Giáo trình Giải tích 3 - Bài 5: Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier - Nguyễn Xuân Thảo
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 5
§ 5. Chuỗi luỹ thừa (TT)
Khai triển một số hàm sơ cấp
Ứng dụng
4. Khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản
4.1. Một số khai triển
x
1/
f(x) e
(n)
f (0) 1
f (n)(x) ex eA M, x A ; A , A 0
xn
xn
x
x
e
, x A ; A , A 0
e
, x
n!
n!
n0
n0
2 f(x) cosx
k
2
2
(1) , n 2k
f (n)(0) cosn
f (n)(x) cos x n
1, x
0,
n 2k 1
x2 x4
x2n
cosx 1
(1)n
, x
2! 4!
(2n)!
3
f(x) sinx
x3 x5
x2n1
(1)n1
, x
sinx x
3! 5!
(2n 1)!
4
f(x) (1 x) ,
( 1)
( 1)( n 1)
n!
f(x) 1 x
x2
xn , 1 x 1
1!
2!
5
f(x) ln(1 x)
x2 x3
xn
ln(1 x) x
(1)n1
, 1 x 1
2
3
n
6
f(x) arctanx
x3 x5
x2n1
arctanx x
(1)n1
,
x , 1 x 1
3
5
2n 1
Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Maclaurin
x
a)
f(x) a , 0 a 1
lnn a
exlna
xn, x
n!
x
xlna
a e
n0
b)
f(x) ln(2 x)
x
x
2
x
ln 2 x ln2 1
ln2 ln 1
, 1 1
2
2
28
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
n
x
2
x
xn
n.2n
n1
n1
1
ln 1
1
2
n
n1
n1
xn
n1
1
ln 2 x ln2
, 2 x 2
n.2n
n1
1
(
2
22n1 2n
x
sin2 x
c)
d)
e)
, x )
(2n)!
n0
1 x
1 x
x2n1
(
(
)
f(x) ln
2
, 1 x 1
n0 2n 1
x
n
2n1
2
1 x
t
, x )
f(x) e dt
n! 2n 1
n0
0
n1 xn
x
2n
n1
2
3
1
1
f)
(
, 1 x 1)
f(x) ln(1 x x x )
n
n
n1
n1
n
x 2
n!
n
4
x
g)
h)
i)
(
(
(
sin , x )
f(x) e sinx
n0
x2n
, x )
f(x) coshx
x sint
2n !
n0
x2n1
n
)
f(x)
dt
1
, x
t
2n 1 ! 2n 1
n0
0
x
x5
1.3.5 2n 1
dt
1 t4
(x
x
4n1 ,
)
x 1
k) f(x)
n
2.5
n!2 4n 1
0
x3
x5 x6
x6 f x e sinx
x
l) Viết rõ các hệ số đến
:
(x x2
0x4
)
3
30 90
x3 x4 x5
m) Viết rõ các hệ số đến x6 :
(1 x
0x6 )
x
f x e cosx
3
6
30
Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận điểm tương ứng
a) f (x) lnx, x 1
n
x 1
n
ln 1 x 1
1
lnx ln 1 x 1
n
n1
1
b)
f(x)
, x 4
x2 3x 2
1
1
1
1
n
f x
n
f
x 1 n!
n1
n1
x 2
x 1 x 2
x 1
29
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
f x
n
1
n
n1 6n1 x 4
n
n
5
f
4 1 n! 5n1 6n1
n0
x
x
c)
, theo chuỗi luỹ thừa của
f(x)
1 x
1 x
2
3
n
x
1
x
1.3
x
1.3 2n 3
x
(f x
)
1 x 21 x
2.4 1 x
2.42n 2 1 x
x
d) f(x) cos , theo chuỗi luỹ thừa của x
2
2
2
n1
x
x
2!22
x
2
2
2
2
(
)
1
(n 1)!2n1
2
1!2
32n1
3
3
n
1
e)
f)
, theo chuỗi luỹ thừa của
(
(x )2n1
)
f(x) sin3x
x
2n 1 !
n1
1
f x
x 3
theo luỹ thừa của
theo luỹ thừa của
x2 3x 2
1
n1
n
n
(
1 1
x 3 , x 3 1)
2
n0
1
f x
g)
x 2
x2 3x 2
1
1
n
n
(
)
1
x 2 , x 2 3
3n 4n
n0
h) Khai triển thành chuỗi Maclaurin
3
2
3
2
1)
2)
f x ln x 2x 4x 8
f x ln 4x 8 x 2x
n1
2 1
1
3n
1
1
n
n
n1
n
(
1
x 2 , x 2 3)
3ln2
1
x , x 2
n
4
n2n
n0
n1
x
(1)n
2
f (x) et dt
g)
(
x2n1, R )
n0 n!(2n 1)
0
4.2. Ứng dụng của chuỗi luỹ thừa
1/ Tính gần đúng
Ví dụ 3. Áp dụng chuỗi luỹ thừa, tính gần đúng
x
2
f (x) et dt
5
a)
với độ chính xác
10
sin18
0
30
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
n1
1
sinx
x2n1
2n 1 !
n1
n1
1
10
2n1
sin18 sin
2n1
2n 1 !
