Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 4: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Chương 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC

CỦA MẶT CẮT NGANG

 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một

trục

 Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính của một số hình phẳng

đơn giản

 Công thức chuyển trục song song của

mômen quán tính

 Công thức xoay trục của mômen quán tính

1

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang

đối với một trục

y



^{S }^ydF

X



F

dF





y

C

y_C

^{S }^xdF

y





F

O

x

x x_C

2

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối

với một trục

S_x, S_ymômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang

đối với trục x, y có thứ nguyên S_x, S_ylà (chiều

dài)³

Do x, y có thể âm hoặc dương nên S_x, S_ycó

thể âm hoặc dương.

S_X=0, S_y=0 thì trục x, y là trục trung tâm và

đi qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ S_X=0 thì trục x

đi qua trọng tâm mặt cắt.

Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng

tâm của mặt cắt

3

Trọng tâm mặt cắt

S_y



x_C

y_C



F

S_x







F

4

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính của hình phẳng đối với

một trục

2

J_X, J_ylà mômen quán

tính của mặt cắt

ngang đối với trục x,

y, có thứ nguyên là

(chiều dài)⁴



^{J }^{y dF}

X



F





J  x²dF

y







F

5

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính độc cực (mômen quán

tính đối với một điểm)

y

F

J_P ²dF

dF



y

F

 là khoảng cách từ

A(x,y) đến gốc tọa độ,

với ²= x²+y²

p

O

x

2

 

^{J } ^{x  y dF  J  J}

x

y

F

6

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Mômen quán tính ly tâm

^{J }^xydF

xy

F

7

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

 Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục

nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là

hệ trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán

tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi

là hệ trục quán tính trung tâm.

 Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt

cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục

quán tính chính.

 Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ

trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng

lập với nó thành một hệ trục quán tính chính.

8

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

 Mặt cắt hình chữ nhật

bh³

J_x

12

hb³

J_y

12

9

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

 Mặt cắt hình tam giác

bh³

J_x

12

10

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

R⁴

 Mặt cắt hình tròn

J_x J_y

2

D⁴

J_P  0,1D⁴

32

D⁴

J_x J_y  0,05D⁴

64

11

Mômen quán tính của một số hình

phẳng đơn giản

 Mặt cắt ngang hình vành khăn

D⁴d⁴D⁴

J_P  



1⁴



 0,1D⁴



1⁴



32 32 32

J_PD⁴

2 64

4

 

J_x J_y  1  0,05D 1

12

Bán kính quán tính

J_x

i_x

F

i_x, i_y: bán kính quán tính của

mặt cắt ngang đối với trục x

và trục y

J_y

F

i_y

13

Bán kính quán tính

 Mặt cắt hình chữ nhật:

h

b

i_x

i_y

12

 Mặt cắt hình tròn:

D

i_x i_y

4

 Mặt cắt hình vành khăn:

D

i_x i_y 1 ²

4

14

Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

 Vấn đề: biết J_x, J_y, J_xyđối với hệ trục Oxy.

Tìm J_X, J_Y, J_XYđối với hệ trục song song

OXY

X  x  a

Y  y  b







15

Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

2











J_X J_x 2bS_x b F

J  J  2aS  a²F

Y

y

J_X J_xy aS_x bS_y abF

Y

16

Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

 Nếu xy là hệ trục quán

 Nếu x, y là hệ

tính chính trung tâm, thì

trục trung tâm, thì

S_x= S_y= 0 và J_xy= 0

S_x= S_y= 0

2











J_X J_x b F

J  J  a²F











J_X J_x b F

J  J  a²F

Y

y

Y

y

J_X abF

J_X J_xy abF

Y

17

Công thức xoay trục của

mômen quán tính

Vấn đề

 Có diện tích mặt cắt ngang F

 Giả sử biết: mômen quán

tính của diện tích F (J_x, J_y,

J_xy) đối với hệ trục Oxy.

 Tính mômen quán tính của

diện tích F đối với hệ trục

Ouv

18

Công thức xoay trục

của mômen quán tính

Gọi (u, v) là tọa độ của

điểm A trong hệ tọa độ Ouv,

ta có





J_u v²dF

u = xcos + ysin

v = -xsin + ycos (a)

Mômen quán tính đối với hệ

trục Ouv là



F



J  u²dF





v



F

^{J }^uvdF

uv





F

19

J_u J_xcos²  J_ysin²  2J_xysin.cos

J_v J_xsin²  J_ycos²  2J_xysin.cos

2





J_uv J_xsincos  J_ysincos  J_xysin   cos 

J_x J_yJ_x J

J_u

J_v

J_uv



^ycos2  J_xysin2

^ycos2  J_xysin2

2

J_x J_yJ_x J



2

J_x J_y

sin2  J_xycos2

2

20