Bài giảng Giải tích mạch - Chương 4, Phần 1: Phân tích mạch trong miền thời gian

Chương 4 : Phân tích mạch trong miền thời gian

 Giải bài toán quá độ của mạch điện

 Phương pháp tích phân kinh điển

• Phương trình mạch và nghiệm

• Đáp ứng tự do

• Đáp ứng xác lập

• Sơ kiện

 Phương pháp toán tử Laplace

• Phép biến đổi Laplace

• Định luật Ohm và Kirchhoff dạng toán tử

• Phân tích mạch dùng toán tử Laplace

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

1

4.1 Giới thiệu

 Chế độ xác lập (steady-state) :

2K

Ω

Bài toán xác lập DC:

u_xl= ?

12V

2

µF

u_Cxl

=> U_cxl= 12 V.

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

2

4.1 Giới thiệu

2K

Ω

 Bài toán xác lập AC :

. Tìm u_cxl(t) ?

e(t)

2

µF

u_Cxl

e(t)=12cos(250t)

1

10⁶

= − j

= − j2K

Từ mạch phức :

jωC

250.2

•

− j2K

2K − j2K

U_Cxl=12

= 6 2∠ − 45^o(V )

Nên :

u (t) = 6 2 cos(250t − 45^o)V

Và biểu thức xác lập :

Cxl

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

3

4.1 Giới thiệu

2K

Ω

t = 0

 Bài toán quá độ :

• Bài toán quá độ :

12V

2

µF

u_C(t)

1K

Ω

 Trước khi đóng khóa : mạch xác lập và ta có u_Cxl1= 12V

 Sau khi đóng khóa và mạch xác lập : u_Cxl2= 4 V.

 Dạng tín hiệu u_c(t) khi t > 0 (tín hiệu quá độ )

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

4

4.1 Giới thiệu

 Kết luận :

Bài toán quá độ (transient analysis) cho ta kết quả đúng

tại mọi thời điểm .

Bao hàm cả nghiệm xác lập.

Thời gian quá độ :

t_{quá độ}

t

Chế độ

xác lập 1

xác lập 2

t = 0

t = t_xl

Phân tích quá độ = Phân tích trong miền thời gian

(time-domain analysis).

4.1 Giới thiệu

Các dạng bài toán quá độ thường gặp

. Bài toán quá độ do thông

số mạch thay đổi (Bài toán

có khóa)

 Bài toán quá độ do tác động

lên mạch biến thiên đột ngột

(Bài toán xung).

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

Phương pháp

Tích phân kinh điển

 Phương trình mạch và nghiệm

 Đáp ứng tự do

 Đáp ứng xác lập

 Sơ kiện

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Phương trình mạch trong miền thời gian

 Xây dựng hệ PT theo hai định luật Kirchhoff→hệ PTVP

 Rút gọn theo 1 biến bất kỳ→PTVP cấp n mô tả quan hệ

giữa đáp ứng cần tìm y(t) và nguồn tác động

a_ny⁽ⁿ⁾+ a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+ a₁y '+ a₀y = f (t)

: các hằng số

a_n,a_n−1,...

f (t)

: tổ hợp các nguồn tác động

 Phương pháp tích phân kinh điển: tìm nghiệm quá độ bằng

cách giải PTVP (1) theo cách giải cổ điển

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

8

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Nghiệm của PTVP

a_ny⁽ⁿ⁾+ a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+ a₁y '+ a₀y = f (t)

y(t) = y_td(t) + y_cb(t)

= y_td(t) + y_xl(t)

y_td(t)

y_cb(t)

: nghiệm PT thuần nhất, thành phần quá độ

: nghiệm cưỡng bức, thành phần xác lập

y_xl(t)

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

9

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

a_ny⁽ⁿ⁾+ a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+ a₁y '+ a₀y = f (t)

y(t) = y_td(t) + y_xl(t)

 Cách tìm nghiệm xác lập (thành phần xác lập)

 Đối với mạch có nguồn tác động bất kỳ (vế phải f(t) là bất

y_xl(t)

kỳ) → nghiệm xác lập

số bất định

tìm bằng phương pháp hệ

 Đối với mạch có nguồn tác động là DC, AC→giải mạch

xác lập DC, AC.

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

10

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

a_ny⁽ⁿ⁾+ a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+...+ a₁y '+ a₀y = f (t)

y(t) = y_td(t) + y_xl(t)

 Cách tìm nghiệm tự do (thành phần quá độ)

 Được định dạng từ kết quả sau khi giải phương trình đặc

y_td(t)

trưng → dạng nghiệm tự do

 Phương trình đặc trưng có bậc n

Nghiệm đơn

Nghiệm bội

a_npⁿ+ a_n−1pⁿ⁻¹+...+ a₁p + a₀= 0

Nghiệm phức,…

……

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

11

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Các trường hợp nghiệm đặc trưng

