Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học

CHÖÔNG 6.

ÑAËC TRÖNG HÌNH HOÏC

GVC.Ths. Leâ Hoaøng Tuấn

NOÄI DUNG

1. Khaùi nieäm

2. Moâ men tónh - Troïng taâm

3. Moâmen quaùn tính

4. Moâmen quaùn tính cuûa caùc hình ñôn giaûn

5. Coâng thöùc chuyeån truïc song song

6. Coâng thöùc xoay truïc

1. KHAÙI NIEÄM

 Thanh ñeå ñöùng (H.a) chòu

P

löïc toát hôn thanh ñeå naèm

(H.b)

P

x

z

 Coù nhöõng ñaïi löôïng phuï

thuoäc vaøo hình daùng, vò

trí maët caét ngang, aûnh

höôûng ñeán söï laøm vieäc

cuûa thanh

x

y

z

y b)

a)

 Ñoù laø nhöõng Ñaëc tröng Hình Hoïc cuûa maët caét ngang.

2. MOÂMEN TÓNH-

TROÏNG TAÂM

y₀

C

Xeùt moät hình phaúng bieåu

dieãn maët caét ngang A (maët

caét A).

Laäp heä toïa ñoä vuoâng goùc

Oxy.

M(x,y) laø moät ñieåm baát kyø

treân hình.

y

A

M

dA

y₀

x₀

y

x₀

y_C

O

x

x_C

x

Laáy chung quanh M moät

dieän tích vi phaân dA.

2. MOÂMEN TÓNH-

TROÏNG TAÂM

 Moâmen tónh :

Moâmen tónh cuûa A

ñoái vôùi truïc x (hay y) laø:

y₀

C

y

A

M

dA

y₀

x₀

^S^x⁼^{ydF, S}^y⁼^xdF

y

x₀

y_C

F

O

x

vì x, y coù theå aâm hoaëc döông

neân

x_C

x

S_x, S_y

<

0

>

Thöù nguyeân cuûa moâmen tónh laø

[(chieàu daøi)³].

2. MOÂMEN TÓNH-

TROÏNG TAÂM

 Troïng taâm :

y₀

C

y

A

 Truïc Trung taâm laø truïc

maø moâmen tónh cuûa A

ñoái vôùi noù baèng 0

 Troïng taâm laø giao

ñieåm cuûa 2 truïc trung

taâm.

M

dA

y₀

x₀

y

x₀

y_C

O

x

x_C

x

 Moâmen tónh ñoái vôùi truïc

ñi qua troïng taâm baèng 0.

2. MOÂMEN TÓNH-

TROÏNG TAÂM

y₀

C

y

A

 Caùch xaùc ñònh Troïng taâm C :

M

dA

y₀

Xaùc ñònh x_Cvaø y_C

Döïng heä truïc x₀Cy₀song

song heä truïc xy

x₀

y

x₀

y_C

O

x

x_C

x = x_C+ x_o; y = y_C+ y_o

x

^{S =}^{(y + y )dA = y dA + y dA = y A +S}

 

x

C

o

C

o

C

xo

A

S_y

x_C=

y_C=

Vì S_xo= 0 neân:

S_x= y_C.A

S_y= x_C.A

A

S_x

A

Töông töï:

2. MOÂMEN TÓNH-

TROÏNG TAÂM

Tính chaát 1: (quan troïng)

y

_•C

C

•

C

x

•

x

• Maët caét coù truïc ñoái xöùng,

troïng taâm naèm treân truïc ñoái xöùng .

• Maët caét coù hai truïc ñoái xöùng,

troïng taâm laø giao ñieåm hai truïc ñoái xöùng.

2. MOÂMEN TÓNH-

TROÏNG TAÂM

y

x_C

Tính chaát 2 :

A₁

Moâmen tónh cuûa hình

phöùc taïp baèng toång moâmen

tónh cuûa caùc hình ñôn giaûn.

Thí duï 6-1. Ñònh troïng taâm

maët caét chöõ L goàm 2 chöõ nhaät.

Keát quaû:

Toïa ñoä troïng taâm

C cuûa hình treân laø:

x₁

C₁^•

C

•

y₁

y_C

•

C₂

x

O

A₂

x₂

y₂

S_y

A

S_xy₁A₁+ y₂A₂

x₁A₁+ x₂A₂

A₁+ A₂

y_C=

;

=

x = =

C

A

A₁+ A₂

3. MOÂMEN QUAÙN TÍNH-

HEÄ TRUÏC CHÍNH TRUNG TAÂM

A

y

M

1- Moâmen quaùn tính (MMQT)

Moâmen quaùn tính ñoäc cöïc

(MMQT ñoái vôùi ñieåm) cuûa A

dA

y



I = ²dA

ñoái vôùi ñieåm O:

O



p

x

A

x

Moâmen quaùn tính cuûa A ñoái vôùi

I = y²dA ; I = x²dA

truïc y vaø x :

 

x

y

A

 I_p= I_x+ I_y

 Thöù nguyeân - [chieàu daøi]⁴

 I_p, I_x, I_y> 0

3. MOÂMEN QUAÙN TÍNH-

HEÄ TRUÏC CHÍNH TRUNG TAÂM

A

y

M

Moâmen quaùn tính ly taâm

(MMQT ñoái vôùi heä truïc xy)

dA

y



^{I =}^x.y.dA

xy

O

A

x

Thöù nguyeân - [chieàu daøi]⁴

x

<

I_xy0

>

Tính chaát: MMQT cuûa moäät hình phöùc taïp baèng

toång moâmen quaùn tính cuûa caùc hình ñôn giaûn.

