Giáo trình C++ - Chương 12: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định

Ch−¬ng 12 : TÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tÝch ph©n x¸c ®Þnh

§1. §¹o hµm Romberg

§¹o hµm theo ph−¬ng ph¸p Romberg lµ mét ph−¬ng ph¸p ngo¹i suy ®Ó x¸c ®Þnh ®¹o

hµm víi mét ®é chÝnh x¸c cao . Ta xÐt khai triÓn Taylor cña hµm f(x) t¹i (x+h) vµ (x-h) :

h²

h³

h⁴

′

′′

′′′

f(x + h) = f(x) + hf (x) +

f (x) +

f⁽⁴⁾(x) + ⋅⋅⋅

(1)

(2)

2

3!

4!

h²

2

h³

3!

h⁴

4!

f⁽⁴⁾(x) − ⋅⋅⋅

′

′′

′′′

f(x − h) = f(x) − hf (x) +

f (x) −

f (x) +

Trõ (1) cho (2) ta cã :

2h³

2h⁵

f⁽⁵⁾(x) + ⋅⋅⋅

(3)

′

′′′

f(x + h) − f(x − h) = 2hf (x) +

f (x) +

3!

5!

Nh− vËy rót ra :

f(x + h) − f(x − h) h²

h⁴

′

′′′

f (x) −

f (x) =

−

f⁽⁵⁾(x) − ⋅⋅⋅

(4)

(5)

2h

3!

5!

hay ta cã thÓ viÕt l¹i :

1

′

f (x) =

[

f(x + h) − f(x − h)

+ a₂h²+ a₄h⁴+ a₆h⁶+ ⋅⋅⋅

]

2h

trong ®ã c¸c hÖ sè a_iphô thuéc f vµ x .

Ta ®Æt :

(6)

1

2h

=

ϕ(h)

[f(x+h)−f(x−h)]

Nh− vËy tõ (5) vµ (6) ta cã :

2

4

6

′

D(1,1) = ϕ(h) = f (x) − a₂h − a₄h − a₆h − ⋅⋅⋅

(7)

(8)

h

h²

h⁴

h⁶

⎛ ⎞

′

D(2,1) = ϕ

= f (x) − a

− a₄

− a₆

− ⋅⋅⋅

⎜ ⎟

2

4

16

64

⎝ ⎠

vµ tæng qu¸t víi h_i= h/2^i-1ta cã :

2

4

6

′

D(i,1) = ϕ(h_i) = f (x) − a₂h_i− a₄h_i− a₆h_i− ⋅⋅⋅

(9)

Ta t¹o ra sai ph©n D(1,1) - 4D(2,1) vµ cã :

h

3

15

⎛ ⎞

4

= −3f (x) − a h − a₆h⁶−⋅⋅⋅

(10)

′

ϕ(h) − 4ϕ

⎜ ⎟

4

2

⎝ ⎠

4

16

Chia hai vÕ cña (10) cho -3 ta nhËn ®−îc :

4D(2,1) − D(1,1)

1

5

4

′

D(2,2) =

= f (x) + a₄h + a₆h⁶+ ⋅⋅⋅

(11)

4

16

Trong khi D(1,1) vµ D(2,1) sai kh¸c f′(x) phô thuéc vµo h²th× D(2,2) sai kh¸c f′(x) phô

thuéc vµo h⁴. B©y giê ta l¹i chia ®«i b−íc h vµ nhËn ®−îc :

₊1

4

5

16

(12)

(13)

(h/2)⁴

(h/2)⁶

a₆

=

+

+...

D(2,2) f ′(x)

a₄

vµ khö sè h¹ng cã h⁴b»ng c¸ch t¹o ra :

_{+ +}15

(h)⁶

=

+...

D(2,2)−16D(3,2) −15f ′(x)

a₆

64

Chia hai vÕ cña (13) cho -15 ta cã :

16D(3,2)−D(2,2)

1

64

(14)

a₆h⁶

=

−

− . ...

D(3,3)

f ′(x)

15

204

Víi lÇn tÝnh nµy sai sè cña ®¹o hµm chØ cßn phô thuéc vµo h⁶. L¹i tiÕp tôc chia ®«i b−íc h

vµ tÝnh D(4,4) th× sai sè phô thuéc h⁸. S¬ ®å tÝnh ®¹o hµm theo ph−¬ng ph¸p Romberg lµ :

D(1,1)

D(2,1)

D(3,1)

D(4,1)

D(2,2)

D(3,2)

D(4,2)

D(3,3)

D(4,3)

D(4,4)

. . . . . . . . . . . .

trong ®ã mçi gi¸ trÞ sau lµ gi¸ trÞ ngo¹i suy cña gi¸ trÞ tr−íc ®ã ë hµng trªn .

Víi 2 ≤ j ≤ i ≤ n ta cã :

^j−1D(i,j−1)−D(i−1,j−1)

4

=

D(i,j)

4^j−1−1

vµ gi¸ trÞ khëi ®Çu lµ :

1

2h_i

=

ϕ(h

D(i,1)

víi h_i= h/2^i-1.

