Bài giảng Giải tích mạch - Chương 6: Phương pháp toán tử Laplace
Chương 6: Phương pháp toán tử Laplace
➢ 6.1.Đinh nghĩa biến đổi Laplace
➢ 6.2.Biến đổi Laplace của hàm f(t)
➢ 6.3.Tính chất cơ bản của biến đổi Laplace
➢ 6.4. Biến đổi Laplace ngược
➢ 6.5.Phân tích mạch dùng toán tử Laplace
➢ -Định luật Kirchhoff trong miền s
➢ -Định luật Ohm trong miền s
➢ -Quan hệ áp và dòng của cuộn dây trong miền s
➢ -Quan hệ áp và dòng của tụ điện trong miền s
➢ -Phân tích mạch trong miền s
6.1.Định nghĩa
L{ f (t)} = F(s) = f (t)e−stdt (6.1)
0
*Hàm f(t) biến thực được gọi là gốc và biến đổi Laplace của nó là
ảnh F(s), có biến phức s = σ + jω . Biểu thức (6.1) xác định ảnh
của 1 hàm f(t) sẽ tồn tại khi và chỉ khi có 1 giá trị nào của tham số
s để tích phân Laplace hội tụ
*Biến đổi Laplace theo định nghĩa trên là biến đổi một phía và ta
chỉ xét trường hợp này. Ảnh F(s) không phụ thuộc vào hàm f(t)
với t < 0. Để thể hiện điều đó ta dùng hàm đơn vị ký hiệu u(t)
1 t 0
u(t) =
0 t 0
Do đó ta có: L{f(t)} = L{f(t)u(t)}
ảnh của hàm đơn vị có dạng: L{u(t)} = 1/s
6.2.Biến đổi Laplace của hàm f(t)
1
L{e−at} = e−ate−stdt = e−(a+s)t dt =
0
0
jt
− jt
e − e
2 j
L{sin t} = sin te−stdt =
e dt
−st
0
0
−(s− j)t
=
e
− e−(s+ j)t
1 1
1
dt =
−
=
2
2
0
2 j
2 j s − j s + j s +
F(s)
1
Hàm
Unit Impulse
f(t) (t > 0- )
δ(t)
u(t)
t
Đơn vị (unit step)
1/s
1/s2
Răng cưa (ramp)
6.2.Biến đổi Laplace của hàm f(t)
Hàm
f(t) (t > 0- )
e-at
F(s)
Hàm mũ
sine
1/(s + a)
ω/(s2 + ω2)
sin ωt
cosine
cosωt
s/(s2 + ω2)
Damped ramp
Damped sine
Damped cosine
te-at
1/(s + a)2
e-at sinωt
e-at cosωt
ω/[(s + a)2+ω2]
(s + a)/[(s + a)2+ω2]
6.3.Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace
F(s) = L{f(t)}
*Biến đổi ngược: f(t) u(t) = L-1 {f(s)}
*Tuyến tính: F1(s) = L{f1(t)}
F2(s) = L{f2(t)}
L{[a1f1 (t) + a2 f2 (t)]u(t)} = a1F1(s) + a2F2(s)
Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace của f(t) = 5δ(t) – 2cos(5t)
Ta có : L{δ(t)} = 1
L{cosωt} = s/(s2 + ω2)
L{5δ(t) – 2cos(5t)} = 5(1) -2[s/(s2 + 52)]
= 5 - 2s/(s2 + 25)
* L {f(at)u(t)} = 1/a F(s/a)
* L{ f (t −t0 )u(t −t0 )} = e−st0 F(s)
6.3.Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace
* L{e−s0t f (t)u(t)} = F(s + s0 )
*L {(df/dt) u(t)} = sF(s) – f(0-)
•L{(dnf/dtn ) u(t)} = sn F(s) –sn-1 f(0- ) - … -s0dn-1f(0-)/dtn-1
t
1
* L{ f ( )d} = F(s)
0
s
dnF(s)
* L{tn f (t)} = (−1)n
dsn
f (t)
* L{ } = F(u)du
s
t
Ví dụ về biến đổi Laplace
e−st
1
1
s2
* L{t}= te−stdt = (−st −1) 0 = 0− (0−1) =
s2
s2
0
* L{sin(t +)} = L
sin t cos + costsin
cos + ssin
= cosL sin t +sin L cost =
s2 +2
d
s
s
* L{ (te−at )u(t)} =
−0 =
dt
(s + a)2 (s + a)2
d sin t
s
s
* L{
u(t)} =
−sin( 0) =
dt
s2 +2
s2 +2
d cost
s2
2 2
s2
2 2
−2
* L{
u(t)} =
−cos(0) =
−1=
2 2
6.4.Biến đổi Laplace ngược
1+ j
1
L−1{F(s)} =
F(s)estds
1− j
j2
*Rất khó tìm biến đổi Laplace ngược của 1 hàm F(s)
bằng cách áp dụng định nghĩa trên.
