›
›

Bài giảng Hóa lý - Chương 4: Mối quan hệ giữa các hàm đặc trưng

Download
HOÁ LÝ 1  
TS. Ngô Thanh An  
Tính chất các hàm đặc trưng  
Haøm nhieät ñoäng ñaëc tröng  
Haøm ñaëc tröng laø moät haøm traïng thaùi maø qua noù vaø  
ñaïo haøm caùc caáp cuûa noù coù theå xaùc ñònh ñöôïc moïi thoâng  
soá vó moâ cuûa heä.  
Tính chất các hàm đặc trưng  
• Hàm U: đạt cực tiểu tại 1 giá trị S, V nào đó.  
• Hàm S: đạt cực đại tại 1 giá trị U, V nào đó  
• Hàm G: đạt cực tiểu tại 1 giá trị T, P nào đó  
• Hàm F: đạt cực tiểu tại 1 giá trị T, V nào đó  
• Hàm H: đạt cực tiểu tại 1 giá trị S, P nào đó  
Tính chất các hàm đặc trưng  
Tính chất các hàm đặc trưng  
Theo nguyên lý tăng entropy, khi entropy đạt cực đại thì:  
휕2푆  
휕푉2  
휕푆  
휕푉  
= 0  
퐴 =  
< 0  
푈
푈
휕푧  
휕푥  
휕푈  
휕푦  
휕푥  
푦
푥
Ta đặt giá trị A bằng:  
Áp dụng công thức:  
= −  
휕푉  
휕푧  
휕푦  
푆
푧
휕푆  
휕푉  
Vậy A sẽ bằng:  
Ta lại có:  
휕푈  
푈
퐴 =  
푇 =  
= −  
휕푆  
휕푈  
휕푉  
푆
푉
휕푈  
휕푆  
푉
Tính chất các hàm đặc trưng  
휕푈  
휕푆  
휕푉  
퐴 =  
= −푇 ×  
= 0  
휕푉  
푆
푈
Vậy giá trị A cũng sẽ bằng 0, tức là U cũng sẽ đạt cực trị theo V tại 1 giá trị entropy  
nào đó. Ta xem A là một hàm số của A = A(V, U(V)). Tính chất đạo hàm của hàm hợp  
cho ta công thức:  
휕퐴  
휕푉  
휕퐴  
휕푉  
휕퐴  
휕푈  
=
+
×
휕푈  
휕푉  
푈
Như vậy, ta sẽ có:  
휕2푈  
휕푉2  
휕퐴  
휕푉  
휕퐴  
휕푈  
휕퐴  
휕푉  
=
=
×
+
휕푈  
휕푉  
푆
푆
푉
푆
푈
휕2푈  
휕푉2  
휕퐴  
휕푉  
Với điều kiện A = 0, sẽ cho ta:  
=
푆
푈
Tính chất các hàm đặc trưng  
휕 휕푆  
휕푉 휕푉  
휕푆  
휕푈  
휕 휕푆  
휕푉 휕푈  
휕푆  
휕푉  
휕푆  
휕푉  
×
−
×
휕2푈  
휕푉2  
휕
푈
푉
푉
푈
푈
=
−
= −  
2
휕푆  
휕푈  
휕푉  
휕푆  
휕푈  
푆
푆
푉
푈
푉
휕2푈  
휕푉2  
휕2푆  
휕푉2  
= −T ×  
> 0  
Như vậy, hàm U sẽ đạt cực tiểu  
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
Ta có hàm số F = F(x,y)  
Cần chuyển đổi hàm F(x,y) về:  
• Hàm số G(x,w) với w là biến liên hợp với biến y  
• Hàm số H(u,y) với u là biến liên hợp với biến x  