)

[f(x+h_i)−f(x−h_i)]

i

Chóng ta ngõng l¹i khi hiÖu gi÷a hai lÇn ngo¹i suy ®¹t ®é chÝnh x¸c yªu cÇu.

VÝ dô : T×m ®¹o hµm cña hµm f(x) = x²+ arctan(x) t¹i x = 2 víi b−íc tÝnh h = 0.5 . TrÞ chÝnh

x¸c cña ®¹o hµm lµ 4.2

1

D(1,1) =

D(2,1) =

[f(2.5) − f(1.5)] = 4.207496266

[f(2.25) − f(1.75)] = 4.201843569

2×0.5

1

2×0.25

1

D(3,1) =

[f(2.125) − f(1.875)] = 4.200458976

2×0.125

¹D(2,1)−D(1,1)

₌4

⁼4.19995935

⁼4.200458976

⁼4.200492284

D(2,2)

D(3,2)

D(3,3)

4¹−1

¹D(3,1)−D(2,1)

₌4

4¹−1

²D(3,2)−D(2,2)

4²¹−1

Ch−¬ng tr×nh tÝnh ®¹o hµm nh− d−íi ®©y . Dïng ch−¬ng tr×nh tÝnh ®¹o hµm cña hµm

cho trong function víi b−íc h = 0.25 t¹i x_o= 0 ta nhËn ®−îc gi¸ trÞ ®¹o hµm lµ 1.000000001.

Ch−¬ng tr×nh12-.1

//Daoham_Romberg;

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define max 11

float h;

void main()

{

float d[max];

int j,k,n;

float x,p;

float y(float),dy(float);

205

clrscr();

printf("Cho diem can tim dao ham x = ");

scanf("%f",&x);

printf("Tinh dao ham theo phuong phap Romberg\n");

printf("cua ham f(x) = th(x) tai x = %4.2f\n",x);

n=10;

h=0.2;

d[0]=dy(x);

for (k=2;k<=n;k++)

{

h=h/2;

d[k]=dy(x);

p=1.0;

for (j=k-1;j>=1;j--)

{

p=4*p;

d[j]=(p*d[j+1]-d[j])/(p-1);

}

printf("y'= %10.5f\n",d[1]);

getch();

}

float y(float x)

{

float a=(exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x));

return(a);

}

float dy(float x)

{

float b=(y(x+h)-y(x-h))/(2*h);

return(b);

}

§2. Kh¸i niÖm vÒ tÝch ph©n sè

Môc ®Ých cña tÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh lµ ®¸nh gi¸ ®Þnh l−îng biÓu thøc :

b

y

J = f(x)dx

∫

a

trong ®ã f(x) lµ hµm liªn tôc trong kho¶ng [a,b] vµ cã

thÓ biÓu diÔn bëi ®−êng cong y= f(x). Nh− vËy tÝch

ph©n x¸c ®Þnh J lµ diÖn tÝch S_ABba, giíi h¹n bëi ®−êng

cong f(x) , trôc hoµnh , c¸c ®−êng th¼ng x = a vµ x = b

. NÕu ta chia ®o¹n [a,b] thµnh n phÇn bëi c¸c ®iÓm x_i

th× J lµ gíi h¹n cña tæng diÖn tÝch c¸c h×nh ch÷ nhËt

f(x_i).(x_i+1- x_i) khi sè ®iÓm chia tiÕn tíi ∝, nghÜa lµ :

B

A

a

x

b

206

n

=

−

f(x )(x

)

x_i

∑

J lim

i

i+1

n→∞

i=0

NÕu c¸c ®iÓm chia x_ic¸ch ®Òu , th× ( x_i+1- x_i) =

h . Khi ®Æt f(x_o) = f_o, f(x₁) = f₁,... ta cã tæng :

n

S_n⁼h f_i

∑

i=0

Khi n rÊt lín , S_ntiÕn tíi J . Tuy nhiªn sai sè lµm trßn l¹i ®−îc tÝch luü . Do vËy cÇn

ph¶i t×m ph−¬ng ph¸p tÝnh chÝnh x¸c h¬n . Do ®ã ng−êi ta Ýt khi dïng ph−¬ng ph¸p h×nh

ch÷ nhËt nh− võa nªu .

§3. Ph−¬ng ph¸p h×nh thang

Trong ph−¬ng ph¸p h×nh thang , thay v× chia diÖn tÝch S_ABbathµnh c¸c h×nh ch÷ nhËt ,

ta l¹i dïng h×nh thang . VÝ dô nÕu chia thµnh 3 ®o¹n nh− h×nh vÏ th× :

S₃= t₁+ t₂+ t₃

trong ®ã t_ilµ c¸c diÖn tÝch nguyªn tè . Mçi diÖn tÝch nµy lµ mét h×nh thang :

t_i= [f(x_i) + f(x_i-1)]/ (2h)

= h(f_i- f_i-1) / 2

Nh− vËy :

S₃= h[(f_o+f₁)+(f₁+f₂)+(f₂+f₃)] / 2

= h[f_o+2f₁+2f₂+f₃] / 2

Mét c¸ch tæng qu¸t chóng ta cã :

b−a

n

=

⁺2f₁^{+ ⋅⋅⋅ +}2f_n−1⁺2f_n

(f_o

)

S_n

hay :

n

b−a

n

=

+2

+f

{f_o

}

f_i

∑

S_n

n

i=1

Mét c¸ch kh¸c ta cã thÓ viÕt :

a+(k+1)h

n−1

b

n−1

f(x)dx =

f(x)dx ≈

a+kh

{hf(a + kh) / 2 + f[a + (k +1)h] / 2}

k=0

∑

∫

k=1

a

hay :

b

f(x)dx = h{f(a) / 2 + f(a + h) + ⋅⋅⋅ + f[a + (n −1)h] + f(b) / 2}

∫

a

Ch−¬ng tr×nh tÝnh tÝch ph©n theo ph−¬ng ph¸p h×nh thang nh− sau :

Ch−¬ng tr×nh 12-2

//tinh tich phan bang phuong phap hinh_thang;

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

float f(float x)

{

float a=exp(-x)*sin(x);

return(a);

};

207

void main()

{

int i,n;

float a,b,x,y,h,s,tp;

clrscr();

printf("Tinh tich phan theo phuong phap hinh thang\n");

printf("Cho can duoi a = ");

scanf("%f",&a);

printf("Cho can tren b = ");

scanf("%f",&b);

printf("Cho so buoc n = ");

scanf("%d",&n);

h=(b-a)/n;

x=a;

s=(f(a)+f(b))/2;

for (i=1;i<=n;i++)

{

x=x+h;

s=s+f(x);

}

tp=s*h;

printf("Gia tri cua tich phan la : %10.6f\n",tp);

getch();

}

1] víi 20 ®iÓm chia ta cã J = 0.261084.

§4. C«ng thøc Simpson

Kh¸c víi ph−¬ng ph¸p h×nh thang , ta chia ®o¹n [a,b] thµnh 2n phÇn ®Òu nhau bëi

c¸c ®iÓm chia x_i:

a = x_o< x₁< x₂< ....< x_2n= b

x_i= a+ih ; h = (b - a)/ 2n víi i =0 , . . , 2n

Do y_i= f(x_i) nªn ta cã :

b

x₂

x₄

x_2n

f(x)dx = fdx + fdx +... + fdx

∫

a

x₀

x₂

x_2n−2

bËc 2 :

₊t(t−1)

=

+

y₀t∆y₀

²y

∆

(x)

P₂

0

2t

x₂

=

f(x)dx

(x)dx

P

∫

2

x₀

§æi biÕn x = x₀+th th× dx = hdt , víi x₀th× t =0 vµ víi x₂th× t = 2 nªn :

208

x₂

2

₊1(t−1)

+

⁼h

∆

(y t∆y

²y

₀)dt

(x)dx

P

∫

2

0

2

0

x₀

₊t²

2

t³₋t²

h[y

∆y₀

²y

t=2

₊1

=

(

)∆ ]|_t=0

₀t

0

2 3 2

²y

]

₊1

8 4

=

+

−

h[2y₀2∆y₀

(

)∆

0

2 3 2

₌h

3

+

[y 4y y

]

0

1

2

x_2i+2

₌h

3

+

[y_2i4y_2i+1y_2i+2

f(x)dx

]

∫

x_2i

b

₌h

3

+

+ ⋅⋅⋅ +

+

+ ⋅⋅⋅ +

+

[y_o4(y₁y₃

y_2n−12(y₂y₄

y_2n−2y_2n

)

]

f(x)dx

)

∫

a

Ch−¬ng tr×nh dïng thuËt to¸n Simpson nh− sau :

Ch−¬ng tr×nh 12-3

//Phuong phap Simpson;

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

float y(float x)

{

float a=4/(1+x*x);

return(a);

}

void main()

{

int i,n;

float a,b,e,x,h,x2,y2,x4,y4,tp;

clrscr();

printf("Tinh tich phan theo phuong phap Simpson\n");

printf("Cho can duoi a = ");

scanf("%f",&a);

printf("Cho can tren b = ");

scanf("%f",&b);

printf("Cho so diem tinh n = ");

scanf("%d",&n);

h=(b-a)/n;

x2=a+h;

x4=a+h/2;

y4=y(x4);

y2=y(x2);

for (i=1;i<=n-2;i++)

{

209

x2+=h;

x4+=h;

y4+=y(x4);

y2+=y(x2);

}

y2=2*y2;

y4=4*(y4+y(x4+h));

tp=h*(y4+y2+y(a)+y(b))/6;

printf("Gia tri cua tich phan la : %10.8f\n",tp);

getch();

}

kho¶ng chia cho ta kÕt qu¶ J = 3.14159265.

210