•Ta sẽ dùng phương pháp khác để tìm biến đổi
Laplace ngược.
•Biến đổi hàm F(s) ra dạng phù hợp chúng ta có thể
tìm biến đổi Laplace ngược dể dàng
Ví dụ về biến đổi Laplace ngược
s +8 4 3
s(s + 2) s s + 2
X (s) =
= −
Ta có :
u(t) ↔ 1/s
e-at u(t) ↔ 1/(s + a)
a1 x1(t)u(t) + a2x2(t)u(t) ↔ a1X1(s) + a2X2(s)
Nên:
L-1 {X(s)} = 4L-1{1/s} - 4L-1{1/(s + 2)}
L-1 {X(s)} = 4u(t) – 3e-2t u(t)
*Trong ví dụ này ta đã phâ n tí ch hàm X(s) thành những phâ n thức
tối giản.
*Trong thực tế, ta có thể làm cô ng việc này nhờ má y tí nh,
MATLAB, hoặc cô ng cụ tương tự
Tổng quát về biến đổi Laplace ngược
Một cách tổng quát hầu hết các hàm X(s) có dạng
N
ak sk
bk sk
N(s)
X (s) = = k=0
M
D(s)
k=0
*N(s) và D(s) là những đa thức theo s
*Các nghiệm của N(s) = 0 gọi là các điểm 0 của X(s)
* Các nghiệm của D(s) = 0 gọi là các điểm cực của X(s)
*Để tìm x(t) = L-1 {X(s)}, ta cần :
1.Tìm các cực của X(s)
2.Áp dụng cách phân tích X(s) thành những phân thức tối giản
(dùng Matlab chẳng hạn)
3.Tìm biến đổi ngược của mỗi thành phần bằng cách tra bảng
Trường hợp các điểm cực là cực đơn
N(s) N(s)
X (s) = =
D(s) (s + p1)(s + p2 )...(s + pn )
k1
s + p1 s + p2
ki = (s + pi )X (s) |
k2
kn
=
+
+...+
s + pn
s=− pi
*Cực đơn khi cá c nghiệm của D(s) = 0 là nghiệm thực và khá c
nhau
*Cá c hệ số ki gọi là residu của X(s)
*Để tì m ki ta nhâ n 2 vế với (s + pi ) và cho s = - pi
Trường hợp các điểm cực là cực đơn
96(s +5)(s +12) k1 k2 k3
Ví dụ:
X (s) =
= + +
s(s +8)(s + 6) s s +8 s + 6
96(s +5)(s +12) 96(5)(12)
k1 =
k2 =
=
=120
= −72
s=0
(s +8)(s + 6)
96(s +5)(s +12)
s(s + 6)
8(6)
96(−3)(4)
(−8)(−2)
=
s=−8
96(s +5)(s +12)
s(s +8)
k3 =
= 48
s=−6
96(s +5)(s +12)
s(s +8)(s +6)
L−1
= (120 + 48e−6t −72e−8t )u(t)
Trường hợp các điểm cực là cực đơn
6s2 + 26s + 26
(s +1)(s + 2)(s +3)
*Tìm f( t), nếu:
F(s) =
Trả lời; f(t) = (3e-t + 2e-2t + e-3t ) u(t)
7s2 +63s +134
F(s) =
*Tìm f( t), nếu:
(s +3)(s + 4)(s +5)
Trả lời; f(t) = (4e-3t + 6e-4t - 3e-5t ) u(t)
Trường hợp các điểm cực là cực phức riêng biệt
N(s)
X (s) = =
D(s) (s + − j)(s + + j)
N(s)
k1
k1*
=
+
s + − j s + + j
k1 = (s + − j)X (s) |s=− + j
k1 = k1 0;k1* = k1 − 0
k1*
k1
s + − j s + + j
L−1
+
= 2 k e−t cos(t +)
1
*Thô ng thường nghiệm phức của X(s) là 1 cặp phức liên hiệp