10
n1
2n1
Rn
105
2n1
2n 1 !10
n 3
1
ex2dx
3
b)
với độ chính xác
10
0
xn
x2n
2
n
x
x
e
e
1
n!
n!
n0
n0
1
0
x2n1
1
n
1
n
1
I
n! 2n 1
n! 2n 1
n0
n0
1
Rn
103 n 4
n 1 ! 2n 3
c) Tính gần đúng số với độ chính xác
(
(
)
2,71828
e
0,00001
1
ex2dx
0,0001
0,747
d) Tính gần đúng
với độ chính xác
)
0
dx
3
e)
với độ chính xác
(
)
0,118
10
3
0 1 x
2/ Tính giới hạn.
sinx x
x3 x5 x7
3! 5! 7!
Ví dụ 4.
lim
x9
x0
x3 x5 x7 x9
9
o x
sinx x
3! 5! 7! 9!
x9
9!
9
o x
1
A lim
x9
x0
9!
§ 6 Chuỗi FOURIER
Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier
Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier
31
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Đặt vấn đề
1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier
a) Chuỗi lượng giác
Định nghĩa. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng
a0
(an cosnx bn sinnx), an, bn
(1.1)
n1
Nhận xét.
1/ Nếu
hội tụ chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối trên
an ,
bn
n1
n1
2/ Tuy nhiên,
an ,
bn hội tụ không phải là điều kiện cần để chuỗi (1.1) hội tụ.
n1
n1
b) Chuỗi Fourier
Bổ đề. Với
, ta có
p,k
1/
2/
sinkxdx 0
coskx dx 0, k 0
0, k p
3/ coskx sinpx dx 0
4/ coskxcospxdx
, k p 0
0, k p
5/
sinkx sinpx dx
, k p 0
Giả sử
tuần hoàn với chu kì
và có
2
f(x)
a0
f(x)
(an cosnx bn sinnx)
(1.2)
2
n1
Sử dụng bổ đề trên và tính toán ta có
1
1
;
a0
f(x)dx an
f(x)cosnx dx, n 1, 2,
1
(1.3)
bn
f(x)sinnx dx, n 1, 2,
a0
Định nghĩa. Chuỗi lượng giác
(a cosnx b sinnx) với các hệ số
,
a0 an, bn
n
n
2
n1
xác định trong (1.3) được gọi là chuỗi Fourier của hàm
.
f(x)
2. Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier
32
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
Định nghĩa. Chuỗi Fourier của hàm f(x) hội tụ về hàm f(x) thì ta bảo hàm f(x)
được khai triển thành chuỗi Fourier.
Định lí Dirichlet. Cho f(x) tuần hoàn với chu kì
, đơn điệu từng khúc và bị chặn
2
trên ; chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn ; và có
, tại điểm liên tục của
.
f(x)
S(x) f(x)
f(c 0) f(c 0)
Còn tại điểm gián đoạn
có S(c)
.
x c
2
Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số
tuần hoàn với chu kì
, xác
2
f(x)
định như sau
1, 0 x
a) f(x)
1, x 0
1
1
f x dx
+)
a0
0
0
1
1
1
+) an
f x cosnxdx
cosnx dx
cosnxdx 0
0
0
1
1
1
+)
bn
f x sinnxdx
sinnx dx
sinnxdx
0
2
2
n
1 cosn
1 1
n
n
4
1
1
f x
+)
sinx sin3x sin5x
3
5
2
x, 0 x
x, x 0
2
4
cos 2m 1 x
b)
(
)
f(x)
f x
2
2m 1
m0
c)
f(x) x , x
1
2 2
3
+)
a0
bn
an
x2dx
1
x2 sinnx dx 0
x2 cosnx dx
+)
+)
1
4
n2
4
n2
n
cosn 1
2
cosx cos2x cos3x cos4x
f x
4
3
1
4
9
16
1, x 0
d)
f(x)
0,
0 x
33
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
2
2
cos 2m 1 x
n1 sinnx
(f x
1
)
4
n
2m 1
m0
n1
HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
34
7 trang
19740
Free
Bạn đang xem tài liệu "Giáo trình Giải tích 3 - Bài 5: Chuỗi luỹ thừa, chuỗi Fourier - Nguyễn Xuân Thảo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_giai_tich_3_bai_5_chuoi_luy_thua_chuoi_fourier_ng.pdf