Nghiệm p₁, p₂, …. , p_nthực, phân biệt :

n

y (t) = K e^{p t}

i

◦ Nghiệm tự do dạng

∑

td

i

i=1

Nghiệm thực p₁bội r , & p_r+1, …. , p_nphân biệt

◦ Nghiệm tự do dạng

n

y (t) = (K + K t +.....+ K t^r−1)e^p¹^t+ K e^pⁱ^t

∑

td

1

2

r

i

i=r+1

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

12

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Các trường hợp nghiệm đặc trưng

p_1,2= −α ± jβ

Nghiệm phức liên hiệp

, & p₃, …. , p_nphân biệt

◦ Nghiệm tự do dạng

n

y (t) = Ke^−αtcos(βt +ϕ) + K e^pⁱ^t

∑

td

i

i=3

◦ Hoặc

n

y (t) = e^−αtK cos(βt) + K sin(βt) + K e^pⁱ^t

[

]

∑

td

1

2

i

i=3

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

13

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Cách tìm phương trình đặc trưng

Viết các phương trình Kirchhoff

Rút gọn theo 1 biến

Suy ra phương trình đặc trưng

Nhận xét: phương pháp tổng quát , áp dụng cho hầu hết

các trường hợp, đòi hỏi kỹ năng rút gọn…→nhìn chung là

khá phức tạp, mất nhiều thời gian tính toán.

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

14

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Cách đại số hóa mạch

R → R





Triệt tiêu các nguồn độc lập

Thay các phần tử mạch bằng các giá trị đại số

L → pL



1





C →

pC

Do tác động của sơ đồ đại số là 0, nhưng

nghiệm tự do phải khác không , nên :

M → pM





• Z_v(p) = 0 (trở kháng vào của một nhánh đối với dòng điện).

• Y (p) = 0 (dẫn nạp vào giữa hai nút đối với điện áp).

v

• Các định thức của Z^ml(p) hay Yⁿ(p) bằng 0 .

→ Phương trình đặc trưng

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

15

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

Lưu ý khi dùng phương pháp này:

 Nếu PTĐT có bậc nhỏ hơn bậc quá độ mạch : chỉ dùng

cho áp hay dòng đó.

 Nếu PTĐT có bậc bằng bậc quá độ mạch : dùng được cho

tất cả các tín hiệu trong mạch.

 Không dùng cho các mạch có khớp nối và không tương

hỗ (do không thỏa mãn nguyên lý lập luận của phương pháp

này).

 Không dùng cho các tín hiệu : dòng qua dây dẫn hoặc áp

trên cửa.

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

16

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Điều kiện đầu (sơ kiện của bài toán mạch)

 Với phương trình đặc trưng bậc n, các hệ số K_icó thể xác

định nếu ta biết được các điều kiện đầu (sơ kiện) :

y(0⁺) ; y’(0⁺) ; … ; y^(n-1)(0⁺) .

 Sơ kiện có 2 loại

◦ Sơ kiện độc lập: u_C(0⁺) & i_L(0⁺)

◦ Sơ kiện phụ thuộc: là tất cả các sơ kiện còn lại (bao

gồm cả các sơ kiện đạo hàm).

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

17

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

u_C(0⁺) & i_L(0⁺)

 Xác định sơ kiện độc lập

W (0⁺) =W (0⁻)

Năng lượng là liên tục

→ sơ kiện

 Đối với mạch điện chỉnh : dùng luật liên tục của dòng

qua cuộn dây và áp trên tụ , còn gọi là luật đóng ngắt

(switching laws)

+

−





u (0 ) = u (0 )

C



i (0⁺) = i (0⁻)

 _L



L

 Các giá trị tại t = 0^-xác định từ việc giải mạch khi t < 0

−





u (0 ) = lim u (t) ↔ khi :t < 0

(

)

C

t→0



i (0⁻) = lim i (t) ↔ khi :t < 0

(

)

 _L



L

t→0

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Xác định sơ kiện độc lập

 Đối với mạch điện không chỉnh :

◦ Dùng luật liên tục của từ thông (loop)

ψ (0⁺) = ψ (0⁺)

loop

∑ ∑

k

loop

L i (0⁺) = L i (0⁻)

 Mạch chứa tập cắt cảm

∑ ∑

k Lk

loop

◦ Luật bảo toàn điện tích (node)

q (0⁺) = q (0⁻)

∑ ∑

k

node

C u (0⁺) = C u (0⁻)

 Mạch chứa vòng điện dung

∑ ∑

k Ck

node

4.2 Phương pháp tích phân kinh điển

 Xác định sơ kiện độc lập

 Đối với mạch điện không chỉnh chứa hổ cảm:

M

i₁(t)

i₂(t)

t = 0

E_DC

i₁(0⁻) =

t > 0→ i₁= 0

→ i₁(0⁺) = 0

R₁

R

1

E_DC

L₁

L₂

R₂

i₂(0⁻) = 0

ψ₂(t) = L₂i₂(t) + Mi₁(t)

 Vòng chứa cuộn L₂

ψ₂(0⁻) = 0 + Mi₁(0⁻)

ψ (0⁺) = L i (0⁺) + 0





→ L i (0⁺) = Mi (0⁻)



2 2

1



2

2 2



+

−

M

L₂

M

→ i₂(0 ) = i₁(0 ) = E_DC

L₂R₁