Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và thuật toán - Trịnh Anh Phúc (Bản đầy đủ)

CẤU TRÚC DỮ LIỆU

VÀ THUẬT TOÁN

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM

CƠ BẢN

NỘI DUNG

1.1. Ví dụ mở đầu

1.2. Thuật toán và độ phức tạp

1.3. Ký hiệu tiệm cận

1.4. Giả ngôn ngữ

1.5. Một số kĩ thuật phân tích thuật toán

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Ví dụ mở đầu

• Bài toán tìm dãy con lớn nhất:

Cho dãy số

a₁, a₂, … , a_n

Dãy số a_i, a_i+1, …, a_jvới 1 ≤ i ≤ j ≤ n được gọi là dãy con của dãy

đã cho và ∑^j_k=ia_kđược gọi là trọng lượng của dãy con này

Bài toán đặt ra là: Hãy tìm trọng lượng lớn nhất của các dãy con, tức

là tìm cực đại giá trị ∑^j_k=ia_k. Để đơn giản ta gọi dãy con có trọng

lượng lớn nhất là dãy con lớn nhất.

• Ví dụ: Nếu dãy đã cho là -2, 11, -4, 13, -5, 2 thì cần đưa ra

câu trả lời là 20 (là trọng lượng của dãy con 11, -4, 13)

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán trực tiếp

• Thuật toán đơn giản đầu tiên có thể nghĩ để giải bài toán đặt ra

là: Duyệt tất cả các dãy con có thể

a_i, a_i+1, …, a_jvới 1 ≤ i ≤ j ≤ n

và tính tổng của mỗi dãy con để tìm ra trọng lượng lớn nhất.

• Trước hết nhận thấy rằng, tổng số các dãy con có thể của dãy đã

cho là

C(n,2) + n = n²/2 + n/2 .

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán trực tiếp

• Thuật toán này có thể cài đặt trong đoạn chương trình sau:

int maxSum = 0;

for (int i=0; i<n; i++) {

for (int j=i; j<n; j++) {

int sum = 0;

for (int k=i; k<=j; k++)

sum += a[k];

if sum > maxSum

maxSum = sum;

}

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán trực tiếp

• Phân tích thuật toán: Ta sẽ tính số lượng phép cộng

mà thuật toán phải thực hiện, tức là đếm xem dòng lệnh

Sum += a[k]

phải thực hiện bao nhiêu lần. Số lượng phép cộng sẽ là

n1 n1

n1

^n1(n i)(n i 1)

( j i 1)  (1 2 ... (n i)) 





2

i0 ji

i0

n

1

2

1 n(n 1)(2n 1) n(n 1)











k(k 1) 

k² k 





_ 









2 _k1

2

6

2



 

k1

n³n²n

  

6 2 3

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán nhanh hơn

• Để ý rằng tổng các số hạng từ i đến j có thể thu được

từ tổng của các số hạng từ i đến j-1 bởi 1 phép cộng, cụ

thể là ta có:

j

j1

a[k]  a[ j] a[k]



ki

• Nhận xét này cho phép rút bớt vòng lặp for trong cùng.

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán nhanh hơn

• Ta có thể cài đặt như sau

int maxSum = a[0];

for (int i=0; i<n; i++) {

int sum = 0;

for (int j=i; j<n; j++) {

sum += a[j];

if sum > maxSum

maxSum = sum;

}

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán nhanh hơn

• Phân tích thuật toán. Ta lại tính số lần thực hiện phép cộng

và thu được kết quả sau:

n²n

n1

(n i)  n  (n 1) ...1 



2 2

i0

• Để ý rằng số này là đúng bằng số lượng dãy con. Dường như

thuật toán thu được là rất tốt, vì ta phải xét mỗi dãy con đúng 1

lần.

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Ta còn có thể xây dựng thuật toán tốt hơn nữa! Ta sẽ sử

dụng kỹ thuật chia để trị. Kỹ thuật này bao gồm các

bước sau:

– Chia bài toán cần giải ra thành các bài toán con cùng dạng

– Giải mỗi bài toán con một cách đệ qui

– Tổ hợp lời giải của các bài toán con để thu được lời giải của bài toán

xuất phát.

• Áp dụng kỹ thuật này đối với bài toán tìm trọng lượng

lớn nhất của các dãy con: Ta chia dãy đã cho ra thành 2

dãy sử dụng phần tử ở chính giữa và thu được 2 dãy số

(gọi tắt là dãy bên trái và dãy bên phải) với độ dài giảm

đi một nửa.

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Để tổ hợp lời giải, nhận thấy rằng chỉ có thể xảy ra một

trong 3 trường hợp:

– Dãy con lớn nhất nằm ở dãy con bên trái (nửa trái)

– Dãy con lớn nhất nằm ở dãy con bên phải (nửa phải)

– Dãy con lớn nhất bắt đầu ở nửa trái và kết thúc ở nửa phải (giữa).

• Do đó, nếu ký hiệu trọng lượng của dãy con lớn nhất ở

nửa trái là w_L, ở nửa phải là w_Rvà ở giữa là w_Mthì

trọng lượng cần tìm sẽ là

max(w_L, w_R, w_M).

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Việc tìm trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa trái

(w_L) và nửa phải (w_R) có thể thực hiện một cách đệ qui

• Để tìm trọng lượng w_Mcủa dãy con lớn nhất bắt đầu ở

nửa trái và kết thúc ở nửa phải ta thực hiện như sau:

– Tính trọng lượng của dãy con lớn nhất trong nửa trái kết

thúc ở điểm chia (w_ML) và

– Tính trọng lượng của dãy con lớn nhất trong nửa phải bắt

đầu ở điểm chia (w_MR).

– Khi đó w_M= w_ML+ w_MR.

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• m – điểm chia của dãy trái, m+1 là điểm chia của dãy phải

a₁, a₂,…,a_m, a_m+1, a_m+2,…,a_n

Tính W_MLcủa dãy con

lớn nhất trong nửa trái

kết thúc tại a_m

Tính W_MRcủa dãy con

lớn nhất trong nửa phải

bắt đầu từ a_m+1

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Để tính trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa trái (từ

a[i] đến a[j]) kết thúc ở a[j] ta dùng thuật toán sau:

MaxLeft(a, i, j);

{

maxSum = -; sum = 0;

for (int k=j; k>=i; k--) {

sum = sum+a[k];

maxSum = max(sum, maxSum);

}

return maxSum;

}

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Để tính trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa phải (từ

a[i] đến a[j]) bắt đầu từ a[i] ta dùng thuật toán sau:

MaxRight(a, i, j);

{

maxSum = -; sum = 0;

for (int k=i; k<=j; k++){

sum = sum+a[k];

maxSum = max(sum, maxSum);

}

return maxSum;

}

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

Sơ đồ của thuật toán đệ qui có thể mô tả như sau:

MaxSub(a, i, j);

{

if (i = j) return a[i]

else

{ m = (i+j)/2;

wL = MaxSub(a, i, m);

wR = MaxSub(a, m+1, j);

wM = MaxLeft(a, i, m)+

MaxRight(a, m+1, j);

return max(wL, wR, wM);

}

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Phân tích thuật toán:

Ta cần tính xem lệnh gọi MaxSub(a,1,n) để thực hiện thuật

toán đòi hỏi bao nhiêu phép cộng?

• Truớc hết nhận thấy MaxLeft và MaxRight đòi hỏi

n/2 + n/2 = n phép cộng

• Vì vậy, nếu gọi T(n) là số phép cộng cần tìm, ta có công thức

đệ qui sau:

0

n 1

n 1





T(n) 

 n

n

T( ) T( )  n  2T( )  n



 2

2

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán đệ qui

• Ta khẳng định rằng T(2^k) = k.2^k. Ta chứng minh bằng qui nạp

• Cơ sở qui nạp: Nếu k=0 thì T(2⁰) = T(1) = 0 = 0.2⁰.

• Chuyển qui nạp: Nếu k>0, giả sử rằng T(2^k-1) = (k-1)2^k-1là

đúng. Khi đó

T(2^k) = 2T(2^k-1)+2^k= 2(k-1).2^k-1+ 2^k= k.2^k.

• Quay lại với ký hiệu n, ta có

T(n) = n log n .

• Kết quả thu được là tốt hơn thuật toán thứ hai !

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

So sánh các thuật toán

• Cùng một bài toán ta đã đề xuất 3 thuật toán đòi hỏi số

lượng phép toán khác nhau và vì thế sẽ đòi hỏi thời gian

tính khác nhau.

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa

Thuật toán Quy hoạch động

Việc phát triển thuật toán dựa trên DP bao gồm 3 giai đoạn:

1. Phân rã: Chia bài toán cần giải thành những bài toán con nhỏ

hơn có cùng dạng với bài toán ban đầu.

2. Ghi nhận lời giải: Lưu trữ lời giải của các bài toán con vào một

bảng.

3. Tổng hợp lời giải: Lần lượt từ lời giải của các bài toán con

kích thước nhỏ hơn tìm cách xây dựng lời giải của bài toán

kích thước lớn hơn, cho đến khi thu được lời giải của bài toán

xuất phát (là bài toán con có kích thước lớn nhất).

Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa