Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 2: Lý thuyết nội lực - Lê Đức Thanh
Bài giảng sức bền vật liệu
Chương2
LÝ THUYẾT NỘI LỰC
I. KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - P. PHÁP KHẢO SÁT- ỨNG SUẤT
1- Khái niệm về nội lực:
Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng
(H.2.1).Trong vật thể giữa các phân tử luôn có các lực tương tác giữ cho vật thể có
hình dáng nhất định. Khi có ngoại lực tác dụng, các phân tử của vật thể có thể dịch lại
gần nhau hoặc tách xa nhau. Lúc đó, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải
thay đổi để chống lại các dịch chuyển này. Sự thay đổi của lực tương tác giữa các
phân tử trong vật thể được gọi là nội lực.
Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài thì được gọi là vật thể ở trạng
thái tự nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không.
2- Khảo sát nội lực bằng phương pháp mặt cắt
Xét vật thể chịu lực cân bằng,để tìm nội lực tại 1 điểm C trong vật thể (H.2.1),Tưởng
tượng một mặt phẳng cắt qua C và chia vật thể thành hai phần A và B; hai phần này
sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên toàn diện tích mặt tiếp xúc theo định luật
lực và phản lực.Nếu tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào nó phải cân
bằng với ngoại lực ban đầu (H.2.2).Hệ lực phân bố nầy chính là nội lực trên mặt cắt
đang xét.
3.Ứng suất:
Xét một phân tố diện tích A bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt có phương
p
pháp tuyến v. Gọi
là vector nội lực tác dụng trên A.
P4
P1
t
p
Pi
P2
c
A
A
B
s
P3
Pn
H2.1 Vật thể chịu lực cân bằng
Hình 2.3 Các thành phần ứng suất
P1
Ta định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là :
P2
P3
p d p
A dA
A
p lim
A
P
A0
Thứ nguyên của ứng suất là [lực]/ [chiều dài]2
Thí dụ:(N/cm2, kN/m2…,(1MN/m2 = 1MPa=10daN/cm2)
Ứng suất toàn phần p có thể phân ra hai thành phần:
H2.2 Nội lực trên mặt cắt
+ Thành phần ứng suất pháp v có phương pháp tuyến của mặt phẳng
+ Thành phần ứng suất tiếp v nằm trong mặt phẳng (H.2.3).
Các đại lượng này liên hệ với nhau theo biểu thức:
pv2 v2 v2
(2.1)
Ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại
một điểm; ứng suất vượt quá một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại. Do đó,
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
1
Bài giảng sức bền vật liệu
việc xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá độ bền của vật liệu, và chính là một nội
dung quan trọng của môn SBVL.
Thừa nhận (Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh)
- Ứng suất pháp v chỉ gây ra biến dạng dài. (Thay đổi chiều dài)
- Ứng suất tiếp v chỉ gây ra biến góc. (Thay đổi góc vuông)
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH &
CÁCH XÁC ĐỊNH
1. Các thành phần nội lực:
Xét một thanh, đặc trưng bởi mặt cắt ngang A (hay còn gọi là tiết diện) và trục
thanh.
Ở đây ta chưa thể xác định ứng suất ở mỗi điểm trên mặt cắt ngang nhưng hợp lực
của hệ nội lực có thể xác định được (vì tổng hợp lực của nội lực phải cân bằng với tổng
hợp lực của ngoại lực).
Gọi hợp lực của các nội lực
Mx
Mz
phân bố trên mặt cắt ngang của
thanh là R,với R có điểm đặt và
phương chiều chưa biết.
Đặt một hệ trục tọa độ
Descartes vuông góc ngay tại
trọng tâm mặt cắt ngang, Oxyz,
Nz
R
Qx
R/
z
Z
x
Qy
y
x
My
y
Các thành phần nội lực
với trục z trùng pháp tuyến mặt cắt (qui ước theo phương trục thanh,) còn hai trục x, y
nằm trong mặt cắt ngang của thanh (sau nầy sẽ được xác định rõ hơn)
Luc R
Dời R về trọng tâm 0 của mặt cắt ngang
có phương bất kỳ
Momen M
Khi đó, có thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục:
+ Nz theo phương trục z ( mặt cắt ngang) gọi là lực dọc (làm thanh dãn ra, co lại)
+ Qx,và Qy theo phương trục x, hay y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. (vì cắt
ngang thanh)
Mômen M cũng được phân ra ba thành phần xoay quanh 3 trục :
+ Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn.(Lực tác động
thanh bị cong trong mp(yoz))
+ Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn. (Lực tác động
thanh bị cong trong mp (xoz)
mp(yoz)) làm cho
mp (xoz) làm cho
mp (xoy) làm
+ Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn. (Lực tác động
cho thanh vặn quanh trục z
Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang
2- Cách xác định: Sáu thành phần nội lực trên một mặt cắt ngang được xác định từ
sáu phương trình cân bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đó có tác dụng
của ngoại lực ban đầu Pi và các nội lực.
Phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên các trục tọa độ: trong đó:
Pix, Piy, Piz - là hình chiếu của lực Pi xuống các trục x, y, z.
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
2
Bài giảng sức bền vật liệu
Các phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta có: với:
mx(Pi), my(Pi),mz (Pi) các mômen của các lực Pi đối với các trục x,y, z.
n
n
M /Ox M m (P) 0 M
Z 0 N P 0 N
x
x
i
x
z
iz
z
i1
i1
n
n
M /Oy M m (P) 0 M
Y 0 Q
P 0 Q
y
y
i
y
y
iy
y
i1
i1
n
n
M /Oz M m (P) 0 M
X 0 Q
P 0 Q
z
z
i
z
x
ix
x
i1
i1
3. Liên hệ giữa nội lực và ứng suất:
Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:
- Lực dọc là tổng các ứng suất pháp
- Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó
- Mômen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y
- Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z
III. BÀI TOÁN PHẲNG (thường gặp)
Trường hợp bài toán phẳng (ngoại lực nằm trong một mặt phẳng (thí dụ mặt phẳng
y0z)), chỉ còn ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng y0z là : Nz , Qy ,và Mx
Qui ước dấu các thành phần nội lực (H.2.5)
- Lực dọc Nz 0 khi gây kéo đoạn thanh đang xét (có chiều hướng ra ngoài mặt cắt)
-Lực cắt Qy 0 khi làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ.
- Mômen uốn Mx 0 khi thớ bên dưới thanh bị dãn ra (phía dương của trục y) hay
thớ dưới bị kéo, Và nếu ngược lại là âm. (xét thanh có trục nằm ngang)
P1
P3
Mx > 0
Mx > 0
P4
P2
Nz >o
O
B
A
Nz >o
Qy > 0
Pn
Qy > 0
Pi
Hình 2.5: Chiều dương các thành phần nội lực
Mx 0
Mx 0
Mx 0
Mx 0
Mômen M x 0 ,Thanh bị
cong lên phía trên
Mômen M x 0 ,Thanh bị
cong xuống phía dưới
Cách xác định:
Dùng 3 phương trình cân bằng tỉnh học, xét cân bằng phần A (hay phần B) bên trái
hay bên phải của mặt cắt để tìm nội lực.
Từ phương trình Z = 0
M/O = 0 Mx
Y = 0 Qy
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
3
Bài giảng sức bền vật liệu
Thí dụ 1. Xác định các thành phần nội lực (hay là nội lực) tại K của thanh thẳng AC
chịu tải trọng phân bố đều q trên đoạn AD và lực tập trung P hợp với phương đứng góc
600 (vị trí của điểm K cho trên hình vẽ). Cho : q = 4kN/m, a = 1m; Mo = 2qa2.
=600
=600
P = 2qa
M = 2qa2
P = 2qa
q
A
M x
q
C
HB
A
k
k
HA
D
Nz
D
Qy
1,5a
VC
1,5a
H. 2.6b
VA
a
a
VB
Giải. (Tính toán tất cả bằng chữ trước, cuối cùng mới áp dụng số)
a) Tính các phản lực tại gối tựa:
Giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết VA, HA, VC. (giả
sử các phản lực có chiều như hình vẽ)
Viết các phương trình cân bằng tỉnh học khi xét cân bằng thanh AC
Z 0 H (2qa cos600 ) 0 H 3qa 6,928kN
M
A
A
3
9
0 2qacos600 a q a 2qa2 VA x2a 0 VA qa 9kN
C
2
4
a
1
0 qa Pcos600 .a - 2qa2 VC x2a 0 VC qa 1kN
M
A
2
4
Dấu (- ) cho biết phản lực VC ngược chiều đã chọn ban đầu.
b)Tính nội lực tại K:
Thực hiện mặt cắt 1-1 qua K chia thanh AC làm hai phần. Xét cân bằng của phần
bên trái mặt cắt. Giả sử đặt nội lực theo chiều dương qui ước như hình (H.2.6b) :
Z 0 N H 2qa.cos300 0 N 0
z
B
z
1
Y 0 V qa.a Pcos600 Q 0 Q qa 1kN
B
y
y
4
a
15
0 M x VB 1,5a qa.a qa 0 M x qa2 7,5kNm
M
O1
2
8
Các nội lực đều dương cùng chiều đã chọn.Tại mặt cắt 1-1 Mx dương thanh bị cong
xuống phía dưới (phía bên dưới thanh bị kéo),lực cắt dương từ trên hướng xuống
Nếu xét cân bằng phần phải của thanh, đặt nội lực theo chiều dương qui ước ta tìm
được nội lực như sau.(Vc đặt đúng chiều vừa tính)
Z 0 N 0
M = 2qa2
z
Mx
1
Y 0 V Q 0 Q qa 1kN
Nz
C
y
y
4
C
k
15
0 M x VC 0,5a 2qa2 0 M x qa2 7,5kNm
Qy
M
O1
8
VC
0,5a
Thí dụ 2. (tham khảo thêm)
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
4
Bài giảng sức bền vật liệu
Cho thanh gãy khúc phẳng ABCDKE chịu tải trọng phân bố đều q trên đoạn ABC và
CDK, lực tập trung P = qa tác dụng tại B và D và momen tập trung M=qa2 đặt tại nút C
a) Tính các phản lực tại A và E.