*Residu của X(s) cũng là 1 cặp phức liên hiệp
Trường hợp các điểm cực là cực phức riêng biệt
100(s +3)
k1
= +
k2
k2*
F(s) =
+
(s +6)(s2 +6s + 25) s +6 s +3− j4 s +3+ j4
100(s +3)
(s2 + 6s + 25)
100(s +3)
100(−3)
25
k1 =
=
= −12
s=−6
0
100( j4)
k2 =
=
= 6− j8 =10e− j53,13
s=−3+ j4
(s + 6)(s +3+ j4)
(3+ j4)( j8)
j53,130
100(s +3)
(s + 6)(s +3− j4)
100(− j4)
(3− j4)(− j8)
k2* =
=
= 6+ j8 =10e
s=−3− j4
100(s +3)
(s + 6)(s2 + 6s + 25)
−6t
−3t
0
L−1
= −12e + 20e cos(4t −53,13 ) u(t)
Trường hợp các điểm cực là cực phức riêng biệt
10(s2 +119)
*Tìm f( t), nếu:
F(s) =
(s +5)(s2 +10s +169)
Trả lời: f(t) = (10e-5t - 8,33e-5t sìn12t)u(t)
*Lưu ý: k/(s+a) ↔ ke-at u(t)
k ktn−1e−at
u(t)
(s + a)n (n −1)!
k
k*
+
2k e−t cos(t +)u(t)
s + − j s + + j
2k tn−1
k
k*
+
e−t cos(t +)u(t)
(s + − j)n (s + + j)n (n −1)!
Trường hợp các điểm cực là cực bội
N(s) N(s)
X (s) = =
D(s) (s + p)n
k1 k2
kn
= +
+...+
2
n
s + p
1 d m
(
s + p) (s + p
)
(s + p)n X (s) |s=− p ;m = 0,1,..,(n −1)
km+1 =
m! dsm
1
1
L−1
=
tn−1e− ptu(t)
(s + p)n (n −1)!
Trường hợp các điểm cực là cực bội
100(s + 25) k k1
k2
k3
F(s) =
= +
+
+
3
2
s(s +5)3 s
s +5
s +5 s +5
100(s + 25) 100(25)
k =
=
= 20
s=0
(s +5)3
125
100(s + 25)
100(20)
k1 =
=
= −400
s=−5
s
−5
d 100(s + 25)
s −(s + 25)
k2 =
=100
= −100
s2
ds
s
s=−5
s=−5
1 d 25
1 50
k3 = 100 −
= 100
= −20
2
3
2 ds s
2 s
s=−5
s=−5
Trường hợp các điểm cực là cực bội
Vậy:
100(s + 25)
L−1
=[20 − 200t2e−5t −100te−5t − 20e−5t ]u(t)
s(s +5)3
Ví dụ:
768
768
F(s) =
=
(s2 + 6s + 25)2 (s + 3− j4)2 (s + 3+ j4)2
k1
k2
s + 3− j4 (s + 3+ j4)2 s + 3+ j4
k1*
k2*
=
+
+
+
2
s + 3− j4
768
(s +3+ j4)2
768
k1 =
= = −12
s=−3+ j4
( j8)2
Trường hợp các điểm cực là cực bội
d 768
k2 =
ds (s +3+ j4)2
s=−3+ j4
2(768)
(s +3+ j4)3
= −
= − j3 = 3−900
s=−3+ j4
*
*
Ta chỉ cần tính k1; k2 còn k1 ; k2 là các số phức liên hiệp của k1;
*
*
k2 ; k1 = -12; k2 = j3 = 3 /900
−12
−12
F(s) =
+
(s + 3− j4)2 (s + 3+ j4)2
3 −900 3900
+
+
(
s + 3− j4
)
(s + 3+ j4)
Vậy: f(t) = [-24te-3t cos4t + 6e-3t cos(4t - 900 )]u(t)
Tải về để xem bản đầy đủ
60 trang
20980
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích mạch - Chương 6: Phương pháp toán tử Laplace", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_mach_chuong_6_phuong_phap_toan_tu_laplac.ppt
