Giáo trình Thủy lực môi trường - Chương 2: Tĩnh học lưu chất

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

CHÖÔNG

I. HAI TÍNH CHAÁT CUÛA AÙP SUAÁT THUYÛ TÓNH

1. p ⊥ A vaø höôùng vaøo A. (suy ra töø ñònh nghóa).

2. Giaù trò p taïi moät ñieåm khoâng phuï thuoäc vaøo höôùng ñaët cuûa beà maët taùc duïng.

Xem phaàn töû löu chaát nhö moät töù dieän vuoâng goùc ñaët taïi goác toaï ñoä nhö hình veõ:

Caùc löïc leân phaàn töû löu chaát:

Löïc maët : p_xδyδz; p_yδxδz; p_zδyδx; p_nδyδs.

Löïc khoái: ½Fδxδyδzρ.

z

p_n

Toång caùc löïc treân phöông x phaûi baèng khoâng:

p_xδyδz - p_nδyδs(δz/δs) + ½F_xδxδyδzρ = 0

Chia taát caû cho δyδz :

n

δz

y

p_x

δx

θ

x

δs

p_x- p_n+ ½F_xρδx = 0 ⇒ p_x= p_nkhi δx → 0.

Chöùng minh töông töï cho caùc phöông khaùc

δy

p_z

Suy ra:

p_x=p_y= p_z= p_n

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 1

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

II. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN

Xeùt löu chaát ôû traïng thaùi caân baèng coù theå tích W giôùi haïn bôûi dieän tích A.

Ta coù toång caùc löïc taùc duïng leân löu chaát =0:

Löïc khoái + löïc maët = 0:

W

pdA = 0

∫∫∫^{Fρdw −}∫∫

n

A

w

A

Ta xeùt treân truïc x:

b.d.Gauss

p

∫∫∫^{F ρdw −}∫∫

∫∫∫^{F ρdw −}∫∫∫

p_xdA = 0

div(p.n_x)dw = 0

x

⇔

w

A

w

W

∂(p_yn_xy)

∂y

⎛

⎞

∂(p_xn_xx)

∂x

∂(p_zn_xz

∂z

⎜

⎟

⇔ ρF_x−

+

= 0

⎝

⎠

∂(p_xn_xx)

∂x

∂(p)

∂x

p=p_x=p_y=p_z

= 0←⎯⎯⎯⎯→ρF_x−

⇔ ρF_x−

= 0

Xeùt töông töï cho caùc truïc khaùc

grad(p)dw = 0

∫∫∫^{Fρdw −}∫∫^{pdA = 0 ⇔}∫∫∫^{Fρdw −}∫∫∫

Keát luaän:

w

A

w

W

1

⇔ F − grad(p) = 0

ρ

III. TÍCH PHAÂN PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN

⎫

⎪

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1 ∂p

ρ ∂x

1 ∂p

ρ ∂y

1 ∂p

ρ ∂z

F_x−

= 0× dx

1

F −

= 0× dy + ⇒ (F dx + F dy + F dz) − dp = 0

⎬

y

x

y

z

ρ

⎪

⎭

F −

= 0× dz

z

p_a

p_A

¾Chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc: F_x, F_y=0, F_z=-g:

h_AB

1

p

ρ=const

−gdz= dp⎯⎯⎯→gz+ =const

z_A

ρ

p_B

z_B

p

p_A

p_B

chuaån 0

hay: z+ =const ⇔ z_A+ =z_B+

(1)

γ

hay: p_B= p_A+ γh_ABhay p = p_a+γh

(2)

(1), (2) laø phöông trình thuyû tónh

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 2

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

¾Chaát khí naèm trong tröôøng troïng löïc, neùn ñöôïc:

pV

p

= R

hay

= RT

Xem nhö chaát khí laø khí lyù töôûng:

T

ρ

1

RT

− gdz = dp ⇔ −gdz =

dp

ρ

p

Neáu bieát ñöôïc haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao, ví duï: T=T₀– az; a>0,

T₀laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (thoâng thöôøng laø möïc nöôùc bieån yeân laëng):

R(T −az)

dp

p

dz

g

aR

0

− gdz=

dp⇒

= −g

⇒ lnp =

ln(T −az) + ln(C)

0

p

R(T −az)

