Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và thuật toán - Chương 7: Đồ thị và các thuật toán đồ thị - Nguyễn Đức Nghĩa
CHƯƠNG 7
Đồ thị và các thuật toán đồ thị
HCM
HAN
HP
DAN
NỘI DUNG
1. Đồ thị
Đồ thị vô hướng, Đồ thị có hướng,Tính liên thông của đồ thị
2. Biểu diễn đồ thị
Biểu diễn đồ thị bởi ma trận, Danh sách kề, Danh sách cạnh
3. Các thuật toán duyệt đồ thị
Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng
4. Một số ứng dụng của tìm kiếm trên đồ thị
Bài toán đường đi, Bài toán liên thông,
Đồ thị không chứa chu trình và bài toán sắp xếp tôpô, Bài toán tô màu đỉnh đồ thị
5. Bài toán cây khung nhỏ nhất
Thuật toán Kruscal, Cấu trúc dữ liệu biểu diễn phân hoạch,
6. Bài toán đường đi ngắn nhất
Thuật toán Dijkstra, Cài đặt thuật toán với các cấu trúc dữ liệu
2
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
1. Đồ thị
Đồ thị là cặp (V, E), trong đó
V là tập đỉnh
E là họ các cặp đỉnh gọi là các cạnh
Ví dụ:
Các đỉnh là các sân bay
Các cạnh thể hiện đường bay nối hai sân bay
Các số trên cạnh có thể là chi phí (thời gian, khoảng cách)
DBP
DAN
HAP
HCM
HAN
BKK
NHT
VIN
3
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Các kiểu cạnh
Cạnh có hướng (Directed edge)
flight
VN 426
Cặp có thứ tự gồm hai đỉnh (u,v)
Đỉnh u là đỉnh đầu
HAN
HAN
HCM
HCM
Đỉnh v là đỉnh cuối
Ví dụ, chuyến bay
1135
km
Cạnh vô hướng (Undirected edge)
Cặp không có thứ tự gồm 2 đỉnh (u,v)
Ví dụ, tuyến bay
Đồ thị có hướng (digraph)
Các cạnh có hướng
Ví dụ, mạng truyền tin
Đồ thị vô hướng (Undirected graph/graph)
Các cạnh không có hướng
Ví dụ, mạng tuyến bay
4
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ứng dụng
Phò ng má y 1 Phò ng má y 2
Mạch lôgic (Electronic circuits)
Mạch in
Phò ng hành chí nh
Mạch tích hợp
Mạng giao thông (Transportation
networks)
Mạng xa lộ
Phòng Giáo vụ
Mạng tuyến bay
Mạng máy tính (Computer
networks)
Mạng cục bộ
Trường ĐHQG
Ban Giám đốc
Phòng Tuyên huấn
Internet
Web
Cơ sở dữ liệu (Databases)
Tổ Tin
Sơ đồ quan hệ thực thể
Bờm
(Entity-relationship diagram)
Cuội
Chị Hằng
5
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Thuật ngữ
Đầu mút của cạnh
U và V là các đầu mút của cạnh a
V
Cạnh kề với đỉnh
a
c
b
e
a, d, và b kề với đỉnh V
Đỉnh kề
U và V là kề nhau
Bậc của đỉnh
X có bậc 5
h
i
j
U
d
X
Z
W
g
Y
Cạnh lặp
h và i là các cạnh lặp
f
Khuyên
j là khuyên
Đơn đồ thị: Không chứa cạnh lặp và khuyên
6
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Thuật ngữ (tiếp tục)
Đường đi
Dãy các đỉnh (hoặc dãy các cạnh), trong đó hai đỉnh
liên tiếp là có cạnh nối:
P: s = v0, v1, ..., vk-1, vk = t,
(vi-1, vi) là cạnh của đồ thị, i=1, 2, ..., k.
