Bài giảng Giải tích mạch - Chương 3, Phần 4: Các phương pháp phân tích. Các định lí
3.8 Chuỗi Fourier & bài toán xác lập chu kỳ
Hàm tuần hoàn
T : chu kỳ cơ bản
f (t) = f (t + n T)
Trong mạch xác lập chu kỳ các đáp ứng và kích
thích là có cùng chu kỳ
Phân loại & cách phân tích
Mạch tuần hoàn sin: → ảnh phức
Mạch tuần hoàn không sin: → khai triển Fourier → xếp
chồng trong miền t
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
1
3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm tuần hoàn
T : chu kỳ cơ bản
f (t) = f (t + n T)
Khai triển Fourier lượng giác
+∞
a0
f (t) = + a cos(nω t) + b sin(nω t)
[
]
∑
n
0
n
0
2
n=1
2π
T
ω0 =
: tần số cơ bản.
: họa tần, sóng hài.
nω0
a0 , an , bn : các hằng số.
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
2
3.8.1 Khai triển Fourier
Khai triển Fourier lượng giác
+∞
a0
f (t) = + a cos(nω t) + b sin(nω t)
[
]
∑
n
0
n
0
2
n=1
T /2
2
a0 =
an =
bn =
f (t)dt
∫
Hàm số chẵn :
T
−T /2
T /2
f (t) = f (−t) → bn = 0
2
f (t)cos(nω0t)dt
f (t)sin(nω0t)dt
∫
T
−T /2
Hàm số lẻ :
f (t) = − f (−t) → a0 = an = 0
T /2
2
∫
T
−T /2
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
3
3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm số chẵn
f (t) = f (−t) → bn = 0
+∞
a0
f (t) = + a cos(nω t)
∑
n
0
2
n=1
4 T /2
a0 =
an =
f (t)dt
∫
T
0
4 T /2
f (t)cos(nω0t)dt
∫
T
0
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
4
3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm số lẻ
f (t) = − f (−t) → a0 = an = 0
+∞
f (t) = b sin(nω t)
∑
n
0
n=1
4 T /2
bn =
f (t)sin(nω0t)dt
∫
T
0
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
5
3.8.1 Khai triển Fourier
Hàm bán sóng
T
f (t) = − f (t ± )
2
+∞
f (t) =
a cos(nω t) + b sin(nω t)
[
]
∑
n
0
n
0
n=1
n=2k+1
4 T /2
an =
bn =
f (t)cos(nω0t)dt (n = 2k +1)
∫
T
0
4 T /2
f (t)sin(nω0t)dt (n = 2k +1)
∫
T
0
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
6
Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
f1
Sóng vuông
A
+∞
4A
nπ
f1(t) hàm lẻ
f1(t) =
sin(nω0t)
∑
T/2
-T/2
T
n=1
n=2k+1
-A
T /2
4 T /2
4A
−cos(nω t)
(
)
0
bn = Asin(nω0t)dt =
∫
T
T
nω0
0
0
2A −cos(nπ ) +1
(
)
4A
nπ
=
=
nπ
n=2k+1
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
7
Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
f2
Sóng tam giác
A
f2(t) hàm lẻ
T/2
-T/4
-T/2
T/4
T
-A
T /2
T /4
4 4A
−4A
bn =
t sin(nω0t)dt +
(t − T ) sin(nω t)dt
0
2
∫
∫
T
T
T
T /4
0
T /4
−t cos(nω0t) sin(nω0t)
+
+
nω0
(nω0 )2
16A
0
=
T 2
T
T /2
(t − 2 )cos(nω0t) sin(nω0t)
+
−
nω0
(nω0 )2
T /4
Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
Sóng tam giác
f2
A
+∞
8A
n2π 2
sin(nπ )sin(nω0t)
T/2
-T/4
f2 (t) =
∑
2
-T/2
T/4
T
n=1
n=2k+1
-A
nπ
nπ
T
− 4 cos( ) sin( )
2
2
+
+
nω0
(nω0 )2
16A
T 2
8A
bn =
= sin(n2π )
n2π 2
nπ
nπ
T
4 cos( 2 ) sin(nπ ) −sin( 2 )
+
−
nω0
(nω0 )2
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
9
Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
f3
Sóng răng cưa
A
f3(t) hàm lẻ
-T/2
T/2
T
-A
+∞
−2A
nπ
4 T /2 2A
f (t) =
cos(nπ )sin(nω0t)
∑
3
bn =
=
t sin(nω0t)dt
n=1
∫
T T
0
T /2
−t cos(nω0t) sin(nω0t)
8A
T 2
+
nω0
(nω0 )2
0
T
− 2 cos(nπ )
nω0
8A
T 2
sin(nπ ) −2A
=
+ = cos(nπ )
(nω0 )2
nπ
Khai triển Fourier của các hàm thông dụng
+∞
4A
nπ
f1
f1(t) =
sin(nω0t)
∑
A
n=1
n=2k+1
T/2
-T/2
T
sin(3ω0t) sin(5ω0t)
4A
f1(t) =
sin(ω0t) +
+
+...
-A
f2
π
3
5
+∞
A
8A
f (t) =
sin(n2π )sin(nω0t)
∑
n=1 n2π 2
2
T/2
-T/4
-T/2
T/4
T
sin(3ω0t) sin(5ω0t)
8A
-A
f3
f2 (t) =
sin(ω0t) −
+
−...
−...
π 2
32
52
+∞
−2A
nπ
A
f (t) =
cos(nπ )sin(nω0t)
∑
3
n=1
-T/2
T/2
T
sin(2ω0t) sin(3ω0t)
2A
f3 (t) =
sin(ω0t) −
+
-A
π
2
3
3.8.1 Khai triển Fourier
Khai triển Fourier dạng sóng hài
+∞
Dạng sóng hài cosin
Dạng sóng hài sin
f (t) = C + C cos(nω t +α )
∑
0
n
0
n
n=1
+∞
f (t) = C + C sin(nω t + β )
∑
0
n
0
n
n=1
a0
C0 =
; Cn = an2 + bn2
2
Các hệ số khai triển
bn
αn = −arctg ; βn = arctg
an
an
bn
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
12
3.8.1 Khai triển Fourier
+∞
•
f (t) = Dn ejnω t
0
Khai triển Fourier dạng mũ phức
∑
n=−∞
T
2
•
1
Dn = f (t)e− jnω0tdt
Các hệ số khai triển phức
∫
T
T
−
2
•
a0
D0 = C0 =
Quan hệ với các hệ
số của khai triển
lượng giác và khai
triển hài
2
•
an − jbn Cn
Dn =
= ∠αn
2
2
•
∗
an + jbn Cn
D−n =
= ∠ −αn = Dn
2
2
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
13
3.8.2 Phổ tần số
Phổ tần số
Là biểu diễn đồ thị các hệ số chuỗi Fourier.
a) Phổ tần số một phía biểu diễn chuỗi Fourier dạng :
+∞
f (t) = C + C cos(nω t +α )
∑
0
n
0
n
n=1
+∞
f (t) = C + C sin(nω t + β )
∑
0
n
0
n
n=1
Phổ biên độ : biểu diễn Cn theo n .
Phổ pha : biểu diễn αn , βn theo n .
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
14
3.8.2 Phổ tần số
Phổ tần số
Là biểu diễn đồ thị các hệ số chuỗi Fourier.
b) Phổ tần số hai phía biểu diễn chuỗi Fourier dạng :
+∞
•
f (t) = Dn ejnω t
0
∑
n=−∞
Phổ biên độ : biểu diễn |Dn| theo n .
Phổ biên độ nhận trục tung làm trục đối xứng.
Phổ pha : biểu diễn ∠Dn theo n .
Phổ pha nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Cả hai loại phổ có cùng thông tin
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
15
f(t)
A
Ví dụ phổ biên độ
Khai triển lượng giác
+∞
-T/2
0
T/2
T
4A
t
f (t) =
sin(nω0t)
∑
nπ
n=1
-A
(n=2k+1)
+∞
2A
f (t) =
− j ejnω t
0
Và khai triển phức
Phổ biên độ
∑
Dn
nπ
2A/π
n=−∞
(n=2k+1)
2A/3π
2A/5π
2A/7π
ω
-7 -5
-3
-1
1
3
5
7
ω0
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
16
3.8.3 Truyềntín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính.
Bài toán: Cho mạch :
Tìm đáp ứng xác lập y(t) ?
Phương pháp phân tích : Xếp chồng trong miền tần số.
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
17
3.8.3 Truyềntín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính.
Xếp chồng trong miền tần số
1. Tìm chuỗi Fourier của x(t) :
∞
x(t) = X + X cos(nω t +ϕ )
∑
0
n
0
n
n=1
2. Tìm Y0 : đáp ứng DC.
Có thể thay ω = 0 trong biểu thức hàm truyền đạt tần số
H(jω) hay tiến hành bài toán giải tích mạch xác lập DC.
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
18
3.8.3 Truyềntín hiệu tuần hoàn qua mạch tuyến tính.
Xếp chồng trong miền tần số
3. Tìm vecto phức của hài:
Mạch
tuyến
tính
X0
Thay ω = nω0 trong
biểu thức hàm truyền đạt
tần số H(jω) , hay giải
tích mạch phức khi cho
ω = nω0 .
X1 cos(ω0t +ϕ1)
y(t)
HDC
&
H(jnω0)
Xn cos(nω0t +ϕn )
•
•
Yn = H( jnω0 ). Xn = Yn∠ψn
∞
Đáp ứng cần tìm
có dạng :
y(t) = Y + Y cos(nω t +ψ )
∑
0
n
0
n
n=1
3.8.4 Công suất trong mạch không sin
Cho một nhánh có áp , dòng là tín hiệu không sin
∞
u(t) =U + U cos(nω t +ϕ )
∑
DC
n
0
un
n=1
∞
i(t) = I + I cos(mω t +ϕ )
∑
DC
m
0
im
m=1
a) Công suất tác dụng P [W] :
1 T
∞
1
P = u(t).i(t)dt
P =U I + U I cos(ϕ −ϕ )
∑
DC DC
n n
Un
In
∫
T
n=1 2
0
P = PDC + ΣP(hài)
Bài giảng Giải tích Mạch 2015
20
Tải về để xem bản đầy đủ
35 trang
13680
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích mạch - Chương 3, Phần 4: Các phương pháp phân tích. Các định lí", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_giai_tich_mach_chuong_3_phan_4_cac_phuong_phap_pha.pdf