0

⇒p = C(T −az)^g

aR

0

p₀= CT^g⇒ C =

p₀

aR

0

T₀^g

Goïi p₀laø aùp suaát öùng vôùi z=0:

aR

g

aR

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

T₀− az

Phöông trình khí tónh:

p = p₀

T₀

AÙp suaát tuyeät ñoái taïi maët bieån yeân laëng laø 760mmHg, töông öùng vôùi

nhieät ñoä T=288 ⁰K. Nhieät ñoä taàng khí quyeån giaûm 6,5 ñoä K khi leân cao

1000m cho ñeán luùc nhieät ñoä ñaït 216,5 ñoä K thì giöõ khoâng ñoåi. Xaùc ñònh

aùp suaát vaø khoái löôïng rieâng cuûa khoâng khí ôû ñoä cao 14500m. Cho

R=287 J/kg.⁰K

Ví duï 1:

Giaûi:

T₀laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (maët bieån yeân laëng):

Ta tìm haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao: T=T₀– az; vôùi a=0, 0065

Cao ñoä öùng vôùi nhieät ñoä T₁=216,5 ñoä K laø z₁= 11000m

Suy ra:

216,5=288 – 0,0065z₁

Nhö vaäy töø z₀=0 ñeán z₁=11000m, aùp suaát bieán thieân theo phöông trình khí tónh:

g

9.81

aR

0.0065*287

⎛

⎞

⎛

⎞

T₀− az

T₀

T₀− az₁

216,5 − 0.0065*11000

⎛

⎜

⎞

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

p = p₀

⇒ p₁= p₀

= 0.76

T₀

216,5

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

p₁= 0.1695mHg

p

p₁

0.1695 *13 .6 * 9.81 *10 ³

287 * 216 .5

3

Töø:

= RT ⇒ ρ₁=

=

= 0.364 kg/m

ρ

RT₁

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 3

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Töø z₁=11000 m ñeán z₂=14500m, nhieät ñoä khoâng ñoåi neân:

RT

1

−

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

RT

RT dp

RT

1

= e^z

g

1

−gdz = ¹dp ⇒ dz = −

⇒ z = −

lnp + ln(C) = ln Cp

⇒ Cp

⎜

⎟

⎠

p

g p

g

Taïi ñoä cao z₁ta coù aùp suaát baèng p₁; suy ra:

g

e^z

1

(z₁−z)

RT

1

C =

⇒ p = p₁e

RT

1

g

( )

p₁

Nhö vaäy taïi ñoä cao z₂=14500m ta tính ñöôïc:

g

9.81

278*216.5

(z₁−z₂)

p₂= p₁e

= 0.17*e^{(11000−14500)}

RT

1

= 0.09752 mHg = 97.52mmHg

p₂ρ₁

vaøø:

ρ₂=

= 0.209kg / m³

p₁

IV. MAËT ÑAÚNG AÙP, P _{TUYEÄT ÑOÁI}, P _DÖ, P _{CHAÂN KHOÂNG}

¾Maët ñaúng aùp cuûa chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc laø maët phaúng naèm

ngang

¾Phöông trình maët ñaúng aùp:

¾AÙp suaát dö :

F_xdx + F_ydy + F_zdz=0

p_dö= p_tñ- p_a

¾Neáu taïi moät ñieåm coù p_dö< 0 thì taïi ñoù coù aùp suaát chaân khoâng p_ck

p_ck= -p_dö= p_a– p_tñ

¾p trong phöông trình thuyû tónh laø aùp suaát tuyeät ñoái pt_ñ.hoaëc aùp suaát dö

0

5

6

3

¾Các điểm naøo (?) có áp suất bằng nhau;

7

4

trong ñoaïn oáng 2-5-6 chöùa chaát khí hay

2

1

chaát loûng ?

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 4

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

V. ÖÙNG DUÏNG

1. Caùc aùp keá:

p_a

p=0, chaân khoâng tuyeät ñoái

p_a

B

h^tñ

h^dö

A

h^ck

A

B

A

p^du_A=p^du_B−γh^ck⇒p^ck_A= γh^ck

p^du_A= p^du_B+γh^du= γh^du

p_A=p_B+γh^td

A^’

2. Ñònh luaät bình thoâng nhau:

B^’

h₁

B

γ₂

h₂

A

Töø p.tr thuyû tónh:

Suy ra

p_A=p_A’+ γ₂h₂; p_B=p_B’+ γ₁h₁

γ₁h₁=γ₂h₂

γ₁

3. Ñònh luaät Pascal:

f

Taïi moät vò trí naøo ñoù trong löu chaát neáp aùp

suaát taêng leân moät ñaïi löôïng Δp thì ñaïi löôïng

naøy seõ ñöôïc truyeàn ñi trong toaøn mieàn löu chaát

→ öùng duïng trong maùy neùn thuûy löïc.

p=f/a

F=pA

Pascal 1623-1662 , Phaùp

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 5

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

4. Bieåu ñoà phaân boá aùp suaát chieàu saâu:

p_a

h

p_a

h

p^dö/γ=h

p^dö=γh

p_a+γh

p^ck

h

p^ck

p^ck/γ

p^ck

h

p^ck/γ

h₁=p^ck/γ

h

p^dö=0, p^tñ=p_a

p^ck/γ-h

p^ck-γh

p^dö/γ=h-h₁

5 . Phaân boá aùp suaát treân moät maët cong:

h

p/γ=h

6 . AÙp keá vi sai:

p_a

p_a→p_a+ Δp

Ban ñaàu thì p₁=p₂=p_a:

γ₁h₁= γ₂h₂

C

Δz

γ₂

A

Khi aùp suaát oáng beân traùi taêng leân Δp: p₁=p_a+Δp; p₂=p_a

γ₁

B

h

h₁

h₂

p_a+ Δp = p_A= p_B− γ₁h_AB= p_C+ γ₂h_BC− γ₁h_AB

= p_a+ γ₂h_BC− γ₁h_AB

0

⇒Δp=γ₂h_BC−γ₁h_AB=γ₂(h₂−h+Δz)−γ₁(h₁−h−Δz)

⇒ Δp = h(γ₁− γ₂) + Δz(γ₁+ γ₂)

Goïi A, a laàn löôït laø dieän tích ngang oáng lôùn vaø oáng nhoû:

ah

⇒ Δp = h(γ₁− γ₂) + (γ₁+ γ₂)

⇒ a.h = A.Δz ⇒ Δz =

A

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 6

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

VI. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH PHAÚNG

p_a

O(x)

¾ Giaù trò löïc

α

h

F^du

=

p^dudA = γhdA = γy sin αdA

∫

h_D

h_C

A

y

= γ sin α ydA =γ sin αy_CA = γh_CA = p^d_C^uA

∫

F

A

dA

F^du= p^d_C^uA

C

¾ Ñieåm ñaët löïc

y_D

D

y_DF = ydF = yγ sinαydA = γ sinα y²dA = γ sinαI_xx

y

∫

A

Taâm aùp

löïc

Suy ra:

γ sinαI_xx

I_xx

I_C+y_C²A

y_CA

y_D=

=

F

y_CA

x

2

I_xx=I_c+y_CA

I_xy=I_x’y’+x_Cy_CA

I_C

y

y_C

y_D= y_C+

y_CA

I_c

Töông töï :

γ sinαI_xy

I_xy

I_x'y'+x_Cy_CA

C

x_D=

=

F

y_CA

I_x'y'

y_cA

x_D= x_C+

I_c: M. q tính cuûa A so vôùi truïc //0x vaø qua C

I_x’y’: M. q tính cuûa A so vôùi troïng taâm C

¾ Löïc taùc duïng leân thaønh phaúng chöõ nhaät ñaùy naèm ngang:

h_A+ h_B

p_C= γ

Ω

h_A

2

F

h_A

A

h_B

h_A+ h

⇒ F = Ap_C= γ

^B(AB)b

C^*

h_B

2

D

B

Ñaët:

Ω=(h_A+h_B).(AB)/2

F=γΩb

Suy ra:

BD=[(h_B+2h_A)/(h_B+h_A)].(AB)/3

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 7

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

VII. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH CONG ÑÔN GIAÛN

F = F_x²+ F_y²+ F_z²

dA_z

A_z

p_a

O(y)

x

¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông x

Maët

cong A

^F^x⁼∫^dF^x⁼∫^{pdA cos(n, ox)}

h

A

A_x

= γhdA_x= γhdA_x= p_cxA_x

∫

dF_x

A

Ax

dA_x

(n,ox)

n

¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông z

F_z= dF_z= γhdA cos(n, oz)

z

dA

∫

A

= γhdA_z= γW

∫

A

W: theå tích vaät aùp löïc: laø theå tích cuûa vaät thaúng ñöùng giôùi haïn bôûi maët cong A

vaø hình chieáu thaúng ñöùng cuûa A leân maët thoaùng töï do (A_z)

p_a

¾ Caùc ví duï veà vaät aùp löïc W:

p^dö/γ

p^dö

p_a

p^ck

F_z

p^ck/γ

p_a

F_z

w

p^ck

p_a

p^ck

w

p^ck/γ

F_z1

p^ck/γ

F_z

w₁

p_a

F_z

w₂

w

p_a

F_z2

P_a

P^ck

P_a

P^du

w

F_z

w

P_a

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 8

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

p_a

p^dö

F_z

W₁: phaàn cheùo lieàn neùt

→F_z1höôùng leân.

W₁: phaàn cheùo lieàn neùt

→F_z1höôùng xuoáng.

W₂: phaàn cheùo chaám

chaám

W₂: phaàn cheùo chaám chaám

→F_z2höôùng xuoáng.

W=W₁-W₂

→F_z2höôùng leân.

W=W₁-W₂

→F_zhöôùng xuoáng

→F_zhöôùng leân

¾ Löïc ñaåy Archimeøde:

Ar

W₁

Ar = γW₂− γW₁= γW

W

W₂(phaàn gaïch cheùo)

Archimede 287-212 BC

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 9

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

VIII. SÖÏ CAÂN BAÈNG CUÛA MOÄT VAÄT TRONG LÖU CHAÁT

Ar = −G

G

Ar

¾ Vaät chìm lô löûng

C

D

C

D

G

Ar

G

Phieám ñònh

Ar

khoâng oån ñònh

oån ñònh

A

G

¾ Vaät noåi

Ar

M

C

D

C

M

D

yy

G

Ar

khoâng oån ñònh:MD<CD

→M thaáp hôn C

oån ñònh: MD>CD

→M cao hôn C

M: Taâm ñònh khuynh.

I_yy

W

I_yy: Moment quaùn tính cuûa dieän tích maët noåi A so vôùi truïc quay yy.

W: theå tích nöôùc bò vaät chieám choã

MD =

VIII. ÖÙNG DUÏNG

Ví duï 2:

Tính z, p_a=76cmHg, γ_nb=11200 N/m^3;γ_Hg=133000

N/m³

p_a

Ta coù: p_A= p_B+ γ_Hgh_AB=0.84 γ_Hg+ γ_Hgh_AB

= γ_Hg(0.84+0.8)=1.64 γ_Hg

p_tñ=0

z

Maët khaùc: p_A– p_a= γ_nb.(z+0.4)

B

40cm

84cm

A

Suy ra:

Suy ra

(z+0.4)=(p_A– p_a)/ γ_nb

=(1.64 γ_Hg- 0.76 γ_Hg)/ γ_nb

=0.88(γ_Hg/ γ_nb)

=0.88.133000/11200=10.45m

Hg

z = 10.05 m

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 10

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Bình ñaùy vuoâng caïnh a=2m. Ñoå vaøo bình hai chaát

Ví duï 3:

Giaûi:

loûng khaùc nhau, δ_ù1=0,8^;δ =1,1. V₁=6m³; V₂=5m^3.

2

Tìm p_B

γ₁= δù₁γ_n=0.8*9.81*10^{^3}N/m³

γ₂= δù₂γ_n=1.1*9.81*10^{^3}N/m³

p_a

A

γ₂

γ₁

h1

h2

B

h=1m

Goïi h₂laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 2: h₂=(5/4)m.

Goïi h₁laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 1: h₁=(6/4)m.

Ta coù h_AB= h₂– h = 0.25m

a=2m

Suy ra: p_B=p_A+γ₂*h_AB= p_A+ γ₂*(0.25)

Suy ra: p_B= p_a+ γ₁*h₁+ γ₂*(0.25)

Suy ra: p^du_B= 0+ γ₁*(1.5) + γ₂*(0.25)=9.81*10³(0.8*1.5+1.1*0.25)=14.5 m nöôùc

Thí nghiệm: Ottovon Guericke (8.5.1654) tại Maydeburg, Đức

Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trong

qủa cầu bằng không .

Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn không tách bán cầu ra được. Vậy phải cần 1 lực

bằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu không

đáng kể)

Chân không p(tuyệt đối) = 0

D

F =?

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 11

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Van phaúng AB hình chöõ nhaät cao 1,5m, roäng 2m, quay quanh truïc A

naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van . Tính löïc F

(xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân

Ví duï 4:

Giaûi:

F ^du= p_C^duA = γh_CA = 9.81*10³*(5−1,5/ 2)*1,5*2

Giaù trò löïc:

n

=125.0775 KN

p_a

Vò trí ñieåm ñaët löïc D:

2*1.5³

O

I_C

12

y_D= y_C+

= 4.25+

= 4.294m

y_C=h_C

y_CA

4.25*1.5*2

y_D

F?

A

5m

⇒ DB = 5− 4.294m = 0.706m

1,5m

C

D

Tính caùch khaùc:

F_n

C*

h_B+ 2h_AAB 5+ 2*3.5 1.5

B

y

DB =

.

=

= 0.706m

h_B+ h_A

3

5+ 3.5 3

Ñeå tính löïc F giöõ van yeân, ta caân baèng moment:

F_n(AD)=F(AB)

Suy ra:

F=F_n(AD)/(AB)=125.07*(1.5-0.706)/(1.5) = 66.22 KN

Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang

nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D .

Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân

Ví duï 5:

Giaûi:

p_a

O

h_C= 3+2/3 = 3.666m

AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu,

E

A

3m

2m

h_C

2

4

AB =

=

= 2.31m

sin(60⁰)

A

C

F

3

2

Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(60⁰)=2.667m

Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m²

C

D

F_n

B

α=60⁰

B

AÙp löïc: F_n^du=γh_CA=9.81*3.666*3.079 = 110,76 KN

Toaï ñoä y_C= OC= h_C/sin(60⁰) = 4.234m

y

b*h³

2.667*2.31³

I_C

36

y_CA

36

OD = y_D= y_C+

= y_C+

= 4.234 +

= 4.304m

y_CA

4.234*3.079

F_n(AD)=F(2)

Suy ra:

F=F_n(AD)/(2)=110.76*(OD-OA)/2 = 110.76*(4.304-3.464)/2 =46.507 KN

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 12

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang

Ví duï 6:

Giaûi:

nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D .

Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân

p_a

O

h_C= 1+ 3+2/3 = 4.666m

AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu,

1m

P₀^du= 0,1at

2

4

E

AB =

=

= 2.31m

sin(60⁰)

3

A

h_C

3m

2m

2

A

C

F

Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(60⁰)=2.667m

Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m²

C

D

F_n

B

AÙp löïc: F_n^du=γh_CA=9.81*4.666*3.079 = 140,97 KN

α=60⁰

Toaï ñoä y_C= OC= h_C/sin(60⁰) = 5.389m

B

b*h³

2.667*2.31³

y

I_C

36

y_CA

36

OD = y_D= y_C+

= y_C+

= 5.389 +

= 5.444m

y_CA

5.389*3.079

F_n(AD)=F(2)

Ghi chuù: OA=4/sin(60⁰)

Suy ra:

F=F_n(AD)/(2)=140.97*(OD-OA)/2 = 140.97*(5.444 – 4.619)/2 =58.133 KN

Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm

ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm

ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân

Ví duï 7:

Giaûi:

p_C= -γh_C= -9.81*10³*(1+ 2-2/3) = -9.81*10³* 2.333 N/m²

P₀^ck= 0,6at

AB =2.31 m

AE= 2.667m

A=3.079 m2

A

3m

A

C

F

AÙp löïc: F_n^du=-γh_CA=-9.81*2.333*3.079

D

C

= -70.483 KN

2m

1m

F_n

B

α=60⁰

h_C

Toaï ñoä y_C= - OC= h_C/sin(60⁰) = -2.694 m

B

p_a

O

b*h³

2.667*2.31³

y

I_C

36

y_CA

36

OD = y_D= y_C+

= y_C+

= −2.694 +

= -2.804m

y_CA

− 2.694*3.079

F_n(AD)=F(2)

Ghi chuù: OA=3/sin(60⁰)

Suy ra:

F=F_n(AD)/(2)=140.97*(OA-OD)/2 = 70.483*(3.464 – 2.804)/2 =23.25 KN

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 13

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=3m

Ví duï 8:

Giaûi:

quay quanh truïc naèm ngang qua O. Van coù khoái löôïng 6000 kg vaø

troïng taâm ñaët taïi G nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân

van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Xaùc ñònh moment caàn môû van

1.5

F = p_cxA_x= γh_cxA = 9.81*10³* *1.5*3 = 33.10KN

x

2

πR²

4

π*1.5²

F = γW = γ

L = 9.81*10³*

*3 = 52KN

z

4

p_a

O

F = F²+ F²= 33.10²+ 52²= 61.65KN

x

z

0,6m

F

52

G

1,5m

=1.570796 ⇒ α = 57,52⁰

0,6m

z

F_x

tg(α) =

=

D

F

33.1

x

α

M = G*0.6 = 9.81*6000*0.6 = 35316 Nm

G

F_z

F

nöôùc

Moät hình truï baùn kính R=2m; daøi L=2m ÔÛ vò trí caân baèng nhö hình

veõ . Xaùc ñònh troïng löôïng cuûa phao vaø phaûn löïc taïi A

Ví duï 9:

