Ổn định tuyệt đối mạng nơron mờ
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG
Trần Lưu Cường
ỔN ĐỊNH TUYỆT ĐỐI MẠNG NƠRON MỜ
ABSOLUTE STABILITY FOR A FUZZY NEURAL NETWORK
TRẦN LƯU CƯỜNG
TÓM TẮT: Bài viết đưa ra khái niệm mạng nơron mờ bất định mở rộng trên cơ sở phát triển mô
hình mạng nơron Hopfield. Với những hệ thống này, phương pháp đánh giá ổn định phi tuyến bền
vững được xây dựng dựa trên lý thuyết về tính thụ động. Các ưu điểm chính của phương pháp đề ra
là tính tổng quát cao có thể ứng dụng cho nhiều lớp mạng nơron khác nhau, có thể hiện đồ thị trực
quan và có biểu diễn tường minh các tiêu chuẩn.
Từ khóa: mạng nơron mờ; ổn định tuyệt đối; nơron Hopfield.
ABSTRACT: This paper proposes the concept of extended uncertain fuzzy neural network based
on development of Hopfield’s model of neuron networks. With this system, sustainable nonlinear
stability assessment method is built on the theory of passivity. The main advantages of the proposed
method are the high generalization that can be applied to many different neural network layers,
which can display graphs visually and have explicit representations of standards.
Keywords: fuzzy neuron network; absolute stability; Hopfield’s neuron.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thời gian gần đây, các mạng nơron
Đối với các hàm j(xj), j = 1,.., n, thông
thường giả thiết rằng, chúng là các hàm liên tục
đơn trị thỏa mãn điều điện:
nhân tạo trở thành đối tượng nghiên cứu hấp
dẫn, thu hút được sự quan tâm của đông đảo các
nhà khoa học. Trong số các mạng nơron, mạng
Hopfield [2], [5] là thông dụng nhất, cấu trúc
của nó bao gồm mạng nơron một tầng với các
liên hệ ngược phi tuyến tổng quát và tuyến tính
giữa các nơron. Mô hình mạng Hopfield được
(0) = 0và x(x) > 0; với x 0, j =
(2)
1, n
j
j
j
j
j
Mạng nơron Hopfield được sử dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực, trong đó có bài toán điều
khiển. Để giải bài toán điều khiển nói chung và các
bài toán tối ưu nói riêng, đòi hỏi hệ (1) có một trạng
thái cân bằng duy nhất, tương ứng với nghiệm bài
toán tối ưu, và trạng thái này là ổn định tiệm cận
trong toàn cục. Có thể đảm bảo rằng nghiệm hệ (1)
sẽ tiệm cận về nghiệm bài toán tối ưu với điều kiện
ban đầu bất kỳ. Trong thực tế xuất hiện nhiều
trường hợp khi các hàm j(xj), j = 1, ..., n, không
được biết chính xác, chỉ biết chúng thuộc vào một
trong những lớp nào đó. Ổn định của mạng nơron
khi có liên quan gần gũi đến khái niệm quen thuộc
về ổn định tuyệt đối hệ thống điều khiển.
biểu diễn bằng hệ phương trình sau:
n
x c x a u I , i 1,...,n,
i
i
i
ij
j
i
(1)
(1)
j1
uj j (xi), j 1,...,n.
Trongđó: n-số nơron trongmạng; xj -biến trạng
thái của nơron thứ j; u - tín hiệu ra của nơron thứ j; ci -
j
hệ số liên hệ ngược trực tuyến, ci> 0, i = 1, ..., n; (x),
j
j
j =
- hàm phi tuyến thể hiện liên hệ giữa trạng
1, n
thái xj của mạng nơron thứ j với đầu ra u của nó; A =
j
(aij) - ma trận vuông bậc n thể hiện liên hệ giữa các
nơron;Ii -tínhiệungoài,Ii =const;i=1, ..., n.
84
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG
Số 21, Tháng 5 – 2020
Trong bài toán này, ổn định tuyệt đối được
đề ra với lớp mạng nơron Hopfield tổng quát
hơn: thứ nhất, mối quan hệ tuyến tính là một
khâu động học tuyến tính tổng quát (không chỉ
là khâu quán tính như (1)): thứ hai liên hệ ngược
phi tuyến là một khâu động học mờ dạng:
Nếu y là Xi và y là Yj thì là Zk (3). Thực tế
đã chứng minh được rằng, một lớp khá rộng rãi các
khâu động học mờ (3) như vậy biểu diễn một ánh xạ
phi tuyến có đặc tính thỏa mãn giới hạn:
Hình 1b. Mạng nơron mờ mở rộng
2. NỘI DUNG
2.1. Ổn định tuyệt đối mạng nơron mờ
.y2
(y).y (0) 0,
.y2,
(4)
Ký hiệu:
G s)G (s),
i
y : y y
D(p,q)
(p1 q1) / 2
–
đường tròn có tâm tại
Mô hình hệ thống mạng nơron mờ mở
rộng thể hiện qua các phương trình sau:
(p1 q1) / 2
và bán kính
.
Định lý: Mạng nơron mờ mở rộng (3), (5) ổn
định tuyệt đối nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) Với các liên hệ tuyến tính:
xi ixi b ui,
i
yi c'1 xi,
(5)
n
u I
aijj (yj )
a) Nếu
có các cực âm thỏa mãn một
G
i
i
j1
trong các điều kiện sau:
Đồ thị Nyquist
i 1, n.
với:
không bao hoặc cắt
G
Hàm xi(t) là vectơ cỡ ni, còn ui(t) và yi(t) là
các hàm vô hướng.
đường tròn D(pi, qi), trong đó 0 < pi.qi, pi< qi;
Đồ thị Nyquist nằm bên trong
G
Hàm phi tuyến j(yj) thể hiện bản thân
đường tròn D(pi, qi), trong đó pi< 0 < qi;
khâu động học mờ với giả thuyết:
i yi j (yj )yj j y2j ,
Đồ thị Nyquist nằm bên trong nửa
G
(6)
1
j (0) 0.
mặt phẳng Re s
, trong đó 0 = pi< qi;
qi
Đồ thị Nyquist
Nếu ký hiệu hàm truyền của hệ có tuyến
nằm bên trong nửa
G
tính thứ i là:
Y (s)
i
Ui (s)
Gi (s)
c'i (sI i )
1b
i
1
qi
(7)
mặt phẳng Re s
, trong đó pi< qi = 0.
Ta có sơ đồ cấu trúc mạng nơron mở rộng
trên hình 1b. Để so sánh, trên hình 1a biểu diễn
sơ đồ mạng nơron Hopfield (1) tương ứng.
b) Nếu
có m cực dương: đồ thị
G
Nyquist
bao đường tròn D(pi, qi), m lần
G
theo ngược chiều kim đồng hồ, trong đó 0 < pi< qi.
2) Với các liên hệ mờ phi tuyến:
n
Ma trận khoảng L l
là xác định
iji, j1
âm với mọi ti, trong đó:
n
akiakj
l t a t
i
j
ij
ij
k1 qk pk
Hình 1a. Mạng nơron Hopfield
85
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG
Trần Lưu Cường
pj
aii
pi
aii
a
a
n
ki kj
i
ti i
, i j,
a
,
(9)
j
j
ii
i
i
q
p
k1
k
k
*
i ti i, j tj j , i j.
l
max
,
ij
a
a
n
ki kj
Định lý trên có tính tổng quát cao nhưng
khó áp dụng trong thực tế do cần phải giải
quyết bài toán xác định tính xác định âm của
một ma trận có các phần tử thay đổi trong
khoảng cho trước (tính xác định âm bền vững).
Tuy nhiên, trong một số trường hợp riêng, có
thể rút ra các kết luận cụ thể sau:
a
ii
q
p
k1
k
k
a
a
n
ki kj
,
a
j
j
ij
i
i
q
p
k1
k
k
, i j
a
a
n
ki kj
a
ij
q
p
k1
k
k
Tiêu chuẩn 1. Ổn định tuyệt đối mạng
nơron mờ suy biến:
Tiếp theo ta mở rộng thêm bài toán với
khái niệm mạng nơron mờ mở rộng bất định,
trong đó các mạch tuyến tính, tham số các mô
hình hàm truyền Gi(s) không biết được xác
định, chúng có thể thay đổi trong các khoảng
xác định cho trước.
Ký hiệu Gi(s, qi), qi Qi Rni, i = 1, ..., n là
các hàm truyền bất định như vậy, trong đó qi là
vectơ các tham số bất định, Qi – hộp. Khi đó, theo
Mạng nơron mờ (3), (5) suy biến với aij =
0, i j là ổn định tuyệt đối nếu các mạng tuyến
tính thỏa mãn điều kiện 1 của định lý và các
mạch phi tuyến thỏa mãn bất đẳng thức sau:
p
p
i
i
0
q p , i 1, n (10)
i
i
i
i
a
a
ii
ii
Tiêu chuẩn 2. Ổn định tuyệt đối mạng
nơron Hopfield mờ: Mạng nơron Hopfield mờ
(1),(2),(3) ổn định tuyệt đối nếu ma trận
lý thuyết ổn định bền vững [6] ta có thể dựng các
dòng niềm giá trị
.
F(w) G,w R
i
A a là xác định âm.
ij
Các kết quả về ổn định tuyệt đối mạng nơron đề
ra trên đây dễ dàng được triển khai thành ổn định
tuyệt đối mạng nơron bền vững của lớp mạng
nơron bất định như vậy.
Tiêu chuẩn 3. Điều kiện đủ ổn định tuyệt
đối mạng nơron mờ mở rộng: Mạng nơron mờ
mở rộng (3) – (5) là ổn định tuyệt đối nếu các
mạch tuyến tính thỏa mãn điều kiện 1 trong định
Tiêu chuẩn 4. Ổn định tuyệt đối mạng
nơron mờ bất định: Mạng nơron bất định là ổn
định tuyệt đối bền vững nếu trong các định lý
và tiêu chuẩn đề ra nói trên các đồ thị Nyquist
lý và các mạch phi tuyến mờ thỏa mãn điều kiện
*
ma trận L l* xác định âm, trong đó:
ij
2
k
a
n
ki
được thay thế bằng các dòng miền giá
G
a
,
i
i
ii
i
i
q
p
k1
trị Fi(w).
k
*
l
max
,
(11)
ii
2.2. Chứng minh các định lý
2
a
n
ki
a
Để đưa ra kết luận về tính ổn định của hệ
thống, có thể dựa trên lý thuyết về tính thụ
động [1, tr.339-344], [4, tr.337-382]. Theo đó,
để hệ thống kín có liên tục ngược âm là ổn
định thì hệ thống con ở mạch thẳng và mạch
phản hồi có tính thụ động. Trước tiên, ta đưa
sơ đồ cấu trúc hệ thống trên hình 1b về sơ đồ
cấu trúc tương đương trên hình 2.
ii
q
p
k1
k
k
86
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG
Số 21, Tháng 5 – 2020
p y
i i
2
a
p y
ij
j
i i
j
q p
i
i
2 2
p y
p y
i i
i i
a
ij
j
j
q p
q p
i
i
i
i
p
2
i
p 1
y
i
i
q p
i
i
2p
i
1
y
a
.
i
ij j
q p
i
j
i
i
2
1
a
ij j
q p
j
i
i
Đặt:
a
ii
Khi đó:
Hình 2. Sơ đồ cấu trúc tương đương hệ thống
2
p
2q p
2
i
i i
Dễ dàng chứng minh được mạch tuyến tính
thỏa mãn tính thụ động [1, tr.339-344]. Còn lại,
cần tìm điều kiện để mạch phản hồi cũng thỏa
mãn tính chất đó, nói cách khác, cần đảm bảo
điều kiện sau:
y
a
i
ij j
q p
q p
j
i
i
i
i
2
n
1
Q
a
i1
ij j
q p
j
i
i
n
2
n
p y y a
i i
i
ij j
i1
j
u
(12)
i1
2
n
n
n
1
Theo sơ đồ cấu trúc, ta có:
a
y a
.
ij j
i ij j
n
q p
i1
j
i1 j1
i
i
u
aiji aiii p y
aijj pi yi ,
i
i
Biến đổi từng phần của tổng trên:
ji
j1
1
n
n
n
n
i
.
y
a y
a
y y ,
ij i j
ij
i j
qi pi
y
i1 j1
i1 j1
i
Xét tổng:
2
n
1
a
ij j
q p
i1
j
a p y
i
i
ij
j
i i
j
n
a
a
Q
u y
i i
n
n
n
j
j
ki kj
i
i1
i
y y
.
1
i j
y
a p y
y
y
q
p
i1 j1
k1
i
ij
j
i i
i
k
k
q p
j
i
i
Như vậy cuối cùng:
2
1
n
n
n
akiakj
j
y
a
a
i
ij j
ij j
Q
t
a t
y y ,
i q p
ij
i
j
q p
i
j
i
i
i1 j1
k1
k
k
Trong đó:
tj
, j 1,..., n.
yj
87
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG
Trần Lưu Cường
Chú ý rằng tj là các biến thức thay đổi
trong khoảng xác định với các giá trị biên
khác nhau tùy ý theo các giá trị của I, j. Do
là xác định âm thì chỉ cần ma trận
A a xác định âm là đủ.
ij
Kết quả này tương đương với kết quả
n
n
nên để Q> 0, yi, yj ma
j
Q
l y y
nghiên cứu trong [3, tr.33-40].
ij
i
i1 j1
Chứng minh tiêu chuẩn 3: Với các ký hiệu
trận L phải là xác định âm, đó là điều phải
chứng minh.
*
ij
trên ta luôn có
với mọi tj, j = 1, ..., n,
l l
ij
trong giới hạn cho trước nên điều kiện ma trận
L* xác định âm là đủ để ma trận L xác định âm.
3. KẾT LUẬN
Chứng minh tiêu chuẩn 1:
Khi
, (các nơron độc lập với
a 0, i j
ij
nhau) thì theo (8)
Bài viết đã phát triển mô hình lớp mạng
nơron Hopfield với các khái niệm về lớp mạng
nơron mở rộng và mạng nơron mở rộng bất
định, cùng các khái niệm về ổn định tuyệt đối
và ổn định tuyệt đối bền vững tương ứng. Trên
cơ sở lý thuyết tính thụ động, một phương pháp
đánh giá ổn định các lớp mạng như vậy đã
được đề ra. Ưu điểm của phương pháp đề ra
được thể hiện rõ nét ở nhiều mặt như tính tổng
quát cao, chứa đựng nhiều lớp mạng nơron
thông dụng và có thể hiện đồ họa tiện lợi...
ai2i
qi pi
ai2i
(13)
l t a t
i
ii
ii
i
Để ý rằng
nên để
với
l 0
0
ij
q pi
i
ti thì điều kiện (1) cần thỏa mãn.
Chứng minh tiêu chuẩn 2: Lúc này, một
1
s c
mặt ở các mạch tuyến tính
nên p =
G (s)
i
0, q = , mặt khác ở các mạch phản hồi mờ phi
tuyến có tính chất 0 i ti i nên để ma
trận L, với
ij (14)
l tja
ij
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Calcev G., Goez R., De Negen M., (1998), Passitivity approach to fuzzy control system,
Automatica34(3).
[2] Cichocki A., Unbehauen R., (1993), Neuron Networks for Optimization and Signal Processing,
New-York, John Wiley and Sons.
[3]Dudnikov E.E., Rybashov M.V. (1999), Để ổn định mạng lưới tuyệt đối mạng rơnon với các
liên hệ ngược, Automatika i Telemekhanika 12.
[4] Hill D.J., Moylan P.J. (1977), Stability results for nonlinear feedback systems, Automatica.
[5]Hopfield J.J (1984), Neurons with graded response have collective computational properties
like those of two-state neurons, Proc. of the NAS USA81.
Ngày nhận bài: 28-11-2019. Ngày biên tập xong: 11-5-2020. Duyệt đăng: 26-5-2020
88
5 trang
17940
Free
Bạn đang xem tài liệu "Ổn định tuyệt đối mạng nơron mờ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- on_dinh_tuyet_doi_mang_noron_mo.pdf