3. MOÂMEN QUAÙN TÍNH-

HEÄ TRUÏC CHÍNH TRUNG TAÂM

A

y

M

2- Heä truïc chính trung taâm

dA

 Moät heä truïc toïa ñoä coù MMQT ly taâm

ñoái vôùi heä truïc ñoù baèng khoâng

ñöôïc goïi laø heä truïc quaùn tính chính

y



O

x

 Heä truïc quaùn tính chính trung taâm

coù goác ôû troïng taâm

 MMQT ñoái vôùi caùc truïc quaùn tính chính trung taâm

goïi laø MMQT chính trung taâm.

I = y²dA ; I = x²dA

 

x

y

A

3. MOÂMEN QUAÙN TÍNH-

HEÄ TRUÏC CHÍNH TRUNG TAÂM

y

2- Tính chaát 3- quan troïng

dA₁

A₁

dA₂

A₂

Truïc ñoái xöùng cuûa maët caét vaø truïc

vuoâng goùc vôùi noù ñi qua troïng taâm

hôïp thaønh heä truïc chính trung taâm

x

O

Chöùng minh:

yxdA = (xy − yx)dA = 0

^{I =} ^{yxdA =} 

xy

1

A

A₁+ A₂

A₁

4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CUÛA

CAÙC HÌNH THÖÔNG GAËP

1- Hình chöõ nhaät:

Heä coù hai truïc ñoái xöùng x, y

dA = b.dy

dy

y

cuõng laø heä truïc QTCTT.

h

h/2

2

y

x

I = y²dA = y²bdy

O

 

x

A

h

2

−

bh³

I =

x

b

12

hb³

12

I =

y

4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CUÛA

CAÙC HÌNH THÖÔNG GAËP

dA = 2.d

y

2- Hình troøn:

R

Heä coù hai truïc ñoái xöùng x, y

cuõng laø heä truïc QTCTT.



O

d x

 Tính I_p:

D

2

D

D⁴

32

I = ²dA = ².2.d

I =

 

p

A

0

D⁴

64

I_p

2

Tính I , I :

I = I =

x y

I = I =

x y

4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CUÛA

CAÙC HÌNH THÖÔNG GAËP

3- Hình vaønh khaên:

y

 Tính I_p:

D⁴d⁴

32 32

D d

I =I −I =

−

p p p

d

O

x

D⁴

I = (1−⁴)

p

32

D

I_p

2

Tính I , I :

I = I =

x y

d

D

x y

=

D⁴

64

I = I =

x y

(1−⁴)

5. COÂNG THÖÙC CHUYEÅN TRUÏC

SONG SONG

y

Y

1- Laäp coâng thöùc:

Tính I_X, I_Y, I_XY:

A

M

dA

y

O

x

I = Y²dA = (b + y)²dA

x

 

X

Y

A

b

I = y²dA +2b y.dA + b².dA

O'

  

X

a

A

X

I = I_x+ 2bS_x+ b²A

X

I = I_y+ 2aS_y+ a²A

I = I_xy+aS_x+ bS_y+abA

XY

Y

5. COÂNG THÖÙC CHUYEÅN TRUÏC

SONG SONG

y

Y

2- Tröôøng hôïp thöôøng duøng:

Khi truïc cuõ (xy) laø

heä truïc chính trung taâm :

A

M

dA

y

O

x

Y

I = I_x+ b²A

b

X

O'

X

a

Caùch nhôù: MMQT ñoái vôùi truïc

môùi baèng MMQT ñoái vôùi truïc

cuõ coäâng dieän tích nhaân khoaûng

caùch hai truïc bình phöông

X

4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CUÛA

CAÙC HÌNH THÖÔNG GAËP

3- Thí duï 3:

y

2

h

 

I = I + A.

 

BB'

x

h/2

2

 

O

2

bh³h

12 2

 

bh³

x

 

I_BB'=

+

bh =

 

3

B'

B

b

4. MOÂMEN QUAÙN TÍNH CUÛA

CAÙC HÌNH THÖÔNG GAËP

y

8 8 4

4

3- Thí duï 4:

Ñònh MMQT

chính trung taâm

Giaûi:

- Troïng taâm:

12

x

S_x24.4.2+ 2(4.12.10)

A (24.4)+ 2(4.12)

y = =

= 6cm

4

C

X

1 2 3

y

2

3

I = I + I + I

- MMQT:

X X X X

10

24.4³

12

2 3

C

X

1

I =

+(24.4).4²

X

6

4.12³

x

I = I =

X X

+(4.12).4²

12

1

I_X=4352cm⁴

Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học - Lê Hoàng Tuấn