Bài giảng Giải tích mạch - Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển

Chương 5:Phương pháp tích phân kinh điển

➢ 5.1.Phương pháp tích phân kinh điển

➢ 5.2. Đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất

➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mạch RC

➢ 2.Đáp ứng ‘natural’ mạch RL

➢ 3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC

➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mạch RL

➢ 5.Nghiệm tổng quát đáp ứng mạch RC và RL

➢ 5.3. Đáp ứng mạch RLC bậc hai

➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC song song

➢ 2.Đáp ứng ‘step’ mach RLC song song

➢ 3.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC nối tiếp

➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mach RLC nối tiếp

5.1.phương pháp tích phân kinh điển

Chúng ta sẽ phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) và nguồn

độc lập

Quan hệ giữa các giá trị tức thời của dòng điện và điện áp trên

các phần tử ta đã xét ở các chương trước. Mạch bao gồm các

phần tử RLCM được mô tả bởi phương trình vi tích phân được

thành lập dựa trên các định luật Kirchhoff và Ohm. Để tiện việc

giải hệ phương trình , người ta thường đưa về một phương trình

vi phân cấp n (m):

dⁿy(t)

dⁿ⁻¹y(t)

dy(t)

a_n

+ a_n−1

+...+ a₁

+ a₀y(t)

dtⁿ

dtⁿ⁻¹

dt

d^mx(t)

d^m−1x(t)

dx(t)

= b_m

+b_m−1

+...+b

+b₀x(t) (5.1)

1

dt^m

dt^m−1

dt

*Trong đó y(t)(hoặc x(t)) là nghiệm cần tìm, còn x(t)(hoặc y(t)) là

hàm đã cho, các hằng số a_k; b_kbiểu diễn các thông số của mạch.

Ví dụ

i(t)

e(t)

C

i₂i₁

II

L₁

R

I

L₂

➢ Áp dụng KVL để thành lập phương trình áp theo 2 vòng:

1

di

di₁di

Ri₁+ idt + L₂= e(t); Ri₁+ L − L = 0

1

_C

dt

dt dt

➢ Khử i₁từ 2 phương trình và lấy đạo hàm 2 vế ta được:

d³i

d²i di

L L C + CR(L + L₂) + L + Ri

1 2

1

dt³

dt²

¹dt

d²e

de

dt

= L C + RC

1

dt²

1.Nghiệm của phương trình vi phân hệ số hằng

*Từ ví dụ trên ta thấy rằng dòng điện i(t) hay điện áp e(t) trong

mạch là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.

Giả sử rằng vế phải của phương trình đã xác định do nguồn e(t)

cho trước, ta ký hiệu là f(t) còn vế trái là nghiệm cần tìm (là điện

áp hay dòng điện) ta có:

dⁿy(t)

dⁿ⁻¹y(t)

dy(t)

a_n

+ a_n−1

+...+ a₁

+ a₀y(t) = f (t) (5.2)

dtⁿ

dtⁿ⁻¹

dt

Nghiệm phương trình vi phân có dạng:

Y(t) = y_xl(t) + y_qđ(t)

*y_qđ(t): được gọi là thành phần quá độ (tự do) nó không phụ

thuộc vào hàm f(t)

* y_xl(t): được gọi là thành phần cưỡng bức (xác lập)

a.Nghiệm của phương trình thuần nhất

Thành phần y_qđchính là nghiệm của phương trình thuần nhất.

Xét phương trình đặc tính:

a_npⁿ+ a_n-1p^{n -1}+…+ a₁p + a₀= 0

Có 3 trường hợp:

1.Nếu tất cả các nghiệm p₁; p₂;…p_nlà thực và đơn thì:

y_qđ= k₁e^p1t+ k₂e^p2t+..+k_ne^pnt

2.Nếu là nghiệm đơn phức thì luôn luôn là 1 cặp nghiệm phức liên

*

hiệp. Ví dư: p₁= -α +jβ và p₂= p₁= -α -jβ . Thì :

y_qđ= y₁+ y₂= e^-αt(k₁e^jβt+ k₂e-^jβt) = ke^-αtcos(βt + Φ)

với k = 2|k₁| và Φ = arg k₁.

3.Nếu p₁là nghiệm bội h (có h nghiệm trùng nhau) và số còn

lại là đơn, thì:

y_qđ= (k₁+ k₂t+… +k_ht^h-1)e^p1t+…+ k_ne^pnt.

