Đề tài Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh Lớp 9 trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÒA BÌNH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
-----------------------------
Giảng viên: Bùi Thị Dần
f
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
“Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường Phổ
thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành
Hòa Bình, tháng 6 năm 2020
CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ CƯƠNG ĐỀ TÀI
1
THCS
HS
Trung học cơ sở
Học sinh
GV
Giáo viên
SGK
SBT
GT
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Giả thiết
KL
Kết luận
CM
Chứng minh
2
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và công
nghệ. Việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sơ
nghiên cứu các bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu
quả trong mọi lĩnh vực của đời sống.
Trong nhà trường THCS có thể nói môn toán là một trong những môn
học giữ một vị trí hết sức quan trọng. Bởi lẽ, toán học là một bộ môn khoa
học tự nhiên mang tính trừa tượng cao, tính logíc đồng thời môn toán còn là
bộ môn công cụ hỗ trợ cho các môn học khác, có tính thực tiễn. Những tri
thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán
học trở thành công cụ để học tập những môn khoa học khác.
Trong chương trình toán THCS, môn hình học là rất quan trọng và rất
cần thiết cấu thành nên chương trình toán học ở THCS cùng với môn số học
và đại số. Môn hình học là môn học rèn luyện cho học sinh khả năng đo đạc,
tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Tuy nhiên,
môn hình học có tính trừu tượng cao, nhiều học sinh luôn coi là môn học khó,
chỉ có một bộ phận học sinh khá, giỏi, những em có óc tưởng tượng phong
phú, tư duy nhạy bén tỏ ra thích thú khi học hình, số học sinh còn lại thường
“sợ” nó. Vì vậy, muốn học tốt môn học này không những đòi hỏi học sinh
phải có các kĩ năng đo đạc và tính toán như các môn học khác mà còn phải có
kĩ năng vẽ hình, khả năng tư duy hình khối, khả năng phân tích tìm lời giải
bài toán và khả năng khai thác các cách giải và phát triển bài toán theo một
cách có hệ thống.
Trong chương trình Hình học 9, trước một lượng kiến thức tương đối
mới về đường tròn và một lượng lớn các bài toán về đường tròn, các em
thường lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu và làm như thế nào. Điều đó đã
dẫn đến một số thực trạng là có không ít học sinh lớp 9 chỉ chuyên tâm vào
học môn đại số và bỏ mặc môn hình học.
3
Với tầm quan trọng như vậy, để khắc phục tình trạng trên và giúp các
em có cái nhìn đúng đắn về việc học bộ môn hình học, tôi chọn nghiên cứu đề
tài: “Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9 trường
Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành” với mong muốn
góp phần nâng cao hiệu quả, chất lượng trong dạy học môn hình học lớp 9
của trường.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Phát triển kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9
trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành.
3. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
3.1. Khách thể nghiên cứu:
Hoạt động học tập môn hình học của học sinh lớp 9 trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành.
3.2. Đối tượng nghiên cứu:
Biện pháp phát triển kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp của học sinh
lớp 9 trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề tài
như các sách giáo khoa và sách bài tập hình học 9, sách liên quan đến phát
triển năng lực cho cho học sinh, các bài báo liên quan đến chứng minh tứ giác
nội tiếp của học sinh, mạng internet.
- Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng chứng minh hình học của học sinh lớp
9 trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành thuộc trường
CĐSP Hòa Bình.
.
- Thiết kế tài liệu, giáo án và thực hành các giáo án các bài có liên quan
đến tứ giác nội tiếp.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu học sinh được nghiên cứu tài liệu, làm bài tập, đề xuất bài tập thì
sẽ dần hình thành kĩ năng chứng minh cho bản thân.
4
6. GIỚI HẠN VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Lí thuyết và bài tập liên quan đến đường tròn thuộc chương trình sách
giáo khoa hình học lớp 9.
- Đề tài này chỉ nghiên cứu trên đối tượng học sinh lớp 9 trường phổ
thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành thuộc trường CĐSP Hòa
Bình.
Đề tài được tiến hành trong 1 năm học: Từ tháng 8 năm 2019 đến tháng
5 năm 2020.