• Hàm số L(u,w) với u, x và y,w là các cặp biến liên hợp  
Cách thực hiện:  
퐹 = 퐹(푥, 푦)  
휕퐹  
휕푦  
휕퐹  
휕푥  
휕퐹  
휕푦  
휕퐹  
휕푥  
푤 =  
푑퐹 =  
× 푑푥 +  
× 푑푦  
Đặt: 푢 =  
푥
푦
푥
푦
Ta sẽ có:  
푑퐹 = 푢 × 푑푥 + 푤 × 푑푦  
(1)  
Ta xét:  
푑 푤 × 푦 = 푤 × 푑푦 + 푦 × 푑푤 (2)  
Lấy phương trình (1) – (2), thu được:  
푑 퐹 − 푤 × 푦 = 푢 × 푑푥 − 푦 × 푑푤  
퐺 푥, 푤 = 퐹 푥, 푦 − 푤 × 푦  
Đặt hàm:  
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
Như vậy, 푑퐺(푥, 푤) = 푢 × 푑푥 − 푦 × 푑푤  
휕퐺  
푦 = −  
Từ đây, ta sẽ có:  
휕푤  
푥
Tóm lại, phép biến đổi Legendre là việc chuyển đổi một hàm số F(x,y) về một dạng  
hàm số mới G(x,w), với y và w là một cặp biến liên hợp. Trong đó, thỏa điều kiện:  
퐺 푥, 푤 = 퐹 푥, 푦 − 푤 × 푦  
휕퐹  
푤 =  
휕푦  
푥
휕퐺  
푦 = −  
휕푤  
푥
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
H
Từ hàm số U = U(S, V), ta có  
thể chuyển đổi thành cá c hàm  
trạng thá i khá c nhau như sau:  
U
PV  
PV  
• H(S, P) = U(S, V) + PV  
TS  
F
• F(T, V) = U(S, V) – TS  
• G(T, P) = U(S, V) – TS + PV  
G
TS  
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
휕푈  
휕퐹  
휕푉  
• 푃 = −  
= −  
휕푉  
푆
푇
휕푈  
휕퐻  
• 푇 =  
=
=
휕푆  
휕퐺  
휕푃  
휕푆  
휕퐻  
휕푃  
푇
푇
푇
• 푉 =  
푆
휕퐹  
휕푇  
휕퐺  
• 푆 = −  
= −  
휕푇  
푉
푃
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
• Đạo hàm bậc 2 của các hàm thế nhiệt động theo các thông  
số trạng thái (mô tả sự đáp ứng của hệ đối với sự thay đổi  
nhỏ  
• Có 3 hàm đáp ứng phổ biến: hệ số nén đẳng nhiệt (hoặc  
đẳng entropy), hệ số giản nở nhiệt, nhiệt dung  
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
Mụcđíchápdụngcácphươngtrìnhnàylàđểcóthểtín  
htoánđượccácthôngsốnhiệtđộngkhócóthểxácđịn  
hđượctrongthựcnghiệm.  
휕푇  
휕푉  
휕푃  
휕푆  
= −  
(1)  
푆
푆
푇
푇
푉
휕푇  
휕푃  
휕푉  
=
=
(2)  
(3)  
휕푆  
푃
휕푆  
휕푉  
휕푃  
휕푇  
푉
휕푉  
휕푇  
휕푆  
휕푃  
= −  
(4)  
푃
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
Chứng minh cácphươngtrìnhnàynhưthếnào?  