Ví dụ về tìm thành phần quá độ

i(t)

+

u(t)

-

C

L

R

➢ Hãy tính thành phần quá độ của điện áp u(t) như hình trên

➢ Giải:

➢ Ta có :

1

du

dt

i(t) = u / R + udt + C

_L

➢ Với giả thuyết i(t) = 0. Lấy đạo hàm 2 vế ta được:

d²u du

+ 2 +₀²u = 0

dt²

dt

2

➢ Với: ω₀= 1/LC; α =1/2RC

Ví dụ về tìm thành phần quá độ

Phương trình đặc tính của mạch:

2

p²+2αp + ω₀= 0

Có các nghiệm:

p₁= − + ²−₀²; p₂= − − ²−₀²

2

*Nếu α²> ω₀(2 nghiệm thực đơn), thành phần quá độ sẽ là:

2

0

2

0

u_qđ(t) = k₁e^{(−+  − )t}+ k₂e^{(−−  − )t}

2

*Nếu α²= ω₀( nghiệm thực kép = -α), thành phần quá độ sẽ là:

u_qđ(t)= (k₁+ k₂t)e^-αt.

2

*Nếu α²< ω₀(cặp nghiệm thực liên hiêp),thành phần quá độ là:

u_qđ(t)= ke^-αtcos(βt +Φ) ; với:

 = ₀²−²

b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất

+

u(t)

-

i(t)

C

R

➢ Để tìm thành phần y_xlta dùng phương pháp hệ số không xác

định. Vấn đề là phải đoán trước dạng của nghiệm ph.trình (5.2)

➢ Ta xét ví dụ: Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như hình.Nếu

➢ 1. i(t)=1 A; 2. i(t) = cosωt A; 3. i(t) = e^-tcost A; C =1F; R =1/3 Ω

➢ 4. i(t) = e^-2tA; C =1F; R =1/2 Ω

➢ Giải:

➢ Điện áp u(t) là nghiệm của phương trình vi phân:

➢ Cdu/dt + u/R = i(t)

➢ Bao gồm 2 thành phần: u_qđlà nghiệm của phương trình vi

phân thuần nhất và u_xllà nghiệm của phương trình không

thuần nhất

b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất

Thành phần quá độ khô ng phụ thuộc vào kí ch thí ch:

u_qđ(t) = ke^-t/RC

Thành phần cưỡng bức phụ thuộc vào nguồn kí ch thí ch nên cần

xé t cá c trường hợp cụ thể:

1. i(t) = 1 A. Ta đoán nghiệm riêng của phương trì nh khô ng thuần

nhất có dạng u_xl= B và thay vào phương trì nh vi phâ n ta thấy

nó thỏa mã n với B = Ri(t) = R. Do đó điện á p u(t) là:

u(t) = u_xl(t) + u_qđ(t) = R.1+ ke^-t/RCV

2. i(t) = cosωt. Ta giả sử u_xl= Acosωt + Bsinωt và thay vào

phương trì nh mạch:

C(-Aωsinωt + Bωcosωt) + (Acosωt + Bsinωt)/R = cosωt. Hay

(A + ωRCB)cosωt + (B - ωRCA)sinωt = Rcosωt.

→A = R/[1+(ωRC)²] ; B = ωR²C/[1+(ωRC)²]. Ta lại có :



Acosωt + Bsinωt = cos(ωt-φ) ; Với :

U

2



U = A + B ; tg = B/ A

Vậy thành phần xác lập sẽ có dạng:

1

u_xl(t) =

cos(t −); tg =RC

(

1/ R

²+(C)²

)

*Từ hai trường hợp trên ta thấy để tính thành phần xác lập ta có

thể tính theo phương pháp đã biết ở các chương khác (khi tính

không để ý đến việc phân tích quá trình quá độ) và sẽ thu được

kết quả nhanh chóng. Với mạch có nguồn kích thích 1 chiều (tụ

hở mạch) thì điện áp u = R.1 V. Với nguồn điều hòa , ở trạng thái

xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức. Dẩn nạp tương

đương: Y = 1/R + jωC. Vậy biên độ phức sẽ là:



I

1

2

e^{− j}; tg = RC



U = =

2

Y

( )

1/ R + (C)



-t/RC

U

Vậy: u(t) = u_xl(t) + u_qđ(t) = ke + cos(ωt-φ)

3. i(t) = e^-tcost A; C =1F; R =1/3 Ω.