7. CÁCH TIẾP CẬN, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
7.1. Cách tiếp cận
Nghiên cứu tài liệu liên quan đến lí thuyết và bài tập về đường tròn. Tìm
hiểu thực trạng việc dạy học hình học ở của học sinh lớp 9 trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành. Tìm hiểu sách giáo khoa và
sách bài tập hình học lớp 9 và các sách về phương pháp dạy học nhằm phát
huy năng lực của học sinh.
7.2. Phương pháp nghiên cứu
7.2.1. Các phương pháp nghiên cứu lí luận
Tổng quan các tài liệu về chứng minh hình học phương pháp giảng dạy
nhằm phát triển năng lực người học.
Sử dụng phối hợp một số phương pháp như phân tích, đánh giá, tổng
hợp, khái quát hóa,… trong nghiên cứu.
7.2.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học hình học của trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành và kĩ năng chứng minh hình học
của học sinh lớp 9.
Phương pháp quan sát: Quan sát các hoạt động dạy học hình học của
giáo viên và học sinh để có những điều chỉnh kịp thời trong quá trình học tập
và giảng dạy.
5
Phương pháp thực nghiệm: Giáo viên thiết kế tài liệu, các bài giảng và
thực hiện. Học sinh nghiên cứu tài liệu, thực hành giải toán và đề xuất bài
toán nhằm nâng cao kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho bản thân.
8. Đóng góp của đề tài
8.1. Những đóng góp về lý luận
Đưa ra được tài liệu về chứng minh tứ giác nội tiếp, góp phần hệ thống
các kiến thức về đường tròn và các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
nhằm nâng cao kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9.
8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
Tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học hình học của trường Phổ thông
thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành và kĩ năng chứng minh hình học
của học sinh lớp 9 đề từ đó có những phương án thiết kế tài liệu, giáo án và
giảng dạy phù hợp với điều kiện nhà trường nhằm phát triển kĩ chứng minh tứ
giác nội tiếp của người học.
9. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo đề tài
chia làm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
Chương 2: Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh lớp 9
6
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Hiện nay có nhiều tác giả đã viết các tài liệu tham khảo về vấn đề tứ
giác nội tiếp học như:
Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9, NXB
Giáo dục, 2005. Trong tài liệu này, tác giả giúp người đọc tiếp cận bài toán tứ
giác nội tiếp theo các hướng: Đưa ra một số phương pháp chứng minh tứ giác
nội tiếp và ứng dụng của tứ giác nội tiếp trong chứng minh hình học.
Vũ Hữu Bình, Một số vấn đề phát triển hình học 9, NXB Giáo dục,
2002. Ở đây, tác giả đưa ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp bằng
cách sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác.
Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Việt - Vũ Dương Thuỵ, Toán nâng cao
và các chuyên đề hình học 9, NXB Giáo dục, 2006. Trong cuốn sách này,
các tác giả giới thiệu về tứ giác nội tiếp theo hướng đưa ra một số kiến thức
cần nhớ và các ví dụ minh họa. Trong tài liệu này, các tác giả chưa chia nhỏ
các dạng kiến thức cần áp dụng và các ví dụ đi kèm các dạng kiến thức đó
cũng như các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.
1.2. Cơ sở lí luận của đề tài
Trong các bài toán về đường tròn ở lớp 9, đa số có chứng minh tứ giác
nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng
nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh tỉ lệ thức,
chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, … Để chứng minh tứ giác
nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan
hệ giữa góc và đường tròn, định lí đảo về tứ giác nội tiếp, … Đặc biệt phải
biết hệ thống các kiến thức trên lại với nhau sau khi học xong chương “ Góc
và đường tròn” của hình học 9. Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo
viên đối với học sinh.
7
Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện
ở định lí đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK Toán 9 tập 2 thì SGK đã chia
nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt
các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu.
Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một
đường tròn.
Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan
trọng.
Để nghiên cứu và viết về đề tài này tôi đã căn cứ vào những cơ sở lí luận
khoa học sau:
1.2.1. Phương pháp phân tích – tổng hợp
Để chứng minh các bài toán trong đề tài, tác giả dùng phương pháp phân
tích – tổng hợp
Giả sử A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán: Để chứng
minh A B, ta chứng minh rằng A A1 A2 ... B.
Các quan hệ kéo theo nói trên được trình bày dưới dạng: A1 A2 (lí do)
hoặc: (lí do) A1 A2.
Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta thường:
a - Khai thác giả thiết của bài toán : Từ A A1, từ A1 A2 ,....Và cuối
cùng suy ra Am.
b - Phân tích đi lên từ kết luận của bài toán: Để chứng minh B ta có thể
chứng minh B1 , để chứng minh B1 ta có thể chứng minh B2,…, cuối cùng ta
có thể chứng minh Bn.
Nếu chứng minh được Am Bn thì bài toán chứng minh A B được
chứng minh với sơ đồ sau: A A1 A2 … Am Bn …. B2
B1 B.
8
1.2.2. Một số phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau
Phương pháp 1: Sử dụng tính chất của hai góc đồng vị (hay so le) tạo
bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Phương pháp 2: Áp dụng định lí góc có cạnh tương ứng song song hay
vuông góc.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất về góc tương ứng của hai tam giác
đồng dạng.
Phương pháp 4: Áp dụng tính chất góc nội tiếp, góc giữa một tia tiếp
tuyến và một dây cung, …
Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp bắc cầu, cùng phụ, cùng bù
để chứng minh hai góc bằng nhau.
1.2.3. Các bài toán cơ bản về quỹ tích cung chứa góc
Bài toán 1: Quỹ tích các điểm M sao cho AMB 900 , trong đó AB là
·
một đoạn cho trước là đường tròn đường kính AB.
Bài toán 2: Quỹ tích các điểm M tạo với hai mút của đoạn thẳng AB cho
·
trước một AMB có số đo không đổi bằng (0o < < 180o) là hai cung tròn
đối xứng nhau qua AB gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB.
1.2.4. Định lí thuận, đảo về “Tứ giác nội tiếp một đường tròn”
Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng
1800.
Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng 2 góc đối nhau bằng 1800 thì tứ
giác đó nội tiếp được đường tròn.
1.2.5. Tính chất của tam giác đồng dạng
Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau.
1.2.6. Định nghĩa tứ giác nội tiếp
Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm
trên đường tròn đó.
9
1.3. Cơ sở thực tiễn của đề tài
Ở trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong
đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt động toán học của học sinh. Để rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản
cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết cách tổng hợp, phân
dạng, khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ tìm
tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán. Nhưng thật tiếc là trong thực tế
chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên.
Vì thời gian trên lớp học còn hạn chế nên việc tổng hợp các kiến thức
một cách logic nhiều khi giáo viên chúng ta chưa làm được mà chủ yếu vẫn
chỉ dừng lại các kiến thức được trình bày theo mạch của sách giáo khoa. Điều
đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho
nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết phải bắt đầu từ
đâu? cần vận dụng kiến thức nào? bài toán có liên quan đến những bài toán
nào đã gặp? Hình học không đơn thuần “Chỉ vẽ hình là ra”. Nó cũng đòi hỏi
cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng - đức tính cần có của người làm
toán.
Trong quá trình dạy toán, tôi thấy rằng việc tổng hợp các kiến thức một
cách logic cho học sinh là một phương pháp khoa học và hiệu quả. Việc làm
này giúp cho HS không lúng túng trước một vấn đề cần giải quyết do đó nó
củng cố cho học sinh lòng tin vào khả năng giải toán của mình. Chỉ vậy thôi,
chúng ta đã nhen nhóm lên trong các em một tình yêu toán học, một môn học
được coi là quá khô khan.
Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy bản thân chúng tôi thấy
học sinh có lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình ở lớp 9.
Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết: Các em chỉ rập khuôn, máy
móc những vấn đề các thầy cô nêu trên lớp, nhiều khi học một cách thụ động
chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sáng tạo trong cách giải một bài
toán nào đó, chưa chú tâm trong việc giải quyết bài tập và không có phương
10
pháp giải quyết các bài toán Hình học nhất là toán chứng minh. Để chứng
minh bài toán hình yêu cầu lượng kiến thức vận dụng nhiều, đa phần là kiến
thức cũ, khó nhớ.
- Khi thăm dò khảo sát thái độ học môn Hình của học sinh lớp 9 năm
học 2019 - 2020, đã cho thấy: Thực tế, học sinh học phân môn hình học còn
yếu về mọi mặt, tỉ lệ học sinh khá giỏi bộ môn toán hình trong các trường còn
hạn chế, khả năng chứng minh và tư duy sáng tạo của học sinh còn yếu nên số
học sinh yếu kém chiếm tỉ lệ cao số HS yêu thích môn hình còn ít.
Trước thực trạng trên, đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp
dạy và học sao cho phù hợp, từ đó đã thúc giục bản thân tôi tìm hiểu và thực
hiện đề tài này.
11
Chương 2
RÈN KĨ NĂNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
2.1. Cung cấp các kiến thức liên quan đến tứ giác nội tiếp
Trên cơ sở định nghĩa và định lí thuận đảo về tứ giác nội tiếp trong
sách giáo khoa toán 9 tập 2, tác giả xây dựng tài liệu về tứ giác nội tiếp để
cung cấp cho học sinh để học sinh có thể tự mình nghiên cứu và hình thành
cho bản thân một cái nhìn bao quát và sâu sắc về tứ giác nội tiếp. (Nội dung
tài liệu này là phần phụ lục)
2.2. Củng cố các kiến thức liên quan đến tứ giác nội tiếp
Để áp dụng các các tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, ngoài
việc yêu cầu HS giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập toán 9,
giáo viên có thể đưa ra một số bài tập vận dụng như sau để HS tự giải hoặc
hướng dẫn các em trong các giờ tăng cường.
Bài toán 1: Cho hình vẽ bên,
AC BD
OF BC
OH AD
OE AB
OG DC
có
E,
G,
tại O,
tại F,
tại H.
tại
tại
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên.
Chứng minh:
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
AEOH, BFOE, CGOF, DHOG.
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện là:
AEFC, AHGC, BEHD, BFGD.
Thật vậy: Xét tứ giác AEFC:
·
·
·
EAC EOB
ABO
)
Ta có:
(cùng phụ với
»
·
·
BEF EOB
EB
)
(hai góc nội tiếp cùng chắn
12
·
·
EAC BEF
tứ giác AEFC nội tiếp.
Đối với các tứ giác AHGC, BEHD, BFGD chứng minh tương tự.
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
Thật vậy,
·
·
¼
OEH OAH
OH
Ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn
AOH
)
·
·
OAH HOD
(vì cùng phụ với
)
·
·
¼
HOD HGD
HD
(hai góc nội tiếp cùng chắn
)
·
·
OEH HGD.
·
·
OEF FGC
Chứng minh tương tự ta được:
·
·
·
·
OEH OEF HGD FGC
Từ đó:
·
·
·
FEH HGD FGC
0
0
·
·
·
·
·
HGD FGC HFG 180 FEH HGF 180
Mặt khác:
Vậy tứ giác EFGH nội tiếp.
Bài toán 2: Cho hai đường tròn
O
và O/ cắt nhau ở A và B. Tiếp
tuyến tại A của đường tròn
O
cắt O/ ở M. Tiếp tuyến tại A của đường tròn
O/ gặp
O tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác
AMEN nội tiếp một đường tròn.
Phân tích:
Chứng minh tứ giác ANEM
nội tiếp một đường tròn (1)
mà ta thấy E đối xứng với A
qua B nên là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM
nằm trên đường trung trực của
đoạn AE, và như thế tâm của
đường tròn này cũng nằm trên
13
trung trực của các đoạn thẳng nào? (Đoạn AN và AM ).
Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng phương pháp 1 nhằm sử dụng tính
chất của đường trung trực của một đoạn thẳng.
Hướng dẫn:
Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM thì:
1 IA IN IE IM 2 .
Thật vậy: OI // AO/ (cùng vuông góc với AN ) và OA // IO/ (cùng
vuông
góc
với
AM)
AOIO/
là
hình
bình
hành
·
OIO/ OAO/ OBO/ OIBO/ là tứ giác nội tiếp (theo dấu hiệu 4) nhưng
chứng minh được KH là đường trung trực của AB (K là giao điểm của AI và
OO/
) IB là đường trung trực của AE IA IN IE IM.
Bài toán 3: Trên O, R lấy 2 điểm A, B sao cho AB 2R. Gọi giao điểm
của các tiếp tuyến của
O
tại A, B là P. Qua A, B kẻ dây AC, BD song song
với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC là Q. Chứng minh tứ giác AQBP
nội tiếp được.
Phân tích:
Để chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp (1)
A
0
·
·
Ta có thể chứng minh: APB AQB 180
P
C
O
Q
(2)
Thật vậy, theo giả thiết có
B
0
·
·
OAP OBP 180
D
Tứ giác AOBP nội tiếp
0
·
·
APB AQB 180
·
·
Vậy để chứng minh ( 2 ) ta chứng minh: AQB AOB 3 .
Chứng minh (3) có nhiều cách.
14
Chẳng hạn AC // BD (gt) nên hai cung AB và CD bằng nhau
·
·
AQB AOB (cùng bằng số đo cung AB của
O ) (3) được chứng minh
(2)
(1).
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K
tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK
cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được.
Phân tích: Từ giả thiết dễ thấy
A
0
·
µ
HIK A 90 (1)
Giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì
N
R
K
¶
·
K1 NCH (2)
1
I
M
thế thì HIK và ABC đồng dạng (3)
B
C
S
H
Chứng minh (3): HAB và HCA
HA AB
đồng dạng
(4)
HC AC
HA HI
Chứng minh HAS và HCR đồng dạng
(5)
HC HK
HI HK
Từ (4) và (5)
(6)
AB AC
Từ (1) và (6) (3) (2) Tứ giác HCNK nội tiếp.
0
ˆ
ˆ
Cách khác: Chứng minh CHK ANK 45
Trên cạnh AB kấy điểm M/,
A
trên cạnh AC lấy N/
N/
sao cho AM/ = AN/ = AH
R
K/
I/
1
Gọi I/, K/ là giao điểm của M/N/
với phân giác các góc BAH, CAH
AI / M / AI / H (c.g.c)
M/
B
C
S
H
/
/
/
0
I/
ˆ
ˆ
AHI AM I 45 I
Chứng minh tương tự K
K/
15
0
suy ra M
M/, N N/ AHK ANK 45 tứ giác HCNK nội tiếp.
ˆ
ˆ
Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác nữa nhưng có
thể nói vẫn là sử dụng một trong 5 dấu hiệu đã nêu trên. Ở đây, với mỗi bài
tôi chỉ trình bày từ một đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ việc phân tích
theo định hướng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp.
Bài toán 5:
(Trích đề thi vào trường Hoàng Văn Thụ năm học 2016-2017)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R có Bx là tiếp tuyến với
nửa đường tròn và C là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm D tùy ý trên
cung BC (D khác C, D khác B). Các tia AC, AD cắt tia Bx theo thứ tự tại E và
F.
1) Chứng minh rằng: FB2 FD.FA
2) Chứng minh rằng: Tứ giác CDFE là tứ giác nội tiếp.
3) Khi AD là phân giác của góc BAC, hãy tính diện tích của tứ giác
CDFE theo R.
Đáp án
Ý
Nội dung
Điểm
X
E
C
D
F
B
A
O
0
·
0,25
Bx AB ( Tính chất của tiếp tuyến) ABF 90
0
·
1
2
ADB 90 (Vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BD FA
Trong tam giác ABF vuông tại B, có BD là đường cao, ta có:
FB2 FD.FA
0,25
0,25
·
·
Ta có CDA CBA ( vì là góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
16
·
·
·
FEC CBA ( vì cùng phụ với EBC )
·
·
CEF CDA
0
0
·
·
·
·
0,25
0,25
CDA CDF 180 CDF CEF 180 tứ giác CDFE nội tiếp.
2
3
SADC
SAEF
AC
AF
Ta có ADC : AEF(g.g)
1
0
·
»
CAB BC 45 AC R 2
2
ABE vuông cân tại B nên AB = BE
AE 2.AB 2.BE 2 2R
AF là phân giác của tam giác ABE nên ta có
FE AE
2 FE 2.BF
FB AB
0,25
2R
2 2R
1 2
Mà BF FE 2R BF
;FE
1 2
1
2 2R2
1 2
SAEF FE.AB
2
0,25
0,25
2R 4 2
1 2
SADC
(1 2)2
1
Tính được AF
SADC R2
SAEF
2
2(4 2 2)
(3 2 1).R2
2(1 2)
SCDFE SAEF SADC
Bài toán 6:
(Trích đề thi vào trường Hoàng Văn Thụ năm học 2018-2019)
Cho đường tròn (O) đường kính AB , điểm nằm giữa hai điểm
khác và ). Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại , đường thẳng này
cắt đường tròn (O) tại và . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng BM
và AN , qua kẻ đường thẳng song song vớiMN , đường thẳng này cắt các
đường thẳng AB và AM lần lượt tại và
I
A và O
(
I
A
O
I
M
N
S
S
K
H .
1) Chứng minh rằng tứ giác SKAM nội tiếp.
2) Chứng minh rằng SA.SN SB.SM
17
3) Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)
.
4) Chứng minh rằng 3 điểm H, N, B thẳng hàng
.
Đáp án
Phần, ý
Nội dung
Điểm
S
M
A
B
K
I
O
N
H
0
0
·
·
·
1,0
1,0
Xét tứ giác SKAM có SKA 90
,
SMA AMB 90
0
·
·
1
2
SKA SMA 180
vậy tứ giác SKAM nội tiếp đương tròn đường kính SA.
Xét tam SAB và SMN có góc
S
chung, có góc
1
·
·
¼
SBA SNM sd AM
2
SA SM
Vậy SAB
:
SMN (g-g)
SA.SN SB.SN .
SB SN
1
3
4
0,5
0,5
·
·
¼
·
·
Ta có MBA MNA sd AM;MNA NSK (slt)
2
1
·
·
»
·
·
·
Lại có KMA KSA sd KA. Suy ra KMA MBA OMB
2
0
0
·
·
·
·
Mà OMB OMA 90 KMA OMA 90 chứng tỏ KM là tiếp
tuyến của (O)
·
·
Chỉ ra SAK KAH suy ra tam giác SAH cân tại A do đó H
đối xứng với S qua BK.
Mặt khác N đối xứng với M qua BK
Mà S, M, B thẳng hàng
Suy ra H, N, B thẳng hàng.
18
Bài toán 7:
(Trích đề thi vào trường Hoàng Văn Thụ năm học 2012-2013)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán
kính R. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp được.
b) EF vuông góc với AO.
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng R.
Đáp án:
A
a
1,0
1
E
O
F
H
D
C
B
A'
a) Theo giả thiết ta có E, F cùng nhìn BC dưới một góc vuông
nên BCEF là tứ giác nội tiếp.
b
c
b) Gọi A’ đối xứng với A qua O.
0,5
0,5
¼
Ta có A' AC A' BC (Cùng chắn cung A'C
)
0
·
µ
·
ABC E1 180 FEC
0
µ
·
Do đó A' AC E1 A' BC ABC 90 nên AO EF
Chứng minh được BHCA’ là hình bình hành
Suy ra VBHC VCA' B Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác BHC bằng R
0,5
0,5
Bài toán 8:
(Trích đề thi vào lớp CLC trường Dân tộc nội trú tỉnh Hòa Bình năm học
2016-2017)
19
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tứ giác ABCD với BA BC;DA DC
.
Đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BC và AD lần lượt tại các điểm
tương ứng là K, M và N. Đường chéo AC cắt đoạn thẳng MN tại L. Chứng
minh rằng các điểm A, K, L và N nằm trên một đường tròn.
Đáp án:
Phần
Nội dung
Điểm
I
E
A
J
P
O
K
C
B
M
F
H
0
·
·
1
0,5
0,5
Vì AIE AJE 90 (gt) Tứ giác AIEJ nội tiếp (dhnb)
0
·
·
Vì EJC EMC 90 (gt) Tứ giác JECM nội tiếp (dhnb)
·
·
·
2
0,25
0,25
Vì ABCE nội tiếp
IAE BCE ( Cùng bù với BAE )
·
¶
Vì tứ giác AIEJ nội tiếp
IAE IJE ( Hai góc nội tiếp cùng
·
¶
chắn cung IE)
BCE IJE
MJE IJE 1800 I; J; M thẳng
·
¶
Mà tứ giác JECM nội tiếp
hàng.
CM tương tự ta có M; H; K thẳng hàng.
·
·
0,25
0,25
Mà CMJE nội tiếp
Vì CEAF nội tiếp
CJM CEM
·
·
CEF CAF( Cùng chắn cung
·
·
FC)
CJM CAF
JM // AF
Mặt khác: EF là đường kính, EF BC
»
»
·
·
FB FC FAB FAC
20
Tải về để xem bản đầy đủ
47 trang
04/05/2022
5120
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề tài Rèn kĩ năng chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh Lớp 9 trường Phổ thông thực hành chất lượng cao Nguyễn Tất Thành", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- de_tai_ren_ki_nang_chung_minh_tu_giac_noi_tiep_cho_hoc_sinh.doc
