Phaân boá öùng suaát tieáp
treân tieát dieän chöõ nhaät
trong ñoù: , , laø caùc heä soá phuï thuoäc tyû soá (caïnh daøi h /caïnh
ngaén b) ñöôïc cho trong baûng 1.
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Baûng 9.1 Giaù trò , ,
h
1
1,5
1,75
2
2,5
3
4
6
8
10
b
0,203
0,141
1,000
0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
V. TÍNH LOØ XO HÌNH TRUÏ BÖÔÙC NGAÉN CHÒU LÖÏC DOÏC TRUÏC
Loø xo laø moät boä phaän ñöôïc duøng roäng raõi trong kyõ thuaät, ñöôïc laép ñaët taïi nhöõng choã
caàn giaûm chaán do taûi troïng ñoäng nhö ñeá moùng thang maùy, heä thoáng nhuùn trong oâtoâ,
ñeá moâ tô coâng suaát lôùn...
Loø xo hình truï ñöôïc caáu taïo baèng caùch quaán moät sôïi daây theùp tieát dieän vuoâng, chöõ
nhaät hoaëc troøn quanh moät loõi hình truï, ta chæ tính loø xo chòu löïc theo phöông truïc cuûa
hình truï naøy; truïc cuûa hình truï cuõng laø truïc cuûa loø xo, ngoaøi ra chæ xeùt loø xo coù caùc
voøng gaàn nhau goïi laø loø xo hình truï böôùc ngaén (H.9.18.a).
1.Caùc ñaëc tröng cuûa loø
Qy =P
P
D
dF
1
P = Qy
A
o
h
Mz
a)
d
P
D/2
max
P
o
A
b)
M
z
P
a)
b)
d/2
D
H. 9.19 Noäi löïc vaø öùng suaát treân
H. 9.18. a) Caùc ñaëc tröng cuûa loø xo
maët caét daây loø xo
b) Noäi löïc treân tieát dieän daây loø xo
+ d: Ñöôøng kính daây loø xo.
+ D: Ñöôøng kính trung bình cuûa loø xo.
+ n: Soá voøng laøm vieäc cuûa loø xo.
+ G: Moâ ñun ñaøn hoài tröôït cuûa vaät lieäu laøm loø xo.
2- ÖÙng suaát trong daây loø xo:
Duøng moät maët caét caét qua moät sôïi daây loø xo, taùch loø xo laøm hai phaàn, xeùt ñieàu kieän
caân baèng cuûa moät phaàn loø xo nhö treân H.9.18.b, ta ñöôïc:
D
Y 0 Q y P , M / 0 0 M P
z
2
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Treân maët caét ñang xeùt (xem nhö maët caét ngang cuûa daây loø xo) coù löïc caét Qy vaø
moâmen xoaén Mz, chuùng ñeàu gaây öùng suaát tieáp:
= M + Q
Taïi moät ñieåm baát kyø treân maët caét ngang, caùcthaønh phaàn öùng suaát ñöôïc bieåu
dieãn nhö (H.9.19).Boû qua ñoä nghieâng cuûa daây loø xo, coi tieát dieän ñang xeùt laø troøn, coù
theå thaáy raèng, taïi meùp trong cuûa maët caét daây loø xo, ñieåm A treân H.9.19, öùng suaát tieáp
ñaït giaù trò cöïc ñaïi, duø löïc P laø taùc duïng keùo hay neùn loø xo.
Moät caùch gaàn ñuùng, öùng suaát tieáp taïi ñieåm nguy hieåm coù theå tính nhö sau:
D
P
Qy
F
Mz
Wp
P
2
max Q M
d2 d3
16
4
8PD
d
8PD
d3
max
1
d3 2D
Thöïc chaát Q khoâng phaân boá ñeàu, coøn coâng thöùc tính M nhö treân khoâng chính xaùc
vì tieát dieän khoâng troøn do ñoä nghieâng cuûa daây loø xo cuõng nhö sôïi daây loø xo khoâng laø
thanh thaúng, cho neân trong tính toaùn thöïc haønh, keå ñeán keát quaû do thöïc nghieäm, ta coù
theå laáy:
D
D
d
P
0,25
8PD
.d3
2
max k
k
vôùi k
.d3
D
1
d
16
2- Bieán daïng cuûa loø xo:
Tính ñoä co, daõn cuûa loø xo khi chòu löïc doïc truïc.