Nguồn kích thích có dạng suy giảm. Ta đặt u_xl= e^-t(Acost + Bsint)

và thay vào phương trình mạch ta sẽ được:

A = 2/5; B = 1/5

Vậy điện áp u(t) = u_xl(t) + u_qđ(t) = ke^-1/RC+ e^-t(2/5cost + 1/5sint)

4. i(t) = e^-2tA; C =1F; R =1/2 Ω

Chú ý trường hợp này thành phần quá độ có cùng hệ số suy giảm

giống nguồn kích thích. Ta giả sử u_xl= Ae^-2tvà thế vào phương

trình mạch, ta có:

-2Ae^-2t+ 2Ae^-2t= e^-2t→không tìm được A nên không phải là

nghiệm.

Trường hợp này ta đặt: u_xl= Ate^-2tvà thay vào phương trình:

Ae^-2t- 2Ate^-2t+ 2Ate^-2t= e^-2t

→A = 1. Nghiệm đầy đủ:

u(t) = u_xl(t) + u_qđ(t) = ke^-1/RC+ te^-2t.

2.Điều kiện đầu

Nghiệm của phương trình vi phân cho đến giờ vẫn được viết dưới

dạng tổng quát do các hằng số k₁; k₂;..k_nvẫn chưa được xác

định. Do nghiệm y(t) được xét trong khoảng [0 ∞) phải thỏa điều

kiện đầu tại t = 0 là: y(0); y’(0); y’’(0);…y^n-1(0)

*Do năng lượng điện từ trường là liên tục nên tại t = 0 ta có thể

viết:

u_C(0_-) = u_C(0₊) = u_o

i_L(0_-) = i_L(0₊) = i_o

Ở đây t = 0_-là giới hạn bên trái của thời điểm thay đổi năng lượng

t = 0₊là giới hạn bên phải của thời điểm thay đổi năng lượng

*Chú ý rằng các đại lượng khác không nhất thiết phải liên tục tại

t = 0, ví dụ điện áp trên cuộn dây hay dòng qua tụ có thể không

liên tục ( có bước nhảy vọt). Từ nay khi nói điều kiện đầu thì hiểu

rằng đó là các giá trị ban đầu của điện áp trên tụ và dòng qua

cuộn dây nó sẽ xác định điều kiện đầu của phương trình.

Ví dụ về điều kiện đầu

+

u(t)

-

i(t)

C

R

➢ *Ta trở lại ví dụ trước. Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như

hình. Giả thiết tại t =0 nguồn được nối vào mạch, còn t < 0 tụ

không được nạp điện. Ta xét trong 2 trường hợp:

➢ 1. i(t)=1 A; 2. i(t) = cosωt A

➢ Giải:

➢ 1. i(t)=1 A; Theo kết quả trước:

➢ u(t) = u_xl(t) + u_qđ(t) = R.1+ ke^-t/RCV ; t ≥ 0

➢ Hằng số k được xác định dựa trên điều kiện đầu: Do giả thiết

u_C(0-) = 0 → u_C(0₊) = 0. Nên:

➢ u(0₊) = u_C(0₊) = R + k = 0 → k = - R. Vậy:

➢ u(t) = R(1 - e^-t/RC) V ; t ≥ 0

Ví dụ về điều kiện đầu

+

u(t)

-

i(t)

C

R

➢ Giải:

➢ 2. i(t) = cosωt A; Theo kết quả trước:



-t/RC

U

➢ u(t) = u_xl(t) + u_qđ(t) = ke + cos(ωt-φ) V ; t ≥ 0

➢ Hằng số k được xác định dựa trên điều kiện đầu: Do giả thiết

u_C(0-) = 0 → u_C(0₊) = 0. Nên:



➢ u(0 ) = u (0 ) = k + cosφ = 0

U

+

C

+



U

➢ → k = - cosφ. Vậy:

➢ u(t) = (- cosφe + cos(ωt-φ) ) V ; t ≥ 0

-t/RC



U

Ví dụ 4

1

t=0

2 i(t)

L 1H

E

e(t)

R 10Ω

➢ Tại t= 0 khóa k chuyển từ 1 sang 2.Tính i(t)? Với t > 0. Biết

➢ E = 5 V; e(t) = 10cos(10t + 45⁰)

➢ Giải:

➢ ở t < 0, mạch xác lập 1 chiều, cuộn dây ngắn mạch, dòng qua

nó : i_L(0_-) = 5/10 = 0,5 A.