b) Xác định các nội lực tại mặt cắt 1-1(cho trên hình vẽ)
qa2
qa
q
C
1
1
K
D
a
E
qa
B
A
VE
a
HA
a
a
VA
a) Chọn các phản lực có chiều như hình vẽ
5
0 qa - a 2qa2 qa2 qa2 2qa2 VE 2a 0 VE qa
M
A
2
Ngang 0 H 2qa qa 0 H 3qa
A
A
1
0 2qa2 qa2 qa2 VA 2a HA a 0 VA qa
M
E
2
b) Thực hiện mặt cắt 1-1
Xét đoạn ABC (bên trái) H1a
Chọn chiều các nội lực như hình vẽ . Tìm các nội lực bằng các pt cân bằng
1
Z 0 N qa (hằng số và ngược với chiều đã chọn) , Nz hướng vào mặt cắt. Nz
z
2
nén trong đoạn AC
Ngang 0 Q 2qa qa 3qa 0 Q 0 (Tại 1-1)
y
y
0 3qa 2a qa2 2qa2 Mx 0 Mx 3qa2
M
0
(Mx cùng chiều đã chọn , do đó thanh chịu kéo phía bên phải thanh ABC
Xét đoạn CDKE (bên phải) H1b
Ngang 0 Q 0 (Tại 1-1)
y
5qa
1
Đung 0 N qa 2qa
0 Nz qa (ngược chiều đã chọn).Vậy Nz
z
2
2
hướng vào mặt cắt , lực dọc chịu nén
5
0 qa 2a qa2 2qa2 qa2 Mx 0 Mx 3qa2
M
0
2
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
5
Bài giảng sức bền vật liệu
qa2
Nz
0
qa
Mx
q
Qy
C
Qy
Mx
K
D
a
qa
Nz
E
q
5
2
a
qa
3qa
a
a
1
qa
2
H1.b
H1.a
Nhân xét:
Từ hai thí dụ trên ta thấy:Tại một mặt cắt giá trị nội lực trong thanh là như nhau. Do
đó khi tìm nội lực tại một điểm ta xét cân bằng bên nào của mặt cắt cũng được.
Thường chọn bên nào các số hạng trong phương trình cân bằng ít hơn
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC (BÀI TOÁN PHẲNG)
Thường các nội lực trên các mặt cắt ngang của một thanh không giống nhau. Ở đây ta
muốn biết trong suốt chiều dài thanh nội lực tại mặt cắt nào có giá trị lớn nhất và qui
luật của nội lực đó phân bố thế nào.
1.Định nghĩa:
Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vị
trí của các mặt cắt ngang. Hay gọi là măt cắt biến thiên.
Nhìn vào BĐNL có thể xác định vị trí mặt cắt nào có giá trị nội lực lớn nhất và trị số
nội lực tại mặt cắt ấy, củng như qui luật phân bố của nội lực
2. Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích:
Để vẽ biểu đồ nội lực (theo p.p.giải tích) ta tính nội lực trên từng mặt cắt ngang. ở
một vị trí bất kỳ cho từng đoạn có hoành độ z của từng đoạn đó so với một gốc hoành
độ nào đó mà ta chọn trước ứng với từng đọan. (mỗi đoạn phải ngang qua một lực:(q,P,
M).Mặt cắt ngang chia thanh ra thành 2 phần. Xét sự cân bằng của một phần (trái, hay
phải), viết biểu thức giải tích của nội lực theo z của đoạn xét
Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục toạ độ có trục hoành song song với trục z của
thanh (còn gọi là đường chuẩn), tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được diễn tả bởi các
đoạn thẳng vuông góc các đường chuẩn.
Tóm tắt các bước như sau:
Tính phản lực (nếu cần)
Phân đoạn
Viết biểu thức giải tích (nội lực theo z) cho từng đoạn
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
6
Bài giảng sức bền vật liệu
Chọn hệ trục và vẽ (nhớ qui ước chiều Qy và Mx trên trục tung)
Thí dụ 3.
Vẽ BĐNL của thanh (dầm) console như (H.2.7)
z
1
P
Giải
K
Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ z so với gốc A, ta có
A
B
L
( 0 z l )
Qy
1
Biểu thức giải tích của lực cắt và mômen uốn tại mặt
cắt 1-1 được xác định từ việc xét cân bằng phần phải của
thanh:
P
K
N
B
L-z
M
1
(vì xét bên trái ta chưa biết các phản lực tại ngàm A)
Qy
Z 0 N 0
Y 0 Q P 0 Q P
y
y
Pl
M
M
0 Mx P(l z) 0 Mx P(l z)
O
1
Hình 2.7
Cho z biến thiên từ 0 đến l, ta sẽ được biểu đồ nội lực như trên H.2.7.
Qui ước:
- Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trên trục hoành.
- Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía dưới trục hoành.
Nhận xét: Tại đầu tự do(B) Mx bằng không (nếu không có momen tập trung M0)
Thí dụ 4. Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu tải phân bố đều q như (H.2.8a).
Giải
Tính các phản lực: Bỏ các liên kết tại C và B, thay bằng các phản lực như H.28a.
Z = 0 HC =0.
ql
Do đối xứng VC VB
(hợp lực ql hướng xuống)
2
Xác định Nội lực: thực hiện mặt cắt ngang 1-1 qua K có hoành độ là z: 0 z l ).
Mặt cắt 1-1 chia thanh làm hai phần.
Xét cân bằng của phần bên trái CK (H.2.8b)
Từ các phương trình cân bằng ta suy ra
q
HC
C
K
z
VB=ql/2
L
VC=ql/2
Z 0 Nz 0
Mx
1
1
ql
l
qz q( z)
2
Y 0 Q
y
2
Nz
z
VC
qz2
qz
Qy
ql
M /O 0 M
z
(l z)
1
x
Qy
VC=ql/2
y
2
2
2
+
VB=ql/2
ql2/8
Qy là hàm bậc nhất theo z, Mx là hàm bậc 2 theo z.
Cho z biến thiên từ 0 đến l ta vẽ được các biểu đồ
nội lực (H 2.8).
Mx
H.2.8
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
7
Bài giảng sức bền vật liệu
Chú ý:
+ Khi z = 0(tại gối tựa C) Qy = ql/2 , Mx = 0
+ Khi z = l (tại gối tựa B) Qy = - ql/2 , Mx = 0
+Tìm Mx, cực trị bằng cách cho đạo hàm dMx / dz =0,
ql
l
qz 0 z
2
2
H 0
;
dMx / dz =0
ql2
A
Mx,maxõ
8
Từ các BĐNL, của thí dụ nầy ta nhận thấy:
Lực cắt Qy có giá trị lớn nhất ở mặt cắt sát gối tựa,
Mômen uốn Mx có giá trị cực đại ở giữa dầm, và phía dưới bị kéo, và Mx= 0 tại hai
gối tựa biên.
Thí dụ 4.
Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu lực tập trung P như (H.2.9a).
Giải
Phản lực: Tìm các thành phần phản lực tại các gối từ các phương trình cân bằng tỉnh
học:
Pb
l
Pa
l
H 0
VB
;
V
;
A
A
Nội lực: Tải trọng có phương vuông góc với trục thanh nên lực dọc Nz trên mọi mặt
cắt ngang có trị số bằng không.
Phân đoạn: Vì tính liên tục của các hàm số giải tích biểu diển các nội lực nên phải
tính nội lực trong từng đoạn của thanh; trong mỗi đoạn phải không có sự thay đổi đột
ngột của ngoại lực. (trong bài nầy xét hai đoạn AC và CB)
Đoạn AC: Xét mặt cắt 1-1 qua điểm K1 trong đoạn AC và cách gốc A(chọn) một
đoạn z1 ( 0 z1 a ).
Khảo sát cân bằng của phần bên trái ta được các biểu thức giải tích của nội lực:
Pb P(l a)
P
a
Qy VA
b
l
l
(a)
1
2
K
K
B
A
Pb
l
P(l a)
Z1
M x VA.z1
z1
z1
a)
C Z2
l
2
1
z
Đoạn CB: Xét mặt cắt 2-2 qua điểm K2
.Trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z2
(a z2 l ).
Tính nội lực trên mặt cắt 2-2 bằng cách xét phần
bên phải (đoạn K2B). Ta được
l
VA
VB
VB
Mx
Qy
1
Mx
1
b) VA
l - z
1
c)
z
Qy
Pb
l
Qy
d)
+
Pa
Qy VB
Pa
l
-
l
Pab
l
(b)
Pa
M x VB (l z2 )
(l z2 )
e)
l
Mx
Từ (a) và (b) vẽ được các biểu đồ nội lực như
H.2.9d,e.
H. 2.9
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
8
Bài giảng sức bền vật liệu
Trường hợp đặc biệt :
Nếu a=b = L/ 2, (lực đặt giữa thanh) khi đó mômen cực đại tại giữa thanh và có giá
trị là : Mmax = PL/4
z2
Chú ý cần nhớ (từ các bài thí dụ trên ta thấy)
a
Mômen luôn vẽ về phía thớ chịu kéo của
M0
2
thanh
1
1
K1
K2
B
A
z1
a)
C
Lực tập trung thường hướng vào điểm lõm
của biểu đồ Mx
2
l – z2
VA
VB
Mx
Qy
Mx
Qy
Biểu đồ Mx luôn hứng tải trọng phân bố
đều q
Thí dụ 6 :
Vẽ BĐNL của thanh đơn giản có M0 tập trung
như (H.2.10a).
2
2
1
K1
A
c)
1
b)
z1
VB
VA
Qy
l – z2
d)
e)
-
Mo / l
Mo
M
o
a
VA VB
, chiều phản lực như H.2.10a.
l
l
Mx
Nội lực:
Mo
l
(l - a)
Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A một
đoạn z1 ; (0 z1 a ).Xét cân bằng của đoạn AK1
H. 2.10
Mo
Qy VA
1
l
bên trái mặt cắt K1 các nội lực như sau
(c)
Mo
l
M x VA z1
z1
1
Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z2 với (a z2 l ) .
Xét cân bằng phần bên phải của mặt cắt K2 các biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2
Mo
Qy VB
2
l
là:
M
Mx VB (l z2 ) o (l z2 )
2
l
BĐNL được vẽ từ các biểu thức (c), (d) của nội lực trong hai đoạn (H.2.10d-e).
Trường hợp
M0
M0
B
đặc biệt:
Mômen
B
a)
a)
tập
l
l
H. 2.11
Qy
VB=M0/L
VA=M0/L
-
trung Mo đặt
tại mặt cắt sát
gối tựaA, hay
B (H.2.11).
Qy và Mx sẽ
được xác định
VA=M0/L
M0/L
VB=M0/L
Qy
b)
M0/L
b)
c)
+
Mx
c)
M0
M0
Mx
ứng với a = 0, b=0 và BĐNL vẽ như H.2.11
Kéo thớ dưới
Kéo thớ trên
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
9
Bài giảng sức bền vật liệu
Nhận xét qua 3 thí dụ cơ bản trên:
a) Tại mặt cắt có lực tập trung, trên biểu đồ lực cắt nơi đó có bước nhảy.Tung độ
của bước nhảy bằng trị số lực tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều lực tập trung
nếu ta vẽ từ trái sang phải.
b) Tại mặt cắt có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi đó có bước nhảy.Trị
số của bước nhảy bằng trị số mômen tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều mômen
tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải.
c) Tại các gối tựa biên và đầu tự do Momen bằng không.
d) Đường cong Momen luôn hứng tải trọng
e) Tại mặt cắt có Qy = 0 Momen đạt cực trị
g) Phương trình Mx lớn hơn Qy một bậc
Từ ba bài toán cơ bản nầy ta sẽ tìm được nội lực cho nhiều bài toán khác
Thí dụ 7:
Vẽ BĐNL của thanh có đầu thừa
Giải
5
M
M
0 qa3a 2qaa RB 2a 0 RB qa
A
B
2
1
0 qa a 2qaa RA 2a 0 RA qa
2
Đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1(K1) cách gốc A một đoạn z1 ;(0 z1 2a ).
Xét cân bằng của phần bên trái AK1 các nội lực như sau
Z2
Q R qz
q
y1
A
1
Mx
P = qa
qz1
2
q
A
K1
M R z
z1
x1
A 1
Qy
K2
Z1
A
C
K1
B
qa
Z1
5
2
2a
a
Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2(K2) cách gốc A một
đoạn z2 ;(2a z2 3a ).
qa
+
Xét cân bằng của đoạn CK2 bên phải mặt cắt K2
+
3
2
-
các nội lực như sau
qa
P = qa
qa2
Mx
Q qa
y1
0
C
M qa (3a z )
x1
2
Qy
3a-z2
qa2/8
Dựa vào các biểu thức giải tích ta vẽ
được biểu đồ như trên
P0
M0
P0
Nhận xét:Bài thí dụ nầy giống hai bài
thí dụ 2 và 3 cộng lại (cộng từng tung
độ)
M1
Q1
M0
M2
Q2
K
z
z
z
Kiểm chứng các nhận xét :
H. 2.12
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
Khảo sát đoạn z bao quanh một điểm
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
10
Bài giảng sức bền vật liệu
K có tác dụng lực tập trung P0,mômen tập trung M0 (H.2.12b).
Viết các phương trình cân bằng
Y = 0 Q1 + P0 – Q2 = 0 Q2 – Q1 = P0
(a)
(b)
z
2
z
2
M/K = 0 M1 +M0 - M2 + Q1 - Q2
=0
z
2
z
2
Bỏ qua vô cùng bé bậc một Q1
, Q2
, M2 - M1 = M0
Biểu thức (a) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ lực cắt.
Biểu thức (b) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen.
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC (Mx, Qy) VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ q
TRONG THANH THẲNG
Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ. Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân
bố theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương hướng lên
q(z)
M0
q(z)>0
Mx+dMx
Qy+dQy
Mx
Qy
z
dz
dz
Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Nội lực trên mặt
cắt 1-1 là Qy và Mx. Nội lực trên mặt cắt 2-2 so với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân
và trở thành Qy + dQy; Mx + dMx.Vì dz là rất
qz
bé nên có thể xem tải trọng là phân bố đều
trên đoạn dz. Viết các phương trình cân bằng:
1)Tổng hình chiếu các lực theo phương
đứng
1
1
q0
B
A
z
q0 L
6
q0 L
3
VA=
L
VB=
Y = 0 Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0
dQy
qz
q(z)
(2.4)
M
dz
A
Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của
lực phân bố vuông góc với trục thanh.
2) Tổng mômen của các lực đối với trọng
tâm mặt cắt 2-2 ta được:
Qy
q0 L
6
VA=
z
+
M/02
=
0
q0 L
6
VA=
VB=
-
dz
Qydz q(z) dz
Mx (Mx dMx) 0
q0 L
3
2
dz2
2
q(z)
Bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai
Mmax
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
11
Bài giảng sức bền vật liệu
dMx
dz
Qy
(2.5)
Đạo hàm của mômen uốn tại một mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đó
d2Mx
q(z)
Từ (2.4) và (2.5)
(2.6)
dz2
Đạo hàm bậc hai của mômen uốn tại một điểm chính là bằng cường độ của tải trọng
phân bố tại điểm đó.
Có thể viết từ (2.4)và (2.5) như sau :
TraiPhai
QPh QTr dientichq(z)TraiPhai
MPh MTr dientichQy
Qua liên hệ vi phân ta biết được qui luật phân bố các biểu đồ trong từng đoạn
Thí dụ8:
Vẽ BĐNL cho thanh đơn giản AB chịu tác dụng của tải phân bố bậc nhất như hình bên
Phản lực: Giải phóng liên kết, đặt các phản lực tương ứng ở các gối tựa, xét cân bằng
của toàn thanh,
1
l
1
M B 0 V l q l V q l
A
o
A
o
2
3
6
X = 0 HA = 0,
1
Y 0 V q l
B
o
3
Nội lực: Cường độ của lực phân bố ở mặt cắt 1-1 cách gốc A một đoạn z cho bởi:
z
q(z)= q0
l
Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần bên trái .
z
2
qol qoz2
Qy VA q(z)
Y = 0
(e)
6
2l
qol
z
2
z
3
qol
6
qoz3
6l
Mx
z q(z)
z
M/01=0
(g)
6
qL2
2
Từ (e) và (g) ta vẽ được biểu đồ lực cắt và
mômen cho dầm đã cho. Các biểu đồ này có tính
chất như sau.
M =
B
q
C
A
Biểu đồ lực cắt Qy có dạng bậc 2.
Tại vị trí z = 0, q(z) = 0 nên ở đây biểu đồ Qy đạt
qol 6
P = 2qL
qL
2
qL
L
cực trị: (Qy)z = 0 = Qmax
=
2L
2
Biểu đồ mômen uốn Mx có dạng bậc 3.
3qL
2
z l 3
Tại vị trí
cực trị:
; Qy = 0. Vậy tại đây Mx đạt
+
qL
2
-
qL
-
qol2
9 3
2
qL2
qL2
2
(Mx)
Mmax
l
3
z
Nhận xét:
Tại A: q=0 hàm Qy đạt cực trị, có tiếp tuyến
nằm ngang (dùng vẽ dạng lồi lõm đường cong)
qL2
8
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
12
Bài giảng sức bền vật liệu
Thí dụ 9:
Vẽ BĐNL cho thanh có hai đoạn chịu lực như hình vẽ
Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân bằng toàn thanh, suy ra phản lực liên kết tại A
và C là:
qL
VA VB
HC= 0 ,
2
(Hai phản lực ngược chiều)
Nội lực: (thanh có 2đoạn)
Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc tại A
(0 z1 L), xét cân bằng phần trái
qL
2
qL
2
Q1
Mx
A
qL
2
Qy
M1
Z1
Z1
Đoạn BC:
Mặt cắt 2-2, gốc A (L z2 3L) và xét cân bằng phần bên phải
qL
2
q
Q2 q
3L z2
Mx
Qy
2
C
qL
q
3L z2
M2
3L -z2
3L-Z2
qL
2
2
2
Chú ý các bước nhảy của biểu đồ lực cắt và biểu đồ momen
z3
Thí du 11:
qL2
2
Vẽ biểu đồ nội lực của khung phẳng
chịu tải trọng như trên H.2.16
P= qL
M0 =
q
2
3
3
A
z2
C
2
Giải: Tính phản lực liên kết
B
2
q
L
Xét cân bằng của toàn khung dưới tác
dụng của tải trọng ngoài và các phản
lực liên kết giả sử có chiều như hình
vẽ. Dùng các phương trình cân bằng
ta suy ra:
1
1
7
VC = qL
8
z1
HD = qL
D
L
L
2
13
VD =
qL
X 0 HA qL
8
L
2
L 2
2
L 3
2 2
1
7
M
0
VC L qL q
qL qL L 0 VC qL
D
4
8
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
13
Bài giảng sức bền vật liệu
3L
2
L 2
2
L 3
2 2
3
13
M
0
VA L qL
q
qL qL L 0 VA qL
C
2
8
Kiểm tra lại phản lực:
13
8
3
2
7
8
Y 0 V V 0
qL qL qL qL 0
Từ
C
D
Thực hiện 3 mặt cắt cho 3 đoạn DB, AB, và BC
Đoạn DB: dùng mặt cắt 1-1 gốc tại D và xét cân bằng đoạn DK1 ta được:
13
8
N1
qL
Nz
Q qL qz
(0 z1 L)
1
1
qz12
2
Mx
q
M1 qLz1
Qy
Z1
K1
Đoạn AB: dùng mặt cắt 2-2gốc tại A và xét cân bằng đoạn AK2
ta được:
P= qL
D
HD = qL
qL
q
N2 0
Mx
L
(0 z2 )
2
13
8
Q qL qz
VD =
2
2
Nz
A
qz22
K2
Z2
M2 qLz2
Qy
2
Đoạn BC: dùng mặt cắt 3-3 và xét cân bằng CK3 (gốc tại A)
q
Mx
Qy
L
2
3L
2
Nz
N3 0
(
Z3
)
C
3
2
7
8
K3
1,5L-Z3
Q q L z qL
3
3
7
VC = qL
3
2
2
8
L z
3
7
3
2
M qL L z
3
3
8
2
qL
8
+
7
qL
qL
-
-
3
qL
8
2
Qy
-
Nz
+
qL2
2
qL
5qL2
3
2
qL
qL2
2
3qL2
8
Mx
8
B
5qL2
8
3qL2
8
qL
8
qL2
13
8
2
89qL2
128
qL
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
14
Bài giảng sức bền vật liệu
Kiểm tra cân bằng nút(rất cần thiết để kiểm tra lại các biểu đồ vẽ có đúng không)
Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút. Nếu tách
nút ra khỏi hệ thì phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung (nếu có) và các nội lực tại
các mặt cắt, giá trị và chiều được lấy từ biểu đồ nội lực vừa vẽ.
Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ cân bằng,
nghĩa là các phương trình cân bằng được thỏa mãn. Ngược lại, nếu các phương trình
không thỏa mãn thì các nội lực tính sai.
Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn:
X = 0 , Y = 0 ; M/B = 0
Hay có thể dùng bất cứ mặt cắt nào qua khung để kiểm tra các phương trình cân bằng
luôn thỏa mãn (Mặt cắt chỉ chia khung làm 2 phần )
(Như vậy biểu đồ nội lực chắc chắn đúng)
CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ NHANH
1. Phương pháp vẽ từng điểm (dựa vào các nhận xét và liên hệ vi phân)
Dựa trên các liên hệ vi phân, ta định dạng các BĐNL tùy theo dạng tải trọng đã cho
và từ đó ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ.
Trên 1 đoạn thanh
Lực phân bố q = 0 Q = hằng số, M = bậc nhất.
Lực phân bố q = hằng số Q = bậc nhất, M = bậc hai.
……………………………………………………………………………….
M = qL2
Nếu biểu đồ có dạng hằng số, chỉ cần xác
định một điểm bất kỳ.
P = qL
q
B
D
Nếu biểu đồ có dạng bậc nhất, cần tính
nội lực tại hai điểm đầu và cuối đoạn
thanh.
A
C
17
8
qL
L
15
qL
L
3L
8
Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì cần
ba giá trị tại điểm đầu, điểm cuối và tại nơi
có cực trị, nếu không có cực trị thì cần biết
chiều lồi lõm của biểu đồ theo dấu của đạo
hàm bậc hai.Đoạn thanh có lực phân bố q
hướng xuống sẽ âm, nên bề lõm của biểu
đồ mômen hướng lên.Ngược lại, nếu q
hướng lên sẽ dương nên bề lõm của biểu đồ
mômen hướng xuống.
9
8
qL
K
+
qL
-
15
-
qL
8
qL2
1
8
qL2
9
8
Như vậy ta có thể vẽ biểu đồ nội lực bằng:
a)-phương pháp giải tích (căn bản)
b)-phương pháp vẽ điểm dựa vào liên hệ
vi phân và các bước nhảy
qL2
225
128
qL2 1,76qL2
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
15
Bài giảng sức bền vật liệu
Thí dụ 12:
Vẽ BĐNL trong thanh chịu tải trọng Như hình trên (p.p vẽ điểm và liên hệ vi phân)
-Phản lực liên kết
15
15
8
17
8
M B 0 qL2 qL2 qL2 VD 4L 0 VD
qL
qL
2
9
M D 0 5qL2 qL2 qL2 V 4L 0 V
B
B
2
-Nội lực (bài nầy có 3 đoạn)
Đoạn AB:
q = 0 Qy = hằng số, Mx = bậc nhất.
Thực hiện bước nhảy xuống qL đoạn này Qy là hằng số
Mx trong đoạn này sẽ là bậc nhất vẽ về phía trên (Momen âm)
AB
Luccat
MB MA
Đoạn BC:
0 (qL L) qL2
q =0 Qy = hằng số , Mx = bậc1,
Vẽ bước nhảy có tung độ bằng giá trị lực cắt.
17
17
9
QPB qL QTB qL qL qL
8
8
8
Lực cắt dương phía trên là 9/8qL.
Momen bậc1cần hai điểm để vẽ. Giá trị tại B là -qL2 Tìm giá trị tại C như sau:
,
9
1
2
MC MB BC qL qL L qL2
8
8
Đoạn CD:
q hằng số Qy = bậc1, Mx = bậc 2
Qy = bậc1cần hai điểm . Điểm đầu có giá trị là
9/8qL và điểm cuối có giá trị là 15/8qL đúng bằng bước nhảy của lực cắt tại D
Hay có thể tính như sau:
9
17
QD QC Cq D qL (3qL) qL
8
8
Mx là đường bậc 2 cần ba điểm để vẽ. Điểm tại C có được do thực hiện bước nhảy qL2
theo
chiều kim đồng hồ,(1/8qL2+qL2= 9/8qL2).Tại D có Mx =0,
Giá trị của Mx tại K cực trị do Qy = 0 .Tính như sau:
9
1 9
MK MC CK qL2 qL L
2 8
9
225
qL2 1,76qL2
8
8
128
Chỉ cần nối ba điểm bằng đường cong bậc hai có bề lõm sao cho hứng lấy lực q.
2. Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng
Khi thanh chịu tác dụng nhiều loại tải trọng, ta có thể vẽ biểu đồ nội lực trong thanh do
từng tải trọng riêng lẻ gây ra rồi cộng đại số lại để được kết quả cuối cùng.
Đường bậc 1+ đường bậc 2 thành đường bậc 2…
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
16
Bài giảng sức bền vật liệu
Thí dụ 13 : Dùng phương pháp cộng tác dụng vẽ biểu đồ .Từ đó suy ra phản lực tại A
và B.Bài nầy có 3 tải trọng xem như 3 bài toán cơ bản cộng lại.
M0 = 2qL2
M0 = qL2
q
B
A
L
M0 = 2qL2
M0 = qL2
q
A
B
A
B
B
A
L
L
L
qL
2
qL
+
+
-
2qL
-
qL
qL2
2qL2
qL2
qL2
8
2
qL
3qL
Phản lực tại B: RB 2qL qL
2
2
2qL2
qL2
q
Phản lực tại A:
qL
qL
RA =
2qL qL
2
2
B
A
Momen tại C (giữa dầm)
L
C
qL2
8
qL2 13qL2
MC =
qL2
2
8
qL
2
3qL
2
Chú ý: Tại giữa nhịp doạn C2C3 luôn luôn
-
qL2
8
bằng
. Vận dụng điều nầy để giải bài toán
qL2
C
2qL2
ngược khi biết biểu đồ Mx là đường bậc 2. Hay
dùng tính diện tích ABC3
C 2
1
A
C3
qL2 qL2 13qL2
CC3 qL2
2
8
8
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
17
Bài giảng sức bền vật liệu
Bảng tóm tắt: các dạng sơ đồ tính thường gặp
Ba sơ đồ căn bản chịu các tải trọng thường gặp là momen tập trung M0, tải trọng tập
trung P, và tải trọng phân bố đều q hằng số (Dựa vào liên hệ vi phân để vẽ)
1. Dầm consonle
M0
q
P
L
L
L
qL
+
P
+
M0
PL
2. Dầm đơn giản (gối tựa đơn)
P
M0
q
L
L
b
a
+
qL/2
-
+
-
M0/L
-
L2
8
q
Pab
a b
M0
3. Dầm có đầu thừa.
q
M0
P
a
a
L
a
L
L
-
P
+
M0/L
+
a
L
+
-
P
a2
2
Pa
q
M0
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
18
Bài giảng sức bền vật liệu
Thí dụ 14: Dùng liên hệ vi phân và các nhận xét để vẽ biểu đồ
a) Tính phản lực tại A và C
P qL
b) Dựa vào bước nhảy và liên hệ vi phân để
vẽ từng đoạn
M = qL2
q
A
C
Bài này có 3 đoạn, đoạn AB có lực phân bố
đều q, đoan BC và CD lực phân bố bằng
không
D
B
17
qL
15
qL
8
L
L
3L
8
a) Đoạn AB:-Lực cắt Qy bậc1, điểm đầu
bằng bước nhảy của phản lực tại A đi lên,
điểm cuối tính bằng: (Lực cắt là đường bậc
nhất có hệ số góc âm)
15
8
K
qL
+
9
8
17
8
-
qL
qL
15
9
AB
Luccat
QyB QyA
( 3)qL qL
8
8
qL2
-Momen bậc 2: Giá trị tại A = 0, giá trị tại
K(điểm cực trị) là
9
qL2
1 15
15
225
128
AK
Luccat
M xK M xA
0 qL L
qL2
8
225
128
qL2 1,76qL2
2
8
8
Giá trị tại B:
225
128
1 9
9
9
KB
Luccat
MxB MxK
qL2 qL L qL2
2 8
8
8
Nối 3 điểm tại A.K.B lại có đường cong hứng tải trọng
9
17
b) Đoạn BC: Thực hiện bước nhảy qL đi xuống: qL qL qL và Qy hằng số từ B
8
8
đến C
Và cuối cùng bước nhảy đi lên đúng bằng phản lực tại C
Momen bậc1: điểm đầu tại B và điểm cuối tại C tính được:
9
17
BC
Luccat
M xC MxB
qL2 ( qL L) qL2 (kéo thớ trên)
8
8
c) Đoạn CD: Lực cắt bằng 0, momen hằng số bằng momen tập trung
Thí dụ 15
Vẽ biểu đồ nội lực
-Tính các phản lực tại gối tựa
-Tương tự bài trên dung phương pháp vẽ từng điểm để vẽ Qy và Mx
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
19
Bài giảng sức bền vật liệu
M=20kNm
q=5kN/m
B
C
P=10kN
L
L=2m
1, 5m
15
2
15
+
+
2
-
5
2
15kNm
5kNm
5,625kNm
Thí dụ 16: Một dạng bài toán khác (dầm chính phụ) để tham khảo thêm.
M = qL2
P = 2qL
M = qL2
q
C
A
D
B
qL
L
2qL
qL
qL
2L
2
-
L
2
qL
qL
+
+
qL
-
qL
qL2
qL
qL2
qL2
qL 2
2
qL2
Nhận xét: Dầm chính tự nó chịu được tải trọng.Dầm phu phải dựa vào dầm chính .
Do đó khi tính phải bắt đầu từ dầm phụ trước.Vì tải trọng từ dầm phụ truyền qua dầm
chính, nhưng tải trọng từ dầm chính không truyền qua dầm phụ.
Tại khớp truyền lực, phản lực tính được khi đặt qua dầm chính phải đổi chiều.
Tại khớp B momen bằng không, lực cắt khác không
Chương 2: Lý thuyết về nội lực
GV: Lê đức Thanh 06/2015)
20
Tải về để xem bản đầy đủ
22 trang
16020
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 2: Lý thuyết nội lực - Lê Đức Thanh", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_suc_ben_vat_lieu_chuong_2_ly_thuyet_noi_luc_le_du.pdf