Duøng nguyeân lyù baûo toaøn naêng löôïng, boû qua caùc maát maùt naêng löôïng,coâng
ngoaïi löïc T hoaøn toaøn bieán thaønh theá naêng bieán daïng ñaøn hoài U.
Ta coù:
1
T P
+ Coâng cuûa ngoaïi löïc P treân ñoä co, daõn cuûa loø xo laø:
(a)
2
+ Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài tích luõy trong loø xo (boû qua theá naêng do Qy):
Mz2 L
GI p
1
2
U
1 P2D2 Dn
1 8P2D3n
U
(b)
2
4
Gd4 /32 2 Gd4
8PD3n
P
C
Gd4
C
veà giaù trò,
T = U,
vôùi:
Gd 4
8D3n
löc
chieàudaøi
trong ñoù: C - laø ñoä cöùng cuûa loø xo, coù thöù nguyeân
Thí duï 6 : Hai loø xo coù ñoä cöùng C1 = 8 kN/cm vaø C2 = 5 kN/cm cuøng chieàu cao H,
ñöôïc gheùp ñoàng truïc(song song) , cuøng chòu löïc P = 50 kN (H.9.20.a). Tính löïc taùc
duïng treân töøng loø xo, tính chuyeån vò cuûa ñieåm ñaët löïc.
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
P
P
C1
C2
1
1
1
1
R1
R2
a)
b)
H. 9.20 a) Hai loø xo gheùp ñoàng truïc
b) Noäi löïc trong loø xo
Caét 2 loø xo baèng maët caét (1-1), xeùt caân baèng phaàn treân, goïi noäi löïc cuûa loø xo laø R1 ,
R2, (H.9.20.b), Y = 0 R1 + R2 = P (a)
Moät phöông trình chöùa hai aån soá, ta gaëp baøi toaùn sieâu tónh.
Ñieàu kieän bieán daïng: ñoä co ngaén cuûa loø xo 1 phaûi baèng loø xo 2:
1 = 2
(b)
(c)
R1
R2
C1
R1
R2
C1 C2
C2
C 2
C 1 C 2
P
C 1
C 2
R 2
P
C1
C1 C2
Suy ra :
R1
P
(d)
1
thay giaù trò P, C1, C2 vaøo (d) ta ñöôïc: R1 = 30,77 kN; R2 = 19,23 kN
Chuyeån vò cuûa ñieåm ñaët löïc chính laø ñoä co cuûa loø xo 1 hoaëc loø xo 2
1 = 2 = = R1 / C1 =30,77/8 = 3,85cm.
Thí du 7 : Hai loø xo coù ñoä cöùng C1 = 8 kN/cm vaø C2 = 5 kN/cm cuøng chieàu cao H,
ñöôïc gheùp noái tieáp, cuøng chòu löïc P = 50 kN (H.9.20.a). Tính löïc taùc duïng treân töøng
loø xo, tính chuyeån vò cuûa ñieåm ñaët löïc
Giaûi.
Goïi R1 vaø R2 laø noäi löïc cuûa loø xo 1 vaø 2 , duøng phöông phaùp maët caét ta coù:
R1 = R1= P = 50 kN .
Goïi 1 vaø 2 laø bieán daïng cuûa loø xo 1 vaø 2 . Bieán daïng toång cuûa 2 loø xo laø:
= 1 + 2
Baøi taäp 1:
Cho truïc NBCK chòu xoaén nhö hình 1,ñoaïn NBC maët caét ngang hình vaønh khaên
ñöôøng kính ngoaøi D vaø ñöôøng kính trong d ,ñoaïn CK maët caét ngang troøn ñöôøng kính
D. Cho D=10cm, d =8cm, G =8000kN/cm2, L =20cm, =4,5kN/cm2
a) Veõ bieåu ñoà moâmen xoaén Mz .
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
M0 ñeå truïc thoaû ñieàu kieän beàn.
Tìm giaù trò moâmen xoaén
b) Tính goùc xoaén taïi ñaàu N vôùi M0 vöøa tìm.
d
M0
2M0
B
3M0
C
Giaûi
N
K
D
2L
3L
+
L
2M0
M0
+
_
(D)4
(D)4
ICK
981,25cm4
,
INB
1 4
0,5904JCK 579,33cm4
32
32
M0
W 0,5904W 115,866cm3
NB
, max
M0 521,4kNcm 5,214kNm
NB
CK
WNB
2M0
CK
max
M0 441,56kNcm 4,42kNm
WCK
M0
4,42kNm
M0l M0 2l 2M0 3l
442 20
8000579,33 8000981,25
6 442 20
NK
4,8103 Radian
GINB GIBC
GICK
Baøi 2:
Cho truïc chòu löïc nhö hìnhveõ .Tính Mc ñeå truïc laøm vieäc hôïp lyù theo ñieàu kieän beàn.
Vôùi M0 =5kNm
d
Mc
C
M0
2M0
N
K
B
D
L
3L
+
2L
M-M
M0
_
M0
M0
M0 MC
500
500 MC
NB
max
CK
max
4,316 MC 3,47kNm
WNB
WCK
115,866
196,25
Baøi 3.Cho truïc nhö hình veõ, M = 4kNm Veõ bieåu ñoà moâmen xoaén Mz
d
3M
C
MN
2M
B
K
N
L
3L
D
2L
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Goïi MNlaø phaûn löïc taïi ngaøm N
Ñieàu kieän:
ND 0
M N 3l M N 3l
2M 2l 2M 3l 3M 3l
0 M N 1,869kNm
GINB
GICK
GINB
GICK
GICK
1,869kNm
5,869kNm
+
+
_
6,131kNm
10kNm
Baøi taäp 4:
1)Veõ bieåu ñoà Mz
2) Choïn d töø ñieàu kieän beàn vaø
ñieàu kieän cöùng
2kNm
C
6kNm
2kNm
K
B
D
d
3)Tính goùc xoaén KD
L
L
L = 1m
Cho
= 4,5kN/cm2
[ ] = 0,250/m,
2kNm
G = 8000kN/cm2
M max
800
z
-
8kNm
max
4,5 d 10cm
6kNm
d3
Wp
16
max
M
M z
d 4
32
800
104
1,024 radian / cm
x
Kieåm tra laïi ñoä cöùng : max []
GI p
G.
8103
32
0,253,14
18000
(Rad / cm) 0/ cm
4,36105 Rad / cm max
180102
200100
800100
600100
KD
0,0153Radian
8000981,25 8000981,25 8000981,25
Baøi taäp 5:Baèng thöïc nghieäm ta ño ñöôïc bieán daïng treân beà maët theo phöông u
nghieâng 450vôùi truïc zlaø u=6.10-4, cho E=2.104kN/cm2,=0,3.Haõy xaùc ñònh Mz.
d=3cm
Mz
u
Mz
450
u
z
M
M z
d 3
16
1
z
max
vaø u v max Vôùi u
u v
Mz
Wp
E
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
Baøi Giaûng Söùc Beàn Vaät Lieäu 2
Baøi taäp laøm theâm:
1. Veõ bieåu ñoà moâmen xoaén, tính
öùng suaát tieáp lôùn nhaát. Cho
M = 2kNm; D = 2d=8cm
G = 8.103 kN/cm2,
5M
B
2M
C
H
K
2d
d
50cm
2. Baây giôø cuõng baøi toaùn treân vôùi []=4kN/cm2. Haõy choïn D,vaø d.
3.Ñònh M0 theo TB3.Cho
3M0
M0
2M0
d=8cm
[ ]=16kN/cm2
x
B
y
D=10cm
40cm
60cm
3. Cho truïc coù hai ñoaïn maët caét ngang khaùc nhau
a)Veõ Mz vaø tính öùng suaát tieáp cho moãi ñoaïn
b) Tính goùc xoaén toaøn phaàn taïi ñaàu H
c) Ngaøm ñaàu H laïi. Tính öùng suaát tieáp trong moãi ñoaïn .
L = 50cm,D=10cm,d = 8cm,M =5kNm,G =8000kN/cm2,
M
3M
B
D
K
D
C
H
d
L
L
L
L
5. Tìm MD ñeå goùc xoaén taïi K baèng khoâng.(cho hai trườmg hợp). Tính theo Mo
G, 2Ip
G, Ip
MD
D
G, 2Ip
G, Ip
3M0
C
4M0
MD
D
M0
K
M0
K
B
a
a
a
C
L
B
L
L
Chöông 9:Xoaén thuaàn tuyù
15 trang
13760
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu 2 - Chương 9: Xoắn thuần túy thanh thẳng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_2_chuong_9_xoan_thuan_tuy_thanh.doc