➢ Ở t > 0, dòng i(t) trong mạch là nghiệm của phương trình:

➢ Ri(t) +Ldi/dt = e(t)

➢ Thành phần quá độ là nghiệm của phương trình thuần nhất:

➢ i_qđ(t)= ke^-Rt/L= ke^-10t

Để tìm thành phần xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức:

Z = 10 + j10 = 10√2e^j45

j45



Biên độ phức của nguồn kích thích: = 10e

E

Biên độ phức của thành phần xác lập:



0



I_xl

E

= /Z = 10/45 /(10√2/45 ) =1/√2

Thành phần xác lập của dòng điện:

i_xl(t) = (1/√2)cos10t

Dòng điện i(t) trong mạch khi t > 0 là:

i(t) = i_qđ(t) + i_xl(t) = ke^-10t+ (1/√2)cos10t

Dựa vào điều kiện ban đầu: i_L(0₊) = i_L(0_-) = 0,5 A

i_L(0₊) = k + 1/√2 = 0,5

→ k = -0,207

Vậy :

i(t) = (1/√2)cos10t – 0,207e^-10t

Ví dụ 5

+

K

R

i_C(t)

u(t)

-

i(t)

i_L(t)

R

L

C

➢ Xét mạch RLC như hình.Biết điều kiện đầu bằng 0: i_L(0_-) =

➢ u_C(0_-) = 0. Tại t = 0 kích thích lên mạch nguồn dòng i(t) = 1 A.

Hã y tì m i_L(t); i_c(t); u(t) khi t ≥ 0? Biết R²= L/C

➢ Giải:

➢ Ta viết phương trình áp cho mạch vòng có nhánh RLC

di_L

1

L + Ri_L− Ri_C− i_Cdt = 0

_C

i(t) = i_L(t) + i_C(t) → i_C= i(t) −i_L(t)

dt

di_L

dt

1

L + Ri_L+ R(i_L−i) + (i_L−i)dt = 0

_C

d²i_Ldi_L1 1

L + 2R + i_L= i(t) + R

dt²

dt C C

di(t)

dt

Do i(t) = 1 A →di(t)/dt = 0 và thành phần xác lập của i_L= 1

Để tìm thành phần quá độ của i_Lta tìm nghiệm của phương trình

thuần nhất:

d²i_L

L + 2R + i_L= 0

dt²

dt C

di_L1

Phương trình đặc tính: p²+ (2R/L)p + 1/LC = 0

Theo giả thiết R²= L/C →∆’ = (R/L)²- 1/LC = 0. Ta có nghiệm kép

p₁= p₂= - R/L. Thành phần quá độ có dạng:

i_Lqđ(t) = (k₁+ k₂t) e^-(R/L)t

Dòng qua cuộn dây: i_L(t) = 1 + (k₁+ k₂t) e^-(R/L)t

Theo điều kiện đầu: i_L(0_-) = i_L(0₊) = 0

u_C(0_-) = u_C(0₊) = 0. Ta lại có:

i(t) = i_L(t) +i_C(t) → i(0₊) = i_L(0₊) +i_C(0₊) = 1

→i_C(0₊) = 1

u(0₊) = Ri_C(0₊) + u_C(0₊) = i_L(0₊)R + L di_L(0₊)/dt

→ di_L(0₊)/dt = R/L

Các hệ số k₁; k₂được xác định từ 2 phương trình sau:

i_L(0₊) = (k₁+k₂.0)e^-0+1 = 0

di_L(0₊)/dt = -(R/L)(k₁+ k₂.0)e⁰+ k₂e^-0= R/L

→ k₁= -1; k₂= 0

Vậy dòng qua cuộn dây:

i_L= 1 – e^-Rt/L; t ≥ 0

Dòng qua tụ:

i_C= i(t) – i_L= e^-Rt/L; t > 0

Điện áp u(t):

u(t) = Ldi_L/dt + Ri_L= R; t > 0

5.2. Đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất

•Mạch bậc nhất : Mạch chỉ chứa 1 tụ điện hay 1 cuộn

dây và bao gồm các nguồn DC, điện trở và khóa điện.

•Cũng có thể phân tích mạch chứa nhiều tụ điện hay

cuộn dây nếu ta có thể biến đổi chúng thành 1 phần tử

tương đương tụ điện hay cuộn dây

•Ta phân tích mạch dùng KCL và KVL

•Ta có được phương trình vi phân bậc nhất

•Giải phương trình vi phân để tìm đáp ứng

•Cuối cùng ta bàn đến 1 cách dể hơn để tìm đáp ứng

•Nếu trong mạch không có nguồn thì gọi là đáp ứng

‘natural’ tức chỉ có thành phần tự do (quá độ)

•Nếu trong mạch có nguồn thì gọi là đáp ứng ‘step’ gồm

2 thành phần tự do và cưỡng bức (xác lập)