Giáo trình C++ - Chương 7: Một số vấn đề về đa thức và hàm số

Ch−¬ng 7 : mét sè vÊn ®Ò vÒ ®a thøc vµ hµm sè

§1. Mét sè kh¸i niÖm chung

1. Kh¸i niÖm vÒ ph−¬ng ph¸p tÝnh : Ph−¬ng ph¸p tÝnh lµ m«n häc vÒ nh÷ng lÝ luËn c¬ b¶n

vµ c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i gÇn ®óng,cho ra kÕt qu¶ b»ng sè cña c¸c bµi to¸n th−êng gÆp trong

to¸n häc còng nh− trong kÜ thuËt.

Chóng ta thÊy r»ng hÇu hÕt c¸c bµi to¸n trong to¸n häc nh− gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹i

sè hay siªu viÖt,c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh hay phi tuyÕn,c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n

th−êng hay ®¹o hµm riªng,tÝnh c¸c tÝch ph©n,... th−êng khã gi¶i ®óng ®−îc,nghÜa lµ khã t×m

kÕt qu¶ d−íi d¹ng c¸c biÓu thøc.

Mét sè bµi to¸n cã thÓ gi¶i ®óng ®−îc nh−ng biÓu thøc kÕt qu¶ l¹i cång kÒnh,phøc

t¹p khèi l−îng tÝnh to¸n rÊt lín.V× nh÷ng lÝ do trªn,viÑc gi¶i gÇn ®óng c¸c bµi to¸n lµ v«

cïng cÇn thiÕt.

C¸c bµi to¸n trong kÜ thuËt th−êng dùa trªn sè liÖu thùc nghiÖm vµ c¸c gi¶ thiÕt gÇn

®óng.Do vËy viÖc t×m ra kÕt qu¶ gÇn ®óng víi sai sè cho phÐp lµ hoµn toµn cã ý nghÜa thùc

tÕ.

Tõ l©u ng−êi ta ®· nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p tÝnh vµ ®¹t nhiÒu kÕt qu¶ ®¸ng kÓ. Tuy

nhiªn ®Ó lêi gi¶i ®¹t ®−îc ®é chÝnh x¸c cao,khèi l−îng tÝnh to¸n th−êng rÊt lín.Víi c¸c

ph−¬ng tiÖn tÝnh to¸n th« s¬,nhiÒu ph−¬ng ph¸p tÝnh ®· ®−îc ®Ò xuÊt kh«ng thÓ thùc hiÖn

®−îc v× khèi l−îng tÝnh to¸n qu¸ lín.Khã kh¨n trªn ®· lµm ph−¬ng ph¸p tÝnh kh«ng ph¸t

triÓn ®−îc.

Ngµy nay nhê m¸y tÝnh ®iÖn tö ng−êi ta ®· gi¶i rÊt nhanh c¸c bµi to¸n khæng lå,phøc

t¹p,®· kiÓm nghiÖm ®−îc c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh cò vµ ®Ò ra c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh míi.

Ph−¬ng ph¸p tÝnh nhê ®ã ph¸t triÓn rÊt m¹nh mÏ.Nã lµ cÇu nèi gi÷a to¸n häc vµ thùc tiÔn.Nã

lµ m«n häc kh«ng thÓ thiÕu ®èi víi c¸c kÜ s−.

Ngoµi nhiÖmvô chÝnh cña ph−¬ng ph¸p tÝnh lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i gÇn ®óng

c¸c bµi to¸n,nã cßn cã nhiÖm vô kh¸c nh− nghiªn cøu tÝnh chÊt nghiÖm,nghiªn cøu bµi to¸n

cùc trÞ,xÊp xØ hµm v.v. Trong phÇn nµy chóng ta sÏ nghiªn cøu mét lo¹t bµi to¸n th−êng

gÆp trong thùc tÐ vµ ®−a ra ch−¬ng tr×nh gi¶i chóng.

2. C¸c ®Æc ®iÓm cña ph−¬ng ph¸p tÝnh : §Æc ®iÓm vÒ ph−¬ng ph¸p co¶ m«n häc nµy lµ h÷u

h¹n ho¸ vµ rêi r¹c ho¸.

Ph−¬ng ph¸p tÝnh th−êng biÕn c¸i v« h¹n thµnh c¸i h÷u h¹n,c¸i liªn tôc thµnh c¸i rêi

r¹c vµ sau cïng l¹i trë vÒ víi c¸i v« h¹n,c¸i liªn tôc.Nh−ng cÇn chó ý r»ng qu¸ tr×nh trë l¹i

c¸i v« h¹n,c¸i liªn tôc ph¶i tr¶ gi¸ ®¾t v× khèi l−îng tÝnh to¸n t¨ng lªn rÊt nhiÒu.Cho nªn

trong thùc tÕ ng−êi ta dõng l¹i khi nghiÖm gÇn ®óg s¸t víi nghiÖm ®óng ë mét møc ®é nµo

®ã.

§Æc diÓm thø hai cña m«n häc lµ sù tiÕn ®Õn kÕt qu¶ b»ng qu¸ tr×nh liªn tiÕp.§ã lµ

qu¸ tr×nh chia ngµy cµng nhá h¬n,cµng dµy ®Æc h¬n hoÆc qu¸ tr×nh tÝnh to¸n b−íc sau dùa

vµo c¸c kÕt qu¶ cña c¸c b−íc tr−íc.C«ng viÖc tÝnh to¸n lÆp ®i lÆp l¹i nµy rÊt thÝch hîp víi

m¸y ®iÖn to¸n.

Khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p tÝnh ng−êi ta th−êng triÖt ®Ó lîi dông c¸c kÕt qu¶ ®¹t

®−îc trong to¸n häc.Cïng mét bµi to¸n cã thÓ cã nhiÒu ph−¬ng ph¸p tÝnh kh¸c nhau.Mét

ph−¬ng ph¸p tÝnh ®−îc coi lµ tèt nÕu nã ®¹t c¸c yªu cÇu sau :

- ph−¬ng ph¸p tÝnh ®−îc biÓu diÔn b»ng mét d·y h÷u h¹n c¸c b−íc tÝnh cô thÓ.C¸c

b−íc tÝnh to¸n cô thÓ nµy cña ph−¬ng ph¸p tÝnh ®−îc gäi lµ thuËt to¸n. ThuËt to¸n cµng ®¬n

gi¶n cµng tèt.

- ®¸nh gi¸ ®−îc sai sè vµ sai sè cµng nhá cµng tèt.

- thuËt to¸n thùc hiÖn ®−îc trªn m¸y ®iÖn to¸n vµ thêi gian ch¹y m¸y Ýt nhÊt

78

3. C¸c lo¹i sai sè : Trong viÖc thiÕtlËp vµ gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ ta th−êng gÆp c¸c lo¹i sai

sè.

Gi¶ sö ta xÐt bµi to¸n A nµo ®ã.Nghiªn cøu c¸c quy luËt liªn hÖ gi÷a c¸c ®¹i l−îng

trong bµi to¸n ®Én ®Õn ph−¬ng tr×nh cã d¹ng tæng qu¸t :

y = Bx

Trong ®ã : x - ®¹i l−îng ®· biÕt

y - ®¹i l−îng ch−a biÕt

B - quy luËt biÐn ®æi tõ x sang y

Bµi to¸n thùc tÕ th−êng rÊt phøc t¹p.§Ó ®¬n gi¶n vµ cã thÓ diÔn ®¹t nã b»ng to¸n

häc,ng−êi ta ®−a ra mét sè gi¶ thiÕt kh«ng hoµn toµn chÝnh x¸c ®Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh

trªn.

V× vËy nÕu gäi y₁lµ gi¸ trÞ ®óng cña y th× khi ®ã y ≠ y₁. Gi¸ trÞ | y - y₁| ®−îc gäi lµ sai

sè gi¶ thiÕt cña bµi to¸n.

Do x lµ sè liÖu ban ®Çu cña bµi to¸n,thu ®−îc tõ ®o l−êng,thÝ nghiÖm nªn nã chØ lµ gi¸

trÞ gÇn ®óng.Sai sè nµy ®−îc gäi lµ sai sè cña c¸c sè liÖu ban ®Çu.

§Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh trªn ta th−êng thay B b»ng C hay x b»ng t ®Ó ph−¬ng

tr×nh ®¬n gi¶n h¬n vµ cã thÓ gi¶i ®−îc.B»ng c¸ch ®ã ta t×m ®−îc y₂gÇn ®óng víi y.Gi¸ trÞ |

y₂- y| ®−îc gäi lµ sai sè ph−¬ng ph¸p cña bµi to¸n.

Cuèi cïng khi thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh ta th−êng thu gän c¸c kÕt qu¶ trung gian hay

kÕt qu¶ cuèi cïng nªn ®¸p sè cña bµi to¸n lµ y₃.Gi¸ trÞ | y₃- y | lµ sai sè tÝnh to¸n.

Trong phÇn nµy chóng ta quan t©m tíi sai sè ph−¬ng ph¸p.

4. XÊp xØ vµ héi tô : XÐt bµi to¸n

y = Bx

Gi¶ sö y lµ nghiÖm ®óng cña bµi to¸n mµ ta ch−a biÕt.B»ng ph−¬ng ph¸p nµo ®ã ta

lÊy y₁thay cho y vµ khi ®ã y₁gäi lµ xÊp xØ thø nhÊt cña nghiÖm vµ viÕt :

y₁≈ y

Còng b»ng ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù,ta x©y dùng ®−îc mét d·y c¸c xÊp xØ y₁,y₂,y₃,..y_n.NÕu ta

cã :

=

y y

lim

n

n→∞

th× ta nãi d·y xÊp xØ héi tô tíi nghiÖm y.

§2. TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc theo s¬ ®å Horner

1. S¬ ®å Horner : Gi¶ sö chóng ta cÇn t×m gi¸ trÞ cña mét ®a thøc tæng qu¸t d¹ng :

P(x) = a₀xⁿ+ a₁x^{n - 1}+ a₂x^{n - 2}+....+ a_n

(1)

t¹i mét trÞ sè x nµo ®ã. Trong (1) c¸c hÖ sè a_ilµ c¸c sè thùc ®· cho. Chóng ta viÕt l¹i (1) theo

thuËt to¸n Horner d−íi d¹ng :

P(x_o) = (...((a₀x + a₁)x+ a₂x)+...+ a_{n -1})x + a_n

Tõ (2) ta nhËn thÊy :

(2)

P₀= a₀

P₁= P₀x + a₁

P₂= P₁x + a₂

P₃= P₂x + a₃

..................

P(x) = P_n= P_n-1x + a_n

Tæng qu¸t ta cã :

P_k= P_k-1x + a_kvíi k =1,2...n ; P₀= a₀

79

Do chóng ta chØ quan t©m ®Õn trÞ sè cña P_nnªn trong c¸c c«ng thøc truy håi vÒ sau

chóng ta sÏ bá qua chØ sè k cña P vµ viÕt gän P := Px + ak víi k = 0...n.Khi ta tÝnh tíi k = n

th× P chÝnh lµ gi¸ trÞ cÇn t×m cña ®a thøc khi ®· cho x. Chóng ta thö c¸c b−íc tÝnh nh− sau :

Ban ®Çu

B−íc 0

B−íc 1

B−íc 2

P = 0

P = a_o

k = 0

k = 1

k = 2

P = a_ox + a₁

P = (a_ox + a₁)x + a₂

.................................

B−íc n-1

B−íc n

k = n - 1

k = n

P = P(x_o) = (...((a_ox + a₁)x+a₂x)+...+a_n-1)x

P = P(x_o) = (...((a_ox + a₁)x+a₂x)+...+a_n-1)x + a_n

Sau ®©y lµ ch−¬ng tr×nh thùc hiªn thuËt to¸n trªn

Ch−¬ng tr×nh 7-1

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#define m 10

void main(void)

{

int k,n;

float p,x;

float a[m];

clrscr();

printf("\nCho bac cua da thuc n = ");

scanf("\%d",&n);

printf("Vao cac he so a:\n");

for (k=1;k<=n+1;k++)

{

printf("a[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&a[k]);

};

printf("Cho gia tri x = ");

scanf("%f",&x);

p=0.0;

for (k=1;k<=n+1;k++)

p=p*x+a[k];

printf("Tri so cua da thuc P tai x =%.2f la :%.5f",x,p);

getch();

}

2. S¬ ®å Horner tæng qu¸t : Gi¶ sö chóng ta cã ®a thøc :

P_n(x) = a₀xⁿ+ a₁x^{n - 1}+ a₂x^{n - 2}+....+ a_n

(1)

(3)

Khai triÓn Taylor cña ®a thøc t¹i x = x_ocã d¹ng :

P⁽ⁿ⁾(x₀)

2!

′

′′

P (x₀)

P_n(x) = P_n(x₀) +

(x − x₀) +

(x − x₀)²+ ⋅⋅⋅ +

(x − x₀)ⁿ

(2)

1!

2!

MÆt kh¸c chóng ta cã thÓ biÕn ®æi ®a thøc vÒ d¹ng :

P_n(x) = (x - x_o)P_n-1(x) + P_n(x_o)

80

Trong ®ã P_n-1(x) lµ ®a thøc bËc n-1 vµ cã d¹ng :

P_n-1(x) = b_ox^n-1+ b_o-1x^{n - 2}+ b₂x^{n - 3}+....+ b_n-1

(4)

ThuËt to¸n ®Ó t×m c¸c hÖ sè nhËn ®−îc b»ng c¸ch so s¸nh (1) vµ (3) :

b_o= a_o

b_i= a_i+ b_i-1x_o

b_n= P_n(x_o)

So s¸nh (2) vµ (3) ta cã :

′

′′

P (x₀)

(x − x₀)P_n−1(x₀) + P_n(x₀) = P_n(x₀) +

(x − x₀) +

(x − x₀)²

1!

2!

P⁽ⁿ⁾(x₀)

+ ⋅⋅⋅ +

(x − x₀)ⁿ

2!

hay :

P (x₀)

P⁽ⁿ⁾(x₀)

2!

′

′′

P (x₀)

2!

(x − x₀)P_n−1(x) =

(x − x₀) +

(x − x₀)²+ ⋅⋅⋅ +

(x − x₀)ⁿ

1!

vµ khi chia hai vÕ cho (x - x₀) ta nhËn ®−îc :

′

′′

P (x₀) P (x₀)

P⁽ⁿ⁾(x₀)

P_n−1(x) =

+

(x − x₀) + ⋅⋅⋅ +

(x − x₀)ⁿ⁻¹

(5)

1!

2!

So s¸nh (4) vµ (5) ta nhËn ®−îc kÕt qu¶ :

′

P (x₀)

P_n−1(x₀) =

1!

Trong ®ã P_n-1(x) l¹i cã thÓ ph©n tÝch gièng nh− P_n(x) d¹ng (3) ®Ó t×m ra P_n-1(x_o).Qu¸

tr×nh nµy ®−îc tiÕp tôc cho ®Õn khi ta t×m hÕt c¸c hÖ sè cña chuçi Taylor cña P_n(x)

Tæng qu¸t thuËt to¸n thÓ hiÖn ë b¶ng sau :

P_n(x)

a_oa₁

a₂

a₃

...

a_n-1

a_n

x = x_o0 b_ox_ob₁x_ob₂x_o

b_n-2x_ob_n-1x_o

P_n-1(x) b_ob₁

b₂

b₃

...

b_n-1b_n= P_n(x_o)

§Ó hiÓu râ h¬n chóng ta lÊy mét vÝ dô cô thÓ sau : Khai triÓn ®a thøc sau t¹i x₀= 2

P(x) = x⁵- 2x⁴+ x³-5x + 4

Ta lËp b¶ng tÝnh sau :

1 -2

2

1

0

2

-5

4

2

2 0

1

0

2

1

4

2

10

-1

24

2 = P(2)/0!

2

1

0

2

5

8

12

26

23 = P'(2)/1!

1

0

4

2

13

12

38 = P"(2)/2!

1

0

6

2

25 = P"'(2)/3!

1

8 = P""(2)/4!

81

2

0

1 = P""'(2)/4!

Nh− vËy :

P_n(x) = (x-2)⁵+ 8(x-2)⁴+25(x-2)³+ 38(x-2)²+ 23(x-2) + 2

Ch−¬ng tr×nh sau dïng ®Ó x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña chuçi Taylor cña ®a thøc P(x) t¹i x₀

= 2.

Ch−¬ng tr×nh 7-2

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#define m 10

void main(void)

{

float a[m],b[m],c[m];

int n,i,j,k;

float x;

clrscr();

printf("Cho bac cua da thuc n = ");

scanf("%d",&n);

printf("Cho gia tri x = ");

scanf("%f",&x);

printf("Vao cac he so a\n");

for (k=n;k>=0;k--)

{

printf("a[%d] = ",n-k);

scanf("%f",&a[k]);

}

printf("\n");

b[n] = a[n];

c[n] = a[n];

for (k=0;k<=n-1;k++)

{

for (i=n-1;i>=k;i--)

b[i] = b[i+1]*x + a[i];

c[k] = b[k];

for (j=n;j>=k+1;j--)

a[j] = b[j];

}

printf("\nSo do Horner tong quat");

printf("\nKhai trien tai x = %.4f\n",x);

for (k=n;k>=0;k--)

printf("%10.4f\t",c[k]);

getch();

}

82

§3. C¸c phÐp tÝnh trªn ®a thøc

1. PhÐp céng hai ®a thøc : Gi¶ sö chóng ta cã hai ®a thøc A(x) bËc n vµ B(x) bËc m víi

n>m. Khi céng hai ®a thøc nµy,chóng ta céng lÇn l−ît c¸c hÖ sè cïng bËc cña chóng víi

nhau.Ta cã ch−¬ng tr×nh sau :

Ch−¬ng tr×nh 7-3

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#define t 10

void main(void)

{

int k,n,m;

float a[t],b[t],c[t];

clrscr();

printf("Cho bac cua da thuc A n = ");

scanf("%d",&n);

printf("Vao cac he so a\n");

for (k=1;k<=n+1;k++)

{

printf("a[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&a[k]);

}

printf("Cho bac cua da thuc B m = ");

scanf("%d",&m);

printf("Vao cac he so b\n");

for (k=1;k<=m+1;k++)

{

printf("b[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&b[k]);

}

printf("\n");

for (k=1;k<=n+1;k++)

if (k<=n-m)

c[k] = a[k];

else

c[k] = a[k] + b[k-n+m];

printf("Cac he so cua da thuc tong C la :\n");

for (k=1;k<=n+1;k++)

printf("%.4f\t",c[k]);

getch();

}

83

A(x) = a_ox⁵+ a₁x⁴+ a₂x³+ a₃x²+ a₄x + a₅

B(x) = b_ox³+ b₁x²+ b₂x + b₃

C(x) = A(x).B(x)

= a_ob_ox⁸+ (a_ob₁+ a₁b_o)x⁷+( a_ob₂+ a₁b₁+ a₂b_o)x⁶+ (a_ob₃+ a₁b₂+ a₂b₁+ a₃b_o)x⁵

+ (a₁b₃+ a₂b₂+ a₃b₁+ a₄b_o)x⁴+ (a₂b₃+ a₃b₂+ a₄b₁+ a₅b_o)x³+ ( a₃b₃+ a₄b₂+ a₅b₁)x²

+ a₅b₂x + a₅b₃

C¸c hÖ sè cña ®a thøc kÕt qu¶ lµ :

C_o= a_ob_o

C₁= a_ob₁+ a₁b_o

C₂= a_ob₂+ a₁b₁+ a₂b_o

C₃= a_ob₃+ a₁b₂+ a₂b₁+ a₃b_o

C₄= a₁b₃+ a₂b₂+ a₃b₁+ a₄b_o

C₅= a₂b₃+ a₃b₂+ a₄b₁+ a₅b_o

C₆= a₃b₃+ a₄b₂+ a₅b₁

C₇= a₅b₂

C₈= a₅b₃

Ta nhËn thÊy lµ hÖ sè C_kcña C(x) lµ tæng c¸c tÝch c¸c hÖ sè cña ®¬n thøc bËc i cña A(x) vµ

bËc (k-i) cña B(x). ChØ sè i = 0 khi k <= m+1 vµ i = k+m khi k > m+1.ChØ sè j

= k khi k <= n+1 vµ j = n +1 khi k > n + 1. Ch−¬ng tr×nh tÝnh tÝch hai ®a thøc :

Ch−¬ng tr×nh 7-4

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#define t 10

void main()

{

int k,n,m,l,i,j,p;

float a[t],b[t],c[2*t];

clrscr();

printf("Cho bac cua da thuc A n = ");

scanf("%d",&n);

printf("Vao cac he so a\n");

for (k=1;k<=n+1;k++)

{

printf("a[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&a[k]);

}

printf("Cho bac cua da thuc B m = ");

scanf("%d",&m);

printf("Vao cac he so b\n");

for (k=1;k<=m+1;k++)

{

printf("b[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&b[k]);

}

printf("\n");

l=n+m;

84

for (k=1;k<=l+1;k++)

{

if (k<=(n+1))

j=k;

else

j=n+1;

if (k<=(m+1))

p=1;

else

p= k-m;

c[k]=0;

for (i=p;i<=j;i++)

c[k] = c[k] + a[i]*b[k-i+1];

}

printf("Cac he so cua da thuc tich C voi bac %d la :\n",l);

for (k=1;k<=l+1;k++)

printf("%.4f\t",c[k]);

getch();

}

3. Chia hai ®a thøc : Gi¶ sö ta cã hai ®a thøc lµ A_n(x) vµ B_m(x) víi n ≥ m.Th−¬ng hai ®a

thøc nµy lµ :

A_n(x)

B_m(x)

R_m−1(x)

B_m(x)

= Q_n−m(x) +

Ch−¬ng tr×nh sau thùc hiÖn viÖc chia 2 ®a thøc :

Ch−¬ng tr×nh 7-5

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#define t 10

void main()

{

int k,n,m,l,i,j,jp;

float a[t],b[t],q[t],r[t],epsi;

clrscr();

printf("Cho bac cua da thuc A n = ");

scanf("%d",&n);

printf("Vao cac he so a\n");

for (k=1;k<=n+1;k++)

{

printf("a[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&a[k]);

}

printf("\n");

printf("Cho bac cua da thuc B m = ");

scanf("%d",&m);

85

printf("Vao cac he so b\n");

for (k=1;k<=m+1;k++)

{

printf("b[%d] = ",k-1);

scanf("%f",&b[k]);

}

printf("\n");

printf("Cho gia tri sai so epsilon epsi = ");

scanf("%f",&epsi);

if ((m+1)>1)

{

l=n-m+1;

for (i=0;i<=t;i++)

r[i]=a[i];

j=n;

for (k=1;k<=l;k++)

{

q[k]=r[1]/b[1];

for (i=1;i<=j;i++)

if ((i<m+1))

r[i]=r[i+1]-q[k]*b[i+1];

else

r[i]=r[i+1];

j=j-1;

}

while ((abs(r[i])<epsi)&&(j>0))

{

for (i=1;i<=j;i++)

r[i]=r[i+1];

j=j-1;

}

if (abs(r[1])<epsi)

r[1]=0.0;

jp=j+1;

}

else

{

l=n+1;

for (k=1;k<=l;k++)

q[k]=a[k]/b[1];

jp=1;

r[1]=0.0;

}

printf("\n");

printf("Cac he so cua thuong Q(x) bac %d la : ",l);

for (k=1;k<=l;k++)

printf("%.3f\t",q[k]);

printf("\n");

printf("Cac he so cua phan du R(x) bac %d la : ",jp-1);

for (k=1;k<=jp;k++)

86

printf("%.3f",r[k]);

getch();

}

87