Độ dài của đường đi là số cạnh trên đường đi (k).
s - đỉnh đầu và t - đỉnh cuối của đường đi P
Đường đi đơn
Các đỉnh trên đường đi là phân biệt
7
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Thuật ngữ (tiếp tục)
V
b
a
c
P1
X
d
P2
U
Z
h
e
W
g
Y
f
Ví dụ
P1= V,X,Z (dãy cạnh: b, h) là đường đi đơn
P2= U,W,X,Y,W,V) (P2=c,e,g,f,d) là đường đi nhưng
không là đơn
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
8
Thuật ngữ (tiếp)
Chu trì nh
Đường đi gồm các cạnh
phân biệt có đỉnh đầu trùng
đỉnh cuối
V
a
c
b
Chu trình đơn
Ngoại trừ đầu trùng cuối,
không còn hai đỉnh nào
giống nhau
d
C2
U
X
Y
Z
h
C1
e
Ví dụ
W
g
C1= V,X,Y,W,U là CT đơn
C2=U,W,X,Y,W,V là chu trinh
f
không là đơn
9
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Tính chất
Tính chất 1
Ký hiệu
n
m
số đỉnh
số cạnh
Sv deg(v) = 2m
CM: mỗi cạnh được đếm 2 lần
Tính chất 2
deg(v) bậc của đỉnh v
Trong đơn đồ thị vô hướng (đồ
thị không có cạnh lặp và
khuyên)
m n (n - 1)/2
CM: mỗi đỉnh có bậc không
quá (n - 1)
Ví dụ
n = 4
m = 6
deg(v) = 3
Tương tự có những cận cho
đồ thị có hướng
10
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Graph ADT
Các phép toán cơ bản (Basic Graph operations)
khởi tạo/create (số đỉnh, isDirected)
huỷ/destroy
nhận số cạnh / get number of edges
nhận số đỉnh / get number of vertices
cho biết đồ thị là có hướng hay vô hướng / tell whether graph
is directed or undirected
bổ sung cạnh / insert an edge
loại bỏ cạnh / remove an edge
có cạnh nối giữa hai đỉnh / tell whether an edge exists between
two vertices
duyệt các đỉnh kề của một đỉnh cho trước / An iterator that
Nguyễn ĐứcpNrgohĩcae-sBsộ amlôlnvKeHrMtTicĐeHsBKaHdNjacent to a given vertex
11
Các bài toán xử lý đồ thị
Tính giá trị của một số đặc trưng số của đồ thị (số liên thông,
sắc số, ...)
Tìm một số tập con cạnh đặc biệt (chẳng hạn, cặp ghép, bè,
chu trình, cây khung, ...)
Tìm một số tập con đỉnh đặc biệt (chẳng hạn, phủ đỉnh, phủ
cạnh, tập độc lập,...)
Trả lời truy vấn về một số tính chất của đồ thị (liên thông,
phẳng, ...)
Các bài toán tối ưu trên đồ thị: Cây khung nhỏ nhất, đường
đi ngắn nhất, luồng cực đại trong mạng, ...
...
12
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
2 Biểu diễn đồ thị
13
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
2. Biểu diễn đồ thị
Có nhiều cách biểu diễn,
Việc lựa chọn cách biểu diễn phụ thuộc vào từng bài toán cụ
thể cần xét, từng thuật toán cụ thể cần cài đặt.
Có hai vấn đề chính cần quan tâm khi lựa chọn cách biểu
diễn:
Bộ nhớ mà cách biểu diễn đó đòi hỏi
Thời gian cần thiết để trả lời các truy vấn thường xuyên
đối với đồ thị trong quá trình xử lý đồ thị:
Chẳng hạn:
Có cạnh nối hai đỉnh u, v ?
Liệt kê các đỉnh kề của đỉnh v ?
14
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ma trận kề (Adjacency Matrix)
n n ma trận A.
Các đỉnh được đánh số từ 1 đến |V| theo 1
thứ tự nào đó.
1 nÕu (i, j) E
A[i, j] = a =
A xác định bởi:
ij
0 nÕu tr¸i l¹i
1
3
2
1
2
1 2 3 4
1 0 1 1 1
2 0 0 1 0
3 0 0 0 1
4 0 0 0 0
1 2 3 4
1 0 1 1 1
2 1 0 1 0
3 1 1 0 1
4 1 0 1 0
a
c
b
a
c
b
d
d
4
3
4
A = AT đối với đồ thị vô hướng.
15
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ma trận kề
Chú ý về sử dụng ma trận kề:
Dòng toàn không ~đỉnh cô lập.
M[i, i] = 1 khuyên (self-loop)
Bộ nhớ (Space)
|V |2 bits
Các thông tin bổ sung, chẳng hạn chi phí trên cạnh, cần được cất
giữ dưới dạng ma trận.
Thời gian trả lời các truy vấn
Hai đỉnh i và j có kề nhau? O(1)
Bổ sung hoặc loại bỏ cạnh
O(1)
Bổ sung đỉnh:
tăng kích thước ma trận
Liệt kê các đỉnh kề của v :
O(|V|) (ngay cả khi v là đỉnh cô lập).
16
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ma trận trọng số
Trong trường hợp đồ thị có trọng số trên cạnh, thay vì ma
trận kề, để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số
C = c[i, j], i, j = 1, 2,..., n,
víi
c(i, j), nÕu (i, j) E
c[i, j] =
,
nÕu (i, j) E,
trong ®ã lµ gi¸ trÞ ®Æc biÖt ®Ó chØ ra mét cÆp (i,j) kh«ng lµ
c¹nh, tuú tõng tr-êng hîp cô thÓ, cã thÓ ®-îc ®Æt b»ng mét
trong c¸c gi¸ trÞ sau: 0, +, -.
17
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ma trận trọng số
Ví dụ
5 3 6
1
3
8
5
6
8
2
A = 6
5
8
6
2 7
7
3
8
2
4
18
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Danh sách kề (Adjacency List)
Danh sá ch kề: Với mỗi đỉnh v cất giữ danh
sá ch cá c đỉnh kề của nó .
Là mảng Adj gồm |V| danh sá ch.
Mỗi đỉnh có một danh sách.
Với mỗi u V, Adj[u] bao gồm tất cả các đỉnh kề của u.
Ví dụ
Đồ thị vô hướng
Đồ thị có hướng
v
u
u
z
w
w
v
u
v
w
x
y
z
b
e
b
c
a
b
c
d
e
f
y
v
x
b
f
t
19
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Biểu diễn đồ thị bởi danh sách kề
Yêu cầu bộ nhớ:
Đối với đồ thị có hướng:
Tổng số phần tử trong tất cả các danh sách kề là
out-degree(v) = |E | (out-degree(v) – số cung đi ra khỏi v)
vV
Tổng cộng bộ nhớ: (|V |+|E |)
Đối với đồ thị vô hướng:
Tổng số phần tử trong tất cả các danh sách kề là
degree(v) = 2|E |
(degree(v) – số cạnh kề với v)
vV
Tổng cộng bộ nhớ: (|V |+|E |)
20
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Biểu diễn đồ thị bởi danh sách kề
Bộ nhớ (Space):
O(|V| + |E|)
Thường là nhỏ hơn nhiều so với |V|2, nhất là đối với đồ thị thưa
(sparse graph) – là đồ thị mà |E| = k |V| với k < 10.
Thời gian trả lời các truy vấn:
Thêm cạnh
Xoá cạnh
Thêm đỉnh
O(1)
Duyệt qua danh sách kề của mỗi đầu mút.
Phụ thuộc vào cài đặt.
Liệt kê các đỉnh kề của v: O(<số đỉnh kề>) (tốt hơn ma trận kề)
Tìm kiếm trên danh sách:
Hai đỉnh i, j có kề nhau?
(degree(u)). Đánh giá trong tình huống tồi nhất là O(|V |) => khô ng
hiệu quả (tồi hơn ma trận kề)
21
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Danh sách cạnh (Edge List)
Với mỗi cạnh e = (u, v) cất giữ
dau[e]= u , cuoi[e] = v
Nếu đồ thị có trọng số trên cạnh, thì cần có
thêm một biến cất giữ c[e]
Đây là cách chuẩn bị dữ liệu cho các đồ thị
thực tế
22
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Danh sách cạnh
e
1
2
3
4
5
6
7
8
dau[e] cuoi[e]
c[e]
6
1
1
5
4
1
1
4
2
3
5
1
5
4
2
3
3
2
8
5
8
6
2
7
3
5
8
3
6
7
5
3
2
2
4
8
6
23
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Đánh giá thời gian thực hiện các thao tác
n đỉnh, m cạnh
đơn đồ thị vô hướng
Edge
List
Adjacency
List
Adjacency
Matrix
n + m
n + m
deg(v)
n2
n
Bộ nhớ
incidentEdges(v)
areAdjacent (v, w)
insertVertex(o)
insertEdge(v, w, o)
removeVertex(v)
removeEdge(e)
m
m min(deg(v), deg(w))
1
n2
1
1
1
1
deg(v)
1
1
m
1
n2
1
24
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
3. Các thuật toán duyệt đồ thị
Graph Searching
25
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Duyệt đồ thị
Ta gọi duyệt đồ thị (Graph Searching hoặc Graph Traversal)
là việc duyệt qua mỗi đỉnh và mỗi cạnh của đồ thị.
Ứng dụng:
Xây dựng các thuật toán khảo sát các tính chất của đồ thị;
Là thành phần cơ bản của nhiều thuật toán.
Cần xây dựng thuật toán hiệu quả để thực hiện việc duyệt đồ
thị. Ta xét hai thuật toán duyệt cơ bản:
Tìm kiếm theo chiều rộng (Breadth First Search – BFS)
Tìm kiếm theo chiều sâu (Depth First Search – DFS)
26
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ý tưởng chung
Trong quá trình thực hiện thuật toán, mỗi đỉnh ở một trong
ba trạng thái:
Chưa thăm (thể hiện bởi màu trắng),
Đã thăm nhưng chưa duyệt xong (thể hiện bởi màu xám)
Đã duyệt xong (thể hiện bởi màu đen).
Quá trình duyệt được bắt đầu từ một đỉnh v nào đó. Ta sẽ
khảo sát các đỉnh đạt tới được từ v:
Thoạt đầu mỗi đỉnh đều có màu trắng (chưa thăm - not visited).
Đỉnh đã được thăm sẽ chuyển thành màu xám (trở thành đã thăm
nhưng chưa duyệt xong).
Khi tất cả các đỉnh kề của một đỉnh v là đã được thăm, đỉnh v sẽ có
màu đen (đã duyệt xong).
27
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng
(BFS algorithm)
28
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
BFS
Input: Đồ thị G = (V, E), có hướng hoặc vô hướng, và đỉnh xuất phát sV.
Output:
Với mọi v V
d[v] = khoảng cách từ s đến v.
[v] – đỉnh đi trước v trong đường đi ngắn nhất từ s đến v.
Xây dựng cây BFS gốc tại s chứa tất cả các đỉnh đạt đến được từ s.
Ta sẽ sử dụng màu để ghi nhận trạng thái của đỉnh trong quá trình duyệt:
Trắng (White) – chưa thăm.
Xám (Gray) – đã thăm nhưng chưa duyệt xong.
Đen (Black) – đã duyệt xong
29
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Tìm kiếm theo chiều rộng từ đỉnh s
BFS_Visit(s)
10 while Q
11 do u dequeue(Q)
1. for u V – {s}
2
3
4
do color[u] white
d[u]
12
13
14
15
16
17
18
for v Adj[u]
do if color[v] = white
then color[v] gray
d[v] d[u] + 1
[v] u
[u] NULL
5 color[s] gray
6 d[s] 0
enqueue(Q,v)
7 [s] NULL
8 Q
color[u] black
9 enqueue(Q,s)
30
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị G
BFS(G)
1. for u V
2.
3.
do color[u] white
[u] NULL
5. for u V
6.
7.
do if color[u] = white
then BFS-Visit(u)
31
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Ví dụ: Thực hiện BFS(A)
A
B
J
F
I
C
H
E
D
32
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {A}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
33
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {B,F}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
34
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {F,C,J}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
35
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {C,J,E,I}
A
B
F
J
I
C
H
E
D
36
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {J,E,I,H}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
37
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {E,I,H}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
38
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {I,H}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
39
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Q = {H}
A
B
J
F
I
C
H
E
D
40
Nguyễn Đức Nghĩa - Bộ môn KHMT ĐHBKHN
Tải về để xem bản đầy đủ
70 trang
19680
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và thuật toán - Chương 7: Đồ thị và các thuật toán đồ thị - Nguyễn Đức Nghĩa", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_cau_truc_du_lieu_va_thuat_toan_chuong_7_do_thi_va.pdf