Giaûi:

F_z1=γW₁

p_a

R_A= F = p_cxA_x= γh_cxA_x

x

R

2

= 9.81*10³* *2*2

A

2

= 39.24KN

nöôùc

F_z2=γW₂

G

G + F + F = 0

z1

z2

3

⇒ G = γW₂- γW = 9.81*L*( πR²+ R²)

1

4

G = 263.3941KN

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 14

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 10:

Giaûi:

Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=2m

quay quanh truïc naèm ngang qua O nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc

duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D .

AB = 2R ²= 2*1.5²= 2.12m

F_z1

p_a

A

R

F_x= p_cxA_x= γh_cxA

2.12

2

nöôùc

= 9.81*10³*

* 2.12 *2

45⁰

C

O

= 44.145 KN

F_x

F

2

F_z2

πR

4

R²

2

⎛

⎞

⎜

⎟

F_z= γW = γ

−

L

α

⎟

⎝

⎠

B

2

π*1.5 1.5²

⎛

⎞

3

⎜

⎟

= 9.81*10 *

−

*2

4

2

⎝

⎠

F_z

= 12.5989 KN

F = F_x²+ F_z²= 44.145²+12.60²= 45.91KN

F_z

12.6

tg(α) =

=

= 0.285 ⇒ α = 15.92⁰

F_x44.15

Ví duï 11:

Moät khoái hình hoäp caïnh a=0,3m ñoàng chaát tyû troïng 0,6 noåi treân

nöôùc nhö hình veõ. Tính chieàu saâu ngaäp nöôùc x cuûa hình hoäp .

Giaûi:

G = Ar ⇔

γ_n*a²*x

0.6*γ_n*a³=

x

⇒x= 0.6*a =0.6*0.3

x = 0.18 m

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 15

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 12: Một bình baèng saét hình noùn cuït khoâng ñaùy ( δ=7.8) được uùp như hình

vẽ. Đaùy lôùn R=1m, ñaùy nhoû r=0,5m, cao H=4m, daøy b=3mm. Tính giới

hạn möïc nöôùc x trong bình ñeå bình khoûi bò nhaác leân.

V_noncuttrong= πH(R²+ r²+ Rr) /3

Giaûi:

V_noncutngoai= πH((R + b)²+ (r + b)²+ (R + b)(r + b))/3

Troïng löôïng bình:

G = γ_nδV = γ_nδ(V_noncutngoai− V_noncuttrong) =1000*7.8*0.057 = 441.96kgf

Ta tính löïc F_zhöôùng leân do nöôùc taùc duïng leân bình:

r

x

R − r_x

R − r

πx

x

Từ quan hệ:

b

=

⇒ r_x= R −

(

R − r

)

H

⎡

⎤

F = γ_nW = γ_nR²πx −

(R²− r_x²+ Rr_x)

r_x

z

⎢

⎥

⎦

3

⎣

πx

x

⎡

⎤

x

W

= γ_n

2R²− (R − (R − r))²− R(R − (R − r))

⎢

⎣

⎥

⎦

3

H

2

R

⎡

⎤

⎥

πx 3R(R − r)

3

(R − r)

⎛

⎜

⎞

⎟

x −

x

= 392.7x²−16.36x³

⎢

Fz

H

⎝

⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

Ñieàu kieän: G ≥ F_z

⇔16.36x³−392.7x²+ 441.96 ≥ 0

Suy ra: 441.96 ≥ F_z

Giaûi ra ñöôïc x ≤ 1.09 m

VIII. TÓNH HOÏC TÖÔNG ÑOÁI

1.Nöôùc trong xe chaïy tôùi tröôùc nhanh daàn ñeàu:

z

x

O

α

•Phaân boá aùp suaát:

A

1

a

H

(Fdx+Fdy+Fdz)− dp=0

vôùi Fx=-a; Fy=0; Fz=-g

x

y

z

ρ

B

Suy ra:

g^*

g

1

p

ρ

(−adx − gdz) − dp = 0 ⇒ ax + gz + = C

ρ

Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng:

p_A

ρ

p_B

ρ

+ gz_A=

+ gz_B⇒ p_B= p_A+ γh_ABhay p = p_a+ γh^*

•P.tr Maët ñaúng aùp:

a

g

(−adx − gdz) = 0 ⇒ ax + gz = C ⇒ z = − x + C

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 16

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

2.Nöôùc trong bình truï quay ñeàu quanh truïc thaúng ñöùng:

z

•Phaân boá aùp suaát:

H/2

H

ÔÛ ñaây: F_x=ω²x; F_y=ω²y; F_z=-g.

H/2

A

B

r

O

ω²r

Suy ra:

1

p ω²r²

(ω²xdx+ω²ydy−gdz)− dp=0⇒z+ −

=C

ρ

γ

2g

g

ω

Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng:

2

p_Aω²r_A

p_Bω²r_B²

=z_B+ −

z_A+ −

⇒p_B=p_A+γh_ABhay p=p_a+γh^*

γ

2g

γ

2g

•P.tr Maët ñaúng aùp:

ω²r²

2g

ω²r²

2g

(ω²xdx+ω²ydy−gdz) =0⇒z−

=C⇒z =

+C

IX. ÖÙNG DUÏNG TÓNH TÖÔNG ÑOÁI

Nguyeân lyù laéng ly taâm :

ρ_lWg

F_l

ρ_r<ρ_l: noåi vaøo

ρ_lWω²r

ρ_rWω²

ρ_r>ρ_l: chìm ra

W

r

F_r

ρ_rWg

¾Haït daàu quay cuøng trong nöôùc seõ noåi leân maët thoaùng vaø ôû taâm bình truï.

¾Haït caùt quay cuøng trong nöôùc seõ chìm xuoáng vaø ôû meùp daùy bình truï.

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 17

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 13:

Moät thuøng hình truï hôû cao H = 1,2 m chöùa nöôùc ôû ñoä saâu h_o=1m vaø di chuyeån

ngang theo phöông x vôùi gia toác a = 4m/s². Bieát bình coù ñöôøng kính D = 2m.

Tính aùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ñaùy bình trong luùc di chuyeån vôùi gia toác treân

Giaûi

Choïn goác toaï ñoä laø giao ñieåm cuûa truïc bình vaø maët thoaùng , p.tr maët thoaùng:

a

z = − x

g

4

z_{−D/ 2}

=

1= 0.407m > H − h₀=1.2 −1= 0.2m

Taïi x=-D/2:

9.81

D

O

Vaäy khi bình chuyeån ñoäng nöôùc traøn ra ngoaøi. Sau khi

traøn ra xong, maët thoaùng nöôùc phaûi vöøa chaïm meùp sau

bình. Giaû söû luùc aáy bình döøng laïi, thì möïc nöôùc trong

bình coøn laïi laø h₁. Ta coù:

Δh/

Δh

H

2

h₁

x

Δh

4 Δh

1=0.407m⇒h₁=H− =1.2−0.407=0.793m

9.81

=z_−D/2

=

2

D²

4

Suy ra löïc taùc duïng leân ñaùy bình luùc aáy laø:

F = γh₁π

= 24.42 KN

Ví duï 14:

Moät bình truï D=100mm chöùa nöôùc quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua

taâm.

Khi möïc chaát loûng giöõa bình haï thaàp xuoáng 200mm (so vôùi luùc tónh) thì bình

quay vôùi vaän toác bao nhieâu? Neáu quay bình vôùi n=800v.ph maø khoâng muoán

ñaùy bò caïn thì chieàu cao toái thieåu cuûa bình phaûi baèng bao nhieâu?

Giaûi

z

ω²r²

ω²R²

Phöông trình maët thoaùng:

z =

⇒ H =

2g

0.2

H

0.2

m

A

B

r

m

O

ω²r

Khi möïc nöôùc giöõa bình haï xuoáng 0,2m thì H=0,4m.

Suy ra:

ω²(0.05)²

0.4*2*9.81

(0.05)²

g

0.4 =

⇒ ω =

= 56.03s^-1= 535vong / ph

ω

2*9.81

Neáu quay bình vôùi n=800v/ph =83,76 s^-1maø khoâng muoán ñaùy bò caïn thì :

(83.76)²(0.05)²

H =

= 0.896m

2*9.81

Vaây chieàu cao toái thieåu cuûa bình phaûi laø 0.896 m

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 18

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Ví duï 15:

Moät bình hình hoäp kín (cao b, ñaùy vuoâng caïnh a) chöùa nöôùc ñaày nöôùc

quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua taâm. Bieát taïi A- taâm ñaùy treân

cuûa bình laø aùp suaát khí trôøi. Tính löïc taùc duïng leân maët beân cuûa bình

Giaûi

Maët ñaúng aùp - p_a

ω²r²

Ta coù:

h* =

h*

2g

A

Löïc taùc duïng leân vi phaân dA_xbaèng:

b

a²

⎛

⎞

ω²(y²+

)

C

y

⎜

⎟

b

2

4

⎜

⎟

dF = p_CdA_x= γ

+

bdy

a²

dA_x

⎜

⎝

⎟

⎠

2g

r

a/2

x

a /2

2

⎛

⎞

b ω

+

(y²+ ) dy

0

Suy ra:

⎜

⎟

F = 2γb

∫

⎟

2 2g

4

⎝

⎠

0

a

3

2

⎡

⎤

⎥

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

b a ω

+

(

a / 2

)

a a

= 2γb

+

⎢

2 2 2g

3

4 2

⎢

⎣

⎥

⎦

2

3

ab ω a

a³

⎡

⎤

b ω a

⎡

⎤

⎥

⎦

⎛

⎞

F = γab

+

⎜

⎟

=2γb

+

⇒

⎢

⎣

⎥

⎦

⎢

⎣

⎜

2

6g

4

2g 24 8

⎝

⎠

Ví duï 16:

Giaûi:

Moät heä thoáng goàm 3 oáng nghieäm thaúng ñöùng baèng vaø thoâng nhau quay

quanh Oz qua oáng giöõa nhö hình veõ. Vaän toác quay n=116 voøng/ph. Boû

qua ñoä nghieâng maët nöôùc trong oáng. Tìm p_C, p_O, p_Btrong hai tröôøng

hôïp nuùt kín vaø khoâng nuùt C, C’,

Neáu nuùt kín C,C’ thì khi quay, nöôùc khoâng di chuyeån,

nhöng aùp suaát taïi C vaø C’ seõ taêng leân. Phöông trình maët

ñaúng aùp – aùp suaát p_C(choïn goác toaï ñoä taïi ñaùy parabol):

A

O

C

C’

ω²r²

12.15²*0.2²

2*9.81

z =

⇒ h =

= 0.30 m

h

2g

Nhö vaäy aùp suaát dö taïi C vaø C’ baèng nhau vaø baèng:

40cm

p^d_C^u= p^du= γh = 9810*0.30 = 2951N/m²

ω

C'

B

D

⇒ p^d_D^u= γ*0.4 = 9810*0.40 = 3924N/m²

⇒ p^d_B^u= γ*(0.4 + 0.3) = 6875 N/m²

r=0.2m

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 19

TS. Nguyeãn Thò Baûy, ÑHBK tp. HCM, www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

Neáu khoâng nuùt C,C’ thì khi quay, nöôùc taïi A seõ haï thaáp

xuoáng h, vaø nöôùc taïi C vaø C’ seõ daâng leân h/2. Phöông

trình maët ñaúng aùp – aùp suaát khí trôøi (choïn goác toaï ñoä taïi

ñaùy parabol):

C’ A

O

C h/2

h

ω²r²

3

12.15²*0.2²

2*9.81

z =

⇒ h =

= 0.30 m ⇒ h = 0.2m

2g

2

ω

B

D

⇒ p_C^du= p^du= γ h / 2 = 9810*0.10 = 981N/m²

r=0.2m

C '

⇒ p^d_D^u= γ*(0.4 − 0.2) = 9810*0.2 =1967.5N/m²

⇒ p^d_B^u= γ*(0.4 + 0.1) = 4905 N/m²

Ví duï 17

Moät oáng troøn baùn kính r = 1 m chöùa nöôùc ñeán nöûa oáng nhö hình veõ.

Treân maët thoùang khí coù aùp suaát dö p_o= 0,5 m nöôùc. Bieát nöôùc ôû traïng

thaùi tónh. Tính toång aùùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ¼ maët cong (BC) treân

1m daøi cuûa oáng

p_o

r

B

Giaûi:

C

r

F = p_cxA_x= γ(0,5+ )r.1= 9810*(0,5+ 0,5)*1= 9810N

x

2

r²

F = γW = γ(π + 0,5r).1 = 9810*1.285 =12605.85N

z

4

F = F²+ F ²=15973.2 N

x

z

CH. 2 - THUÛY TÓNH - trang 20