• Phươngtrìnhliênhệ Euler:  
Nếu Z làmộthàmsốtheo x, y, ta có z = f(x,y)  
Khiđó vi toànphầncủa z sẽlà:  
휕푧  
휕푧  
푑푧 =  
푑푥 +  
푑푦 = 푀푑푥 + 푁푑푦  
휕푥  
휕푦  
푦
푥
Ta lạicó:  
휕 휕푧  
휕 휕푧  
=
휕푦 휕푥 휕푥 휕푦  
휕푀  
휕푁  
Nhưvậy, ta có:  
=
(nếu 푑푧 = 푀푑푥 + 푁푑푦)  
휕푦  
휕푥  
푦
푥
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
a. Trongtrườnghợpápdụngphươngtrình Gibbs  
chonộinăng U:  
• 푑푈 = 푇푑푆 − 푃푑푉 = 푀푑푥 + 푁푑푦  
휕푇  
휕푃  
• Ta sẽcó:  
= −  
휕푉  
휕푆  
푆
푉
b. Trongtrườnghợpápdụngphươngtrình Gibbs cho  
enthalpy:  
• 푑퐻 = 푇푑푆 + 푉푑푃 = 푀푑푥 + 푁푑푦  
휕푇  
휕푉  
• Ta sẽcó:  
=
휕푃  
휕푆  
푆
푃
Mối quan hệ các hàm đặc trưng  
c. Trongtrườnghợpápdụngphươngtrình Gibbs chohàm F:  
• 푑퐹 = −푆푑푇 − 푃푑푉 = 푀푑푥 + 푁푑푦  
휕푆  
휕푃  
• Ta sẽcó:  
=
휕푉  
휕푇  
푇
푉
d. Trongtrườnghợpápdụngphươngtrình Gibbs chohàm G:  
• 푑퐺 = −푆푑푇 + 푉푑푃 = 푀푑푥 + 푁푑푦  
휕푆  
휕푉  
• Ta sẽcó:  
= −  
휕푃  
휕푇  
푇
푃
Ảnh hưởng của các thông số nhiệt động  
휕푃  
푑푢 = 푐푣 + 푇  
− 푃 푑푣  
휕푇  
푣
휕푣  
푑ℎ = 푐푃 + 푣 − 푇  
푑푃  
휕푇  
푃
푑푇  
푇
휕푣  
푑푠 = 푐푃  
푑푠 = 푐푣  
−
+
푑P  
휕푇  
푃
푑푇  
푇
휕푃  
휕푇  
푑푣  
푣
Ảnh hưởng của các thông số nhiệt động  
Xétu làmộthàmsốcủa T và v, ta có: u = u(T, v)  
휕푢  
휕푇  
휕푢  
푑푢 =  
푑푇 +  
푑푣  
(1a)  
휕푣  
푣
푇
휕푢  
푑푢 = 푐푣푑푇 +  
푑푣(2a)  
휕푣  
푇
Nếuxét s = s(T, v)  
휕푠  
휕푠  
푑푠 =  
푑푇 +  
푑푣  
(3a)  
(4a)  
(5a)  
휕푇  
휕푣  
Thếgiátrị d푣s từphươngtrìnhtrênvàobiểuthức:  
푇
푑푢 = 푇푑푠 − 푃푑푣  
Ta sẽcó:  
휕푠  
휕푠  
푑푢 = 푇  
푑푇 + 푇  
− 푃 푑푣  
휕푇  
휕푣  
푣
푇
Ảnh hưởng của các thông số nhiệt động  
Đồngnhấtvếphảicủaphươngtrình (1a) và (5a), ta sẽcó:  
휕푢  
휕푇  
휕푠  
= 푇  
(6a)  
휕푇  
푣
푣
휕푢  
휕푠  
và  
= 푇  
− 푃  
(7a)  
휕푣  
휕푣  
푇
푇
Ta có:  
휕푢  
휕푇  
휕푠  
푐
푣
푐푣 =  
, nhưvậy:  
=
(8a)  
휕푇  
푇
푣
푣
Ta lạicóphươngtrìnhliênhệ Maxwell:  
휕푠  
휕푃  
휕푢  
휕푃  
휕푇  
=
, nhưvậy:  
= 푇  
− 푃 (9a)  
휕푣  
휕푇  
휕푣  
푇
푣
푇
푣
Tải về để xem bản đầy đủ
pptx 46 trang Thùy Anh 16780 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hóa lý - Chương 4: Mối quan hệ giữa các hàm đặc trưng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pptxbai_giang_hoa_ly_chuong_4_moi_quan_he_giua_cac_ham_dac_trung.